中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题附详细答案

1、中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题附详细答案一、圆的综合1.如图，。的半径为6cm,经过。上一点C作。的切线交半径 OA的延长于点 B, 作/ACO的平分线交。于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证：AC/ OD;试题分析：(1)由OC=OD, CD平分/ACQ 易证得/ACD=/ODC,即可证得 AC/ OD;(2) BC切。于点C, DELBC,易证得平彳T四边形 ADOC是菱形，继而可证得 4AOC是等 边三角形，则可得： /AOC=60°,继而求得弧 AC的长度.试题解析：(1)证明：OC=OD, ZOCD=Z ODC. .CD 平分/ACQ/ OCD=Z

2、 ACD,/ ACD=Z ODC,. AC/ OD;(2) BC切。于点 C,BC±OC. DE±BC, . OC/ DE, AC/ OD, .四边形 ADOC是平行四边形.- OC=OD,，平行四边形 ADOC是菱形，OC=AC=OA,4AOC是等边三 角形，ZAOC=60°, .弧 AC 的长度=606 =2 Tt.180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公 式.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.2 .如图，AB是。的直径，PA是。O的切线，点C在。上，CB/ P0.(1)判断PC与。O的位置关系，并说明理由；

3、(2)若 AB=6, CB=4,求 PC 的长.3 .【答案】(1) PC是。的切线，理由见解析；(2) -J52【解析】试题分析：(1)要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证/PCO=90即可.（2）可以连接 AC,根据已知先证明 ACPPCQ再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC1. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB .OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC, OP=OP.,.APOACPO/ OAP=Z OCP,. PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=9

4、0 ° .PC是。的切线.（2）连接AC.AB是。O的直径 ./ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO .ACBAPCOm旦延一 3位高.酎皆心/法 , BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与 这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.3.如图1,在RtABC中，AC=8cm, BC=6cm, D、E分别为边 AB、BC的中点，连结 DE, 点P从点A出发，沿折线 AD-DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运 动，在D

5、E上以1cm/s的速度运动，过点 户作PQLAC于点Q,以PQ为边作正方形 PQMN.设点P的运动时间为t （s）.(1)当点P在线段DE上运动时，线段 DP的长为 cm.(用含t的代数式表示)(2)当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式，并写出 t的取值范围.(3)如图2,若点O在线段BC上，且CO=1,以点。为圆心，1cm长为半径作圆，当点 P 开始运动时，。的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当 。与正方形PQMN的边所 在直线相切时，求此时的 t值.3 .10【答案】(1) tT; ( 2) S=- t2+3t+3

6、(1 vt<4) ; (3)t= s.83【解析】分析：(1)根据勾股定理求出 AB,根据D为AB中点，求出AD,根据点P在AD上的速 度，即可求出点 P在AD段的运动时间，再求出点 P在DP段的运动时间，最后根据 DE段 运动速度为1 cm/s ,即可求出DP;(2)由正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t-1 , PQ=3,根据MN /BC,求出FN的长，从而得到 FM的长，再根据 S=S梯形fmhd+S矩形 DHQP,列出S与t的函数关系式即可；(3)当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5-t,然后由r以0.2cm/s的速度不断增大， r=1+

7、0.2t,然后列方程求解即可；当圆与 MN相切时，r=CM=8- t=1+0.2t,从而可求得t的 值.详解：(1)由勾股定理可知：ab=JAC2 bc2=10. D、E分别为AB和BC的中点， .DE=1 AC=4, AD=1AB=5, 22.点P在AD上的运动时间=5=1s,当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为(t-51) s.: DE段运动速度为 1cm/s,，DP=(t-1) cm.故答案为t-1.(2)当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示.DDN AC 8 4当正方形的边长大于 DP时，重叠部分为五边形, -3>t- 1, t<

