中考数学专题题库∶圆与相似的综合题附答案解析

1、中考数学专题题库：圆与相似的综合题附答案解析一、相似1.如图 1,在矩形 ABCD 中，AB=6cm, BC=8cm, E、F 分别是 AB BD 的中点，连接 EF,点 P 从点 E 出发，沿 EF 方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动， 速度为 2cm/s， 当点 P 停止运动时， 点 为 t (0vtv4) s,解答下列问题：(1) 求证： BEFADCB;(2) 当点 Q 在线段 DF 上运动时，若PQF 的面积为 0.6cm2,求 t 的值；(3) 如图 2 过点 Q 作 QG 丄 AB,垂足为 G,当 t 为何值时，四边形 EPQG

2、为矩形，请说明(4) 当 t 为何值时，PQF 为等腰三角形？试说明理由.【答案】(1)解：证明：四边形是矩形，: AD = BC = 8tAD BC,= 90,在站中，Q 也停止运动.连接PQ,设运动时间理由;:* *BE*V311星III：占御7S 占BEF,商V5i2 *】I3As曙 QuPFX疑u zx 25 -ht t c9* hlr1Hb5l曲1当点在 上时，丁苜如图 3,综上所述，或 或 I T 或秒时，厶汽試是等腰三角形.【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质可证得AD/ BC, / A=ZC,根据中位线定理可证得 EF/ AD,就可得出 EF/ BC,可证得/ BEF=Z C

3、, / BFE=Z DBC,从而可证得结论。(2) 过点 Q 作 QM 丄 EF,易证 QM / BE,可证得 QMF BEF,得出对应边成比例，可 求出QM 的值，再根据PQF 的面积为 0.6cm2,建立关于 t 的方程，求解即可。(3) 分情况讨论： 当点 Q 在 DF 上时， 如图 2, PF=QF； 当点 Q 在 BF 上时， PF=QF, 如 图 3; PQ=FQ时，如图 4; PQ=PF 时，如图 5,分别列方程即可解决问题。(2)2 阅读下列材料，完成任务: 自相似图形 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形例如：正方形 ABCD 中，点 E、

4、F、G、H 分别是 AB BC CD DA 边的中点，连接 EG HF 交于点 0,易知分割成的四个四边形AEOH EBFO OFCG HOGD 均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.（1 ）图 1 中正方形 ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为（2）如图 2，已知 ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3,小明发现 ABC 也是 自相似图形”他的思路是：过点 C 作 CD丄AB 于点 D,贝 U。将厶 ABC 分割成 2 个与它自己相似的 小直角三角形.已知ACMAABC,则厶 ACD 与厶 ABC 的相似比为 _ ;（3） 现有一个矩

5、形 ABCD 是自相似图形，其中长 AD=a,宽 AB=b （a b）. 请从下列 A、B 两题中任选一条作答.A:如图 3 - 1，若将矩形 ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则 a=（用含b的式子表示）；如图 3 - 2 若将矩形 ABCD 纵向分割成 n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则 a=（用含 n, b的式子表示）；B:如图 4 - 1，若将矩形 ABCD 先纵向分割出 2 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成 3 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=_ （用含 b 的式子表示）；如图 4 - 2，若将矩形 ABCD 先纵向分割出 m 个全等矩形，再

6、将剩余的部分横向分割成 n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=_ （用含 m , n, b 的式子表示）.1【答案】（1）任务:【解析】【解答】(解：(1) ：点 H 是 AD 的中点, AH= AD,正方形 AEOH正方形 ABCD,a故答案为：；(2 )在 RtAABC 中，AC=4, BC=3,根据勾股定理得,ACd ACD 与 ABC 相似的相似比为：，4故答案为：J ；(3 ) A、矩形 ABE 矩形 FECDAF： AB=AB: AD, 即 Ha： b=b： a, a=心 b;故答案为：.每个小矩形都是全等的，则其边长为1贝 U b:a=a： b, a= b;故答案

7、为：.图2由 可知纵向 2 块矩形全等，横向 3 块矩形也全等,I DN=b,I、当 FM 是矩形 DFMN 的长时，矩形 FMNDs矩形 ABCD FD： DN=AD： AB,(3)|叮：；或，上uniAB=5,a,B、如图 2,即 FD：b=a： b,解得 FD= a,-AF=a - a= a,矩形 GABH 矩形 ABCD, AG: AB=AB: AD1即 a： b=b： a得：a= b;n、当 DF 是矩形 DFMN 的长时,矩形 DFMNs矩形 ABCD FD： DN=AB: AD3即 FD：b=b： a解得 FD=,拧3芒-拧AF=a-=3 - * - AG=-=丨矩形 GABH

8、矩形 ABCD, AG： AB=AB: AD 即：b=b: a,得：a= b;故答案为：匕或 ；如图 3，由 可知纵向 m 块矩形全等，横向 n 块矩形也全等,/ DN= b,I、当 FM 是矩形 DFMN 的长时,矩形 FMNDs矩形 ABCD FD: DN=AD: AB,1即 FD：b=a： b,1解得 FD= a,-AF=a -a,矩形 GABH 矩形 ABCD, AG: AB=AB: AD即a： b=b: an、当 DF 是矩形 DFMN 的长时,矩形 DFMNs矩形 ABCD FD: DN=AB: AD1即 FD：b=b: a解得 FD=,y AF=a-,AP - *:.AG=知；矩

9、形 GABH 矩形 ABCD,:AG: AB=AB: AD即 那: b=b : a , AG=a nunia,得: a=壬 -b;f /J严卄故答案为：b 或b.【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是 对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。(1 )由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；(2)在直角三角形 BC 中，由勾股定理易得 AB=5,而 CD AB,所以用面积法可求得1212CL7CD=5 ，所以相似比=班=3.b(3)A、由题意可得,解得岀-血;同理可得汕亿解得，二、切仇B、最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式

10、有两种，所以分两种情况来解：FB aFD21-二占sZAEB=26 16 FK=FE+EK=2+J J=占,【解析】【分析】(1)由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得/ BAE=/ ADF,在 RtAABE 中，根据勾股定理可得AE=5,由全等三角形的判定AAS 可得 ABEADFA.(2)连结 DE 交 CF 于点巴由(1)中全等三角形的性质可知DF=DC=4 AF=BE=3 由同角的余角相等得/ DCF=Z DEC,在 RtADCE 中，根据勾股定理可得DE=2，根据锐角三角函数定义可得答案(3)过点 C 作 CKaAE 交 AE 的延长线于点 K,由平行线的推论知AGCK/ DF

11、,根据平行线所截线段成比例可得&厂 用，在 RtACEK 中，根据锐角三角函数定5.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上， 这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在CFE 中，CF=6,CE=12ZFCE=45,以点 C 为圆心，以任意长为半径作 AD,再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于 AD 长为半径做弧，交(2)求四边形 ACDB 的面积【答案】(1)证明：由已知得：AC=CD,AB=DB 由已知尺规作图痕迹得：BC 是/FCE 的角平分线， /ACB=ZDCB 又 AB/CD,/ABC=ZDCB,/ACB=ZABC, AC=AB,又 AC=CD

12、,AB=DB, AC=CD=DB=BAI：丨四边形 ACDB 是菱形，又/ ACD 与厶 FCE 中的/ FCE 重合，它的对角 / ABD 顶点在 EF 上,四边形 ACDBFEC 的亲密菱形(2)解：设菱形 ACDB 的边长为 X, / CF=6,CE=12,FK,代入数值即可得出答案，从而求(1)求证：四边形 ACDBCFE 的亲密菱形; FA=6-X,又 AB / CE,FABAFCE,Ah sin / ACH=江, AH=4x2=2& ,四边形 ACDB 的面积为：.【解析】【分析】(1)依题可得：AC=CD,AB=DB,BC 是/ FCE 的角平分线,根据角平分线的 定义和平行线的

13、性质得 / ACB=ZABC,根据等角对等边得 AC=AB,从而得 AC=CD=DB=BA 根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形 ACDB 是菱形；再根据题中的新定义即可得证 (2)设菱形 ACDB 的边长为 X,根据已知可得 CF=6,CE=12,FA=6-x 根据相似三角形的判定和性质可得，解得：x=4,过点 A 作 AH 丄 CD 于点 H,在 RtAACH 中，根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH 再由四边形的面积公式即可得答案6.如图，正方形、等腰的顶点 在对角线上(点 与、岗不重合)，阳与 交于，延长线与交于点，连接 (1)求证:-:関.(2 )求证：眩(3 )若阳空二扁，求

14、仙.仝関的值.【答案】(1)解：v是正方形，应亠念(2)解： |；饨戈是正方形，./. r，八宀.疋.? 芒v 是等腰三角形，.沁-阿| |北 3 熔=肿刈泮-#盼-乂也说=.帰尸 -的-卞空=探护 -.疋畑. 疋 金U .尺.I；.-.;汀 严.门：-:腭(3)解：由得I .-T，:口；.门在 UP；中，QC AP 1?T.anzZ -.j【解析】 【分析】(1)证出/ ABP=/ CBQ 由 SAS 证明厶 ABPACBQ 可得结论；(2 )根据正方形的性质和全等三角形的性质得到喙二空擦二奏静|/ APF=ZABP,可证明 APFAABP,再根据相似三角形的性质即可求解；(3)根据全等三角