8、4, DP>0, .t- 1>0, 解得：t>1, - 1 <t<4. ADFNAABC,=FN BC DN=PN- PD,DN=3- ( t T)±2 = 4, .-.FN= 3£J1,FN 33(4 t) 3t.FM=3-=,443tS=S 梯形 FMHD+S 矩形 DHQP,.,=1X(更+3) X (4-t) +3 (t - 1) =- 3 t2+3t+3 ( 1vtv4). 248(3)当圆与边PQ相切时，如图:O当圆与PQ相切时，r=PE,由(1)可知，PD= (t- 1) cm, .PE=DE DP=4- (t 1) =(5 t)

9、 cm.r以0.2cm/s的速度不断增大， r=1+0.2t,1+0.2t=5 - t,解得：t= s.3 当圆与 MN相切时，r=CM.由(1)可知，DP= (t1) cm,贝U PE=CQ= (5t) cm, MQ=3cm, .MC=MQ+CQ=5- t+3= (8-t) cm,-1+0.2t=8-t,解得：t = 35s.6P至ij E点停止，.t- 1<4即tw35.t= 一 s (舍).6PQMN的边所在直线相切.(2)分析：（10,一、综上所述：当t=一s时，。与正方形3点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性 质和判定、正方形的性质，直

10、线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键.4.如图，在 RtAAB, /ABC=90°, AB=CB,以AB为直径的。交AC于点D,点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交OO于点G, DF± DG,且交BC于 点F.求证：AE=BF；连接 EF,求证：/FEB=/ GDA;1）连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出 / A与/C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到/ADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=2AC,进而确定出/A=/FBD,再利用同角的2余角相等得到一对角相等，

11、利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；(2)连接EF, BG,由三角形 AED与三角形BFD全等，得到ED=FD,进而得到三角形 DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利 用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结 论；(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据 三角形

12、的面积公式计算即可.详解：(1)连接 BD,在 RtABC 中，ZABC=90°, AB=BC, . . / A=/C=45°.1 _ 一 . AB为圆 O 的直径，Z ADB=90 ,即 BDAC, . AD=DC=BD=AC, Z CBD=Z C=45 ,2/ A=/ FBD.DF± DG,Z FDG=90 °, ZFDB+Z BDG=90 °.A FBD ZEDA+Z BDG=90 °, . . / EDA=/FDB.在 AED和 4BFD 中， AD BD , EDA FDB2 .AEDABFD (ASA) , . AE=BF

13、;(2)连接 EF, BG.3 AAEDABFD, . DE=DF.4 ZEDF=90°,AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45°.5 ZG=Z A=45 °,ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / FEB=/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA;(3) AE=BF, AE=2,，BF=2.在 RtA EBF 中，Z EBF=90 °,根据勾股定理得： EF2=EB2+BF2. EB=4, BF=2,EF="_22 = 2 而.八/ DE 4DEF为等腰直角三角形，/EDF=90 ,cos/DEF= .EF - EF=

14、2>/5 ,DE=2T5 x= Vw .2GE EB./G=/A, ZGEB=ZAED, GEB AED,= ，即 GE?ED=AE?EB,AE EDA0?GE=8,即 GE=4而',则 GD=GE+ED=910 .5511 9,10 1 S GD DF GD DE 一 V10 - 9 .2252点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答 本题的关键.5.如图.在 4ABC 中，/C=90： AC=BC, AB=30cm,点 P 在 AB 上，AP=10cm,点 E

15、 从点 P 出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点 F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速 度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段 AB向点B运动，在点E、F运动过程 中，以EF为边作正方形 EFGH使它与4ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t(s) ( 0<t<20).(1)当点H落在AC边上时，求t的值；(2)设正方形EFGH与4ABC重叠部分的面积为 S. 试求S关于t的函数表达式； 以点C为圆心，1t为半径作0C,当。C与GH所在的直线相切时，求此时 S的值.229t2?(0 t 2)7.2【答案】(1) t=2s 或 10s； (2)S二t

16、2 50t 50(2 t 10)； 100cm 2.2 t2 40t 400? (10 t 20)【解析】试题分析：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意 AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2;如图2 中，当 5vtv20 时，AE=HE, 2t - 10=10- ( 2t 10) +t, t=10；(2)分四种切线讨论 a、如图3中，当0vtW2时，重叠部分是正方形 EFGH S= (3t)2=9t2. b、如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形 EFGMN. c、如图5中，当5<t<10时，重叠部分是五边形 EFGMN. d、如图6中，当10vtv20时，重叠部分

17、是正方形EFGH分别计算即可；分两种情形分别列出方程即可解决问题.试题解析：解：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2如图 2 中，当 5vtv20 时，AE=HE, 2t - 10=10- (2t10) +t, t=10.综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上.(2) 如图3中，当0VtW2时，重叠部分是正方形 EFGH, S= (3t) 2=9t2图3如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形 EFGMN, S= (3t) 2- - (5t-10) 2 = -2一 t2+50t - 50.2S= (20-t) 21c(30 - 3t

18、) 2=-27 t2+50t - 50.2EFGHS= (20-t) 2=t2-40t+400.29t2?(0 t 2)7 2综上所述：S= - 12 50t 50(2 t 10)t2 40t 400? (10 t 20)30t=，7此时 S=100cm2,当 5vtv20 时,1 如图7中，当0vtW5时，-t+3t=15,解得:21 _,_-t+20-t=15,解得：t=10,此时 S=100.2综上所述：当OC与GH所在的直线相切时，求此时 S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分

19、类讨论的思想思考问题，注意不 能漏解，属于中考压轴题.6.已知。中，弦AB=AC,点P是/ BAC所对弧上一动点，连接 PA, PB.（1）如图，把4ABP绕点A逆时针旋转到 AACQ连接PC,求证：/ACP+/ ACQ=180 ；°（2）如图，若/BAC=60,试探究PA PR PC之间的关系.（3）若/BAC=120时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它 们之间的数量关系，不需证明.尸P【答案】（1）证明见解析；（2） PA=PB+PC理由见解析；（3）若/BAC=120时，（2） 中的结论不成立，.,3 PA=PB+PC【解析】试题分析：（1）如图，连接

20、PC.根据 内接四边形的对角互补的性质 ”即可证得结论；（2）如图，通过作辅助线BC、PECE（连接BC,延长BP至E,使PE=PC连接CE）构建等边4PCE和全等三角形BE®4APC;然后利用全等三角形的对应边相等和线段间 的和差关系可以求得 PA=PB+PC（3）如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PR过点A作AGLPC于点G.利用全等三 角形ABPAQP （SAS的对应边相等推知 AB=AQ, PB=PQ 将PA PR PC的数量关系 转化到APC中来求即可.试题解析：（1）如图，连接PC.ACQ是由4ABP绕点A逆时针旋转得到的，/ ABP=Z ACQ由图知，点A、B、P、C

21、四点共圆，丁./ACP+/ ABP=180 （圆内接四边形的对角互补），丁./ACP+/ ACQ=180。（等量代换）；（2） PA=PB+PC理由如下：如图，连接BC,延长BP至E,使PE=PC连接CE.弦 人8=弦人孰 /BAC=60,° .ABC是等边三角形（有一内角为60的等腰三角形是等边三角形）. A、B、P、C四点共圆，/BAC+/ BPC=180 （圆内接四边形的对角互补）， / BPC+Z EPC=180, ° Z BAC=Z CPE=60,°,. PE=PC .PCE是等边三角形，CE=PC / E=/ECP4 EPC=60；°又./B

22、CE=60 + /BCP, Z ACP=60 +Z BCP, . / BCE玄 ACP （等量代换）,CE PC在 ABEC 和 AAPC 中，BCE ACP ,ABECAAPC （ SAS ,，BE=PAAC BCPA=BE=PB+PC（3）若/BAC=120时，（2）中的结论不成立，J3 PA=PB+PC理由如下：如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PB,过点 A作AG, PC于点G. / BAC=120 ,° / BAC+Z BPC=180，/ BPC=60 ,° 弦人8=弦 AC,/ APB=Z APQ=30 :PB PQ在 4ABP 和 4AQP 中，APB AP