15、形的性质得到/ BCQ=ZBAC=45 ,可得/ PCQ=90 根据三角函数和已QC AP 1t X.JCPQ |知条件得到K疋3,由(2)可得匕俩 二血,等量代换可得/ CBQ=ZCPQ 即可求解.7如图 1,图形 ABCD 是由两个二次函数 I兀二挣八林誚与的部分图像围成的封闭图形，已知A(1, 0)、B(0, 1)、D(0,- 3).(1 )直接写出这两个二次函数的表达式；(2 )判断图形 ABCD 是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形 理由；(3)如图 2,连接 BC CD AD，在坐标平面内，求使得 BDC 与厶 ADE 相似(其中点 C 与点 E 是对应顶点)的点 E 的坐标

16、.【答案】(1)解：(2)解：存在，理由：当该内接正方形的中心是原点0,且一组邻边分别平行于X轴、y 轴时，设 M ( x,-X2+1)为第一象限内的图形ABCD 上一点，M (X,3X2-3)为第四象限内的图形上一点， MM= (1-X2)-3 (3X2-3)=4-4X2,由抛物线的对称性知，若有内接正方形，则2X=4-(3)解：解：在 RtAA0D 中，0A=1, 0D=3, AD=t,同理 CD=V .在 RtAB0C 中，0B=0C=1, BC=、如图(1)-/十气n1：，存在内接正方形，此时其边长为2-/子切(舍),或/ 04x2,即2X2+X-2=0,x=ABCD 上)，并说明=5

17、吃* ，在 RtADEM 中，DM=E (- J)OM=1，得二DCDADE由得47山卩1=- 卜，得 DE=，因 D ( 0, -3),- E (）；当厶 DBC 也 DAE 时，因/ CDB=ZADO , 在 y 轴上存 在一点 E,由对称性知在直线 DA 右侧还存在一点EM 丄 OD,垂足为 M，连接 ED,E使得 DBC 也 DAE，连接 EE 交 DA 于 F 点，作/ E、E关于 DA 对称， DF 垂直平分 EE,PF曲2. 5 DF Eb371DOAG，有而W W, ,严爹，EF - DEF/ DAO,DE,SADEE- EFDFDE - DE =,使得DBCADAE 的点 E

18、 的坐标为（0, 如图（2）他DB DC当厶 DBCAADE 时，有/ BDC=/ DAE,4 yfli5即，得 AE=.当 E 在直线 DA 左侧时，设 AE 交 y 轴于 P 点，作 EQ 丄 AC,垂足为 Q.由 / BDC=ZDAE=ZODA, / PD=PA 设 PD=x 贝 U PO=3-x, PA=x,IJ 在 RtAAOP 中，由P用二朋+M得=Q -才尸丰/，解得，则有PO=,因 AE= , PE=, 在厶 AEQ 中，OP/ EQ,APA6.，得QE=2, E (),OQ =OP AP&E AE当 E 在直线 DA 右侧时,因/DAE=ZBDC,又/BDC=ZBDA, /B

19、DA=ZDAE,J则 AE / OD, E (1 ,-),15C fJ则使得 DBC 也 ADE 的点 E 的坐标为厂 八或 二E 的坐标有 4 个,3占K - I)/-J)(lr-)-,)或2或 或/综上，使得BDC 与厶 ADE 相似（其中点 C 与点 E 是对应顶点）的点即（0,【解析】【解答】(1) 二次函数卜护5 敬 :剖经过点 A (1,0), B ( 0,1)代入 得k十= 01 =- jx*r用J解得io = 1.二次函数yj =Z *I二次函数力心 曲亠灯花/总经过点 A (1,0), D (0,-3)代入得3 解得*3.二次函数囹-处- J .【分析】(1 )由 A (1,

20、0) , B (0, 1)代入二次函数一 I?= JiJT斗甜(k -少解出 k, m 的 值可得二次函数y1的表达式；由 A ( 1,0 )， D ( 0，-3 )代入二次函数吃=d +血：血解出 k, m 的值可得二次函数 y1的表达式；(2)判断是否存在，可 以列举出一种特殊情况：当该内接正方形的中心是原点0,且一组邻边分别平行于x 轴、y轴时，则可设点 M (x,-x2+1 )在 y1图象上，则该正方形存在另一点M ( x,3x2-3)在 y2图象上，由邻边相等构造方程解答即可；(3)对于 BDC 与厶 ADE 相似，且 C 于 D 对应，那么就存在两种情况：当点 B 对应点 人，即