23、Q ,ABPAQP （SA§ ,AP AP .AB=AQ, PB=PQ （全等三角形的对应边相等），AQ=AC （等量代换）.在等腰 AQC中，QG=CG在 RtAPG 中，/ APG=30 ,则 AP=2AG, PG=73aG,PB+PC=PG- QG+PG+CG=PG- QG+PG+QG=2PG=2 3 AG,，3PA=2 ,3AG,即、,3pA=PB+PCB【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等7.已知：如图1, /ACG=90°, AC=2,点B为CG边上的一个动点，连接 AB,

24、将4ACB沿AB边所在的直线翻折得到 ADB,过点D作DF，CG于点F.(1)当BC=2/3时，判断直线FD与以AB为直径的。的位置关系，并加以证明； 3(2)如图2,点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的。交于D、H两点，连接AH,当/CAB=/ BAD=Z DAH时，求BC的长.【答案】(1)直线FD与以AB为直径的。相切，理由见解析；(2) 2J2 2 .【解析】试题分析：(1)根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的。相切;(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长.试题解析：(1)判断：直线 FD与以AB为直径的。相切.证明：如图，

25、作以AB为直径的OO； ADB是将 ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，.ADBAACB,/ ADB=Z ACB=90 ,° O为AB的中点，连接DO,J,-，OD=OB= AB,点D在。O上.在 RtA ACB 中,BC=2*,AC=2; .tan/CAB售当，/ CAB=Z BAD=30 ,°/ ABC=Z ABD=60 ,° .BOD是等边三角形./ BOD=60 :/ ABC=Z BOD, .FC/ DO. .DFXCGJ,/ ODF=Z BFD=90 ,° ODXFD, .FD为。O的切线.(2)延长AD交CG于点E,同(1)中的方法，可证点

26、C在。O上;，四边形ADBC是圆内接四边形./ FBD=Z 1 + /2.同理 / FDB=Z 2+Z 3. - / 1 = 7 2=73,/ FBD=Z FDB, 又/ DFB=90 .EC=AC=2设 BC=x,则 BD=BC=x / EDB=90 ； .EB= x. EB+BC=ECx+x=2, 解得 x=2/2 - 2, BC=2；/2-2.G8.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块 30。(/CAB= 30。)角的三角板拼在一起，三角板的 斜边AB与量角器所在圆的直径 MN重合，现有射线 C绕点C从CA开始沿顺时

27、针方向以每 秒2°的速度旋转到与 CB,在旋转过程中，射线 CP与量角器的半圆弧交于 E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是 ,此时4BCE的形状是;(2)设旋转x秒后，点E处的读数为V,求y与x的函数关系式；(3)当CP旋转多少秒时，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0<x<45 ; ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题；(2)如图2-2中，由题意/ACE= 2x, / AOE= y,根据圆周角定理可知 /AOE= 2/ACE 可得 y= 2x (0

28、87;w 45 ;(3)分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1)如图2- 1中， . /ACB= 90 °, OA= OB,.-，oa=ob= OC,/ OCA= / OAC= 30 °,/ AOE= 60 ； 点E处的读数是60 : / E= / BAC= 30 : OE= OB,/ OBE= ZE= 30 ；/ EBC= / OBE+ZABC= 90 °, .EBC是直角三角形；故答案为60。，直角三角形；(2)如图2 2中， . /ACE= 2x, /AOE= y, / AOE= 2/ACE, . y= 4x (0虫w 45 .(3)如图2-3中，当E

29、B= EC时，EO垂直平分线段 BC,. ACa BC,1. EO/ AC,/ AOE= ZBAC= 30 °,-1 o./ ECA= Z AOE= 15 ,2.x=7.5.若2-4中，当BE= BC时,易知 / BEC= / BAC= / BCE= 30°,/ OBE= / OBC= 60 ；.OE= OB,.OBE是等边三角形，/ BOE= 60 ;/ AOB= 120 ；-1 / ACE= - ZACB= 60 ;x= 30,综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，4BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识

30、，解 题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.9.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 / PDA=/ PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由；(2)如果 / BED=60。，PD=J3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上，如图2,求证：四【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆。的直径可得/ADB=90,进而求得ZADO+ZPDA=90 ,即可得 出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再

31、由PD为。的切线，得 /PDO=90 ；根据三角函数的定义求得 OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圆。的直径，得/ ADB=90 , 设/ PBD=X，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：/ ADB=90 ； / ADO+Z BDO=90 ； 又 DO=BO,/ BDO=/ PBD, / PDA=Z PBD,/ BDO=Z PDA, / A

32、DO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 点D在。O上, 直线PD为。O的切线；(2) .BE是。的切线，/ EBA=90 ；3 / BED=60 ,°/ P=30 ；4 .PD为。的切线，/ PDO=90 ；在 RtPDO 中，/P=30°, PD=6, OD _，tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2 - 1=1；(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF,5 / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的

33、直径，/ ADB=90 ；设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2x , 四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,°.BE、ED是。的切线， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,° BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°, .BDF是等边三

34、角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档 题，难度较大.10.如图，已知：AB是。的直径，点C在。上，CD是OO的切线，AD±CD于点D, E是AB延长线上一点，CE交。于点F,连接OC、AC.(1)求证：AC平分/DAO.(2)若 / DAO=105 , / E=30°求/OCE的度数；若。的半径为2衣，求线段EF的长.【答案】(1)证明见解析；(2)/OCE=45；EF = 273-2.【解析】【试题分析】(1)根据直线与。相切的性质，得 OC,CD.又

35、因为AD± CD,根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得： AD/OC./DAC=/ OCA.又因为OC=OA,根据等边对等角，得 / OAC=/ OCA.等量代换得：/ DAC=Z OAC根据角平分线的定义得：AC平分/ DAO.(2) 因为AD/OC, ZDAO=105,根据两直线平行，同位角相等得，/EOC=Z DAO=105,° 在 OCE 中，/E=30 利用内角和定理，得：ZOCE=45. °作OGL CE于点G,根据垂径定理可得 FG=CG 因为OC=2 J2/ OCE=45 .等腰直角三 角形的斜边是腰长的 J2倍，得 CG=OG=2

36、. FG=2e RtA OGE中，ZE=30°,彳导GE=2J3 , 贝U EF=GE-FG=2、3-2.【试题解析】(1) .直线与。O 相切,OCX CD.又 ; AD± CD, .-.AD/OC./ DAC=Z OCA.又 OC=OA 1 / OAC=Z OCA./ DAC=Z OAC. AC平分 / DAO.(2)解：-. ADZ/OC, ZDAO=1O5 , . . / EOC4 DAO=105 / E=30 ,°/ OCE=45. °作OGL CE于点G,可得FG=CG OC=2应，/OCE=45.CG=OG=2.FG=2.在 RtOGE中，

37、ZE=30,° .GE=273.EF=GE-FG=2 3 -2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等 .11.如图，。的直径AB=8, C为圆周上一点，AC= 4,过点C作。O的切线I,过点B 作I的垂线BD,垂足为D, BD与。O交于点E.(1)求/ AEC的度数；【分析】(1)易得4AOC是等边三角形，则 ZAOC= 60°,根据圆周角定理得到 Z AEC= 30°(2)根据切线的性质得到 OCL I,则有OC/ BD,再根据直径所对的圆周角为直角得到 ZAEB= 90 °

38、,则/EAB= 30 °,可证得 AB/CE,得到四边形 OBEC为平行四边形，再由 OB = OC,即可判断四边形 OBEC是菱形.【详解】(1)解：在 4AOC中，AC= 4,.AO=OC= 4,.AOC是等边三角形，/ AOC= 60 ；/ AEC= 30 -（2）证明：.OC± l, BD）± l.OC/ BD./ ABD= / AOC= 60 :.AB为。的直径，/ AEB= 90 ； AEB为直角三角形，/ EAB= 30 :/ EAB= / AEC. .CE/ OB,又 CO/ EB 四边形OBEC为平行四边形.又 OB= OC= 4. 四边形OBE

39、C是菱形.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以 及菱形的判定方法.12.如图，在力丽中pH = AC以纯为直径作交区边于点L交历边于点， 过点D作。的切线町，交，的延长线于点F,交H匚于点耳.（1）求证："D 一 ？若比=6,求。的半径.【答案】（1）证明见解析；4.【解析】 试题分析：（1）连接AD,根据等腰三角形三线合一即可证明.(2)设。的半径为 R,则 FO=4+R FA=4+2R OD=R,连接 OD,由 FOg FAE,得0DAEFDAF列出方程即可解决问题.试题解析：（1）连接AD, .AB是直径，./ADB=90,.

40、AB=AC, ADBC, . BD=DC(2)设。的半径为 R,则 FO=4+R FA=4+2R OD=R 连接 OD、 .AB=AC,/ ABC=Z C, .OB=OD,/ ABC=Z ODB,/ ODB=/C, .OD/AC,.FODAFAEOD FO.=AE AF'R 4 + A.二,64 十？£'整理得 R2- R- 12=0,. R=4 或（-3 舍弃）.OO的半径为4.考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识.13.如图，已知 AB是。的直径，BC是弦，弦BD平分/ABC交AC于F,弦DELAB于H,交AC于G.求证：AG= GD； 当/ABC满足什么条件

41、时， 4DFG是等边三角形？-3若 AB=10, sin/ABD= ，求 BC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）当/ABC= 60。时，4DFG是等边三角形.理由见解析;14（3） BC的长为14 .5【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE，AB, AB是e O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE,然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得Z ADE= Z ABD,又由弦BD平分/ABC,可得/DBC=/ABD,根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD;(2)当/ABC=60时，4DFG是等边三角形，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得

42、/DGF=/ DFG=60,即可证得结论； 34 一 一 .(3)利用二角函数先求出 tan Z ABD , cos/ ABD=,再求出DF、BF,然后即可求出45BC.【详解】(1)证明：连接AD, . DEXAB, AB 是。的直径，Ad Ae ,/ ADE= / ABD, .弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC, .AG=GD；(2)解：当/ABC= 60°时，4DFG是等边三角形.理由：二,弦BD平分/ ABC,/ DBC= ZABD=30 ;.AB是。的直径，/ ACB= 90 ；/ CAB= 90 - / A

43、BC= 30 ；/ DFG= / FAB吆 DBA= 60 ; .DEXAB,/ DGF= / AGH= 90 - / CAB= 60 °, .DGF是等边三角形；(3)解：.AB是。的直径，/ ADB= / ACB= 90 ； / DAC= / DBC= / ABD,3AB= 10, sin/ABD=,5在 RtMBD 中，AD= AB?sin/ABD= 6,BD= VaBBD2 =8,AD 3BD 4，tan/ABD= - , cos/ABD= = ,BD 4AB 5在 RtA ADF 中，DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6x3 = 9,4297

44、" BF= BD DF= 8 ,22»人c /7 414在 RtBCF中，BC= BF?cos/ DBC= BF?cos/ ABD= - - = .2 55.BC的长为：一.5【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等 知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用， 注意辅助线的作法.14.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,

45、在(2)的条件下，作 AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED ,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.【答案】(1)见解析；(142)成乂； ( 35【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；CG(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出 a即可. 【详解】(1)证明：.AB为直径,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACDOBCACD ;(2)成立，证明：连接OC,OC OB ,_1“OBC 180 BOC2ADC 90 ,ACD 90 A ,1 1802 A 90 A ,2OBC ACD ;(3)分别延