21、DBC DAE,此时点 E 的位置有两处，一处在 y 轴上，另一处在线段 AD 的右侧；当点 B 对应点 DA 时，即DBCADE,些时点 E 有两处，分别处于线段 AD 的左右两侧；结果两种情况所有的条件解出答案即可&如图，过OO 外一点 P 作OO 的切线 PA 切OO 于点 A,连接 PO 并延长，与OO 交于(2 )若 / P=30, PC=2,求 CM 的长.【答案】(1 )解：中，点是半圆 的中点,.；CM Dh：CAM = ZDCh又：ziW y山湖CM Ah| “丨底厂即|才卿-:制(2 )解：连接、，连接 AM 交 CD 于点 N,连接 AC、CM.求证：CM2=MN MA

22、；(1)I :鸞是 的切线,：ZR10 - 9$又心：二.加|/1: OA =-P0 =-(PC * CO)O9AT;?设丨 3 的半径为 ，V PC - 2?7: v = -(2 r)QXa?解得:卜 Y又是直径，: ZOH) - 90,?rCM = DM?I J 込洗耳是等腰直角三角形，I I 在站丄并中，由勾股定理得 k：八肿-磁，即 ，一 f交八一弋则匸八 d，* / 1/ =依叼p * L-.u 7*4囹【解析】【分析】(1 )由知，根/ CMA=/ NMC 据证 AMOA CMN 即可得；(2 )连接OA、DM ,由直角三角形 PAO 中/ P=30知I1OA =-P0 = - (

23、PC CO)-，据此求得 0A=0C=2 再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM的长二、圆的综合9.如图，点 P 在 O 0 的直径 AB 的延长线上，PC 为 O0 的切线，点 C 为切点，连接 AC,过点 A 作 PC 的垂线，点 D 为垂足，AD 交 O 0 于点 E.(1)如图 1，求证：/ DAC=Z PAC如图 2，点 F (与点 C 位于直径 AB 两侧)在 O 0 上,BF?A，连接 EF 过点 F 作 AD的平行线交 PC 于点 G,求证：FG=DE+DG2在(2)的条件下，如图 3，若 AE= DG, P0=5，求 EF 的长.3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

24、；(3) EF=3 2 【解析】【分析】(1)连接 0C,求出 OC/ AD,求出 0C 丄 PC,根据切线的判定推出即可；(2)连接 BE 交 GF 于 H,连接 OH，求出四边形 HGDE 是矩形，求出 DE=HG, FH=EH 即 可得出答案；(3)设 OC 交 HE 于 M ,连接 OE、OF,求出/ FHO=ZEHO=45，根据矩形的性质得出12EH/ DG,求出 OM=AE,设 OM=a，贝 HM=a, AE=2a, AE=DG, DG=3a,23MO1CO1求出ME=CD=2a, BM=2a，解直角三角形得出tan / MBO =-,tanP=-设BM2PO2OC=k,则 PC=

25、2k,根据 OP=.gk=5 求出 k=5，根据勾股定理求出 a,即可求出答案.【详解】 PC 为OO 的切线，OC 丄 PC,/ AD 丄 PC,OC/AD,/OCA=ZDAC,/ OC=OA, / PAC 玄 OCA,/DAC=ZPAC(2) 证明：连接 BE 交 GF 于 H,连接 OH,B32 */ FG/ AD, /FGD+ZD=180；/ / D=90； / FGD=90 ,/ AB 为OO 的直径， / BEA=90 , / BED=90 ,/D=ZHGD=ZBED=90/四边形 HGDE 是矩形， DE=GH, DG=HE / GHE=90 , BFAF11o/HEF=ZFEA

26、=/BEA=90=45 ,22 / HFE=90 - / HEF=45 ,/HEF=ZHFE, FH=EH, FG=FH+GH=DE+DG(3) 解：设 OC 交 HE 于 M，连接 OE、OF,/ EH=HF，OE=OF HO=HO,FHOAEHO,/FHO=ZEHO=45四边形 GHED 是矩形， EH / DG, / OMH= / OCP=90 , / HOM=90 - / OHM=90 - 45 =45 / HOM= / OHM , HM=MO ,/ OM 丄 BE,BM=ME,10M= AE,22设 OM=a，贝 U HM=a , AE=2a, AE=DG, DG=3a,3/HGC=

27、/GCM=ZGHE=90四边形 GHMC 是矩形， GC=HM=a, DC=DG- GC=2a,/ DG=HE, GC=HM, ME=CD=2a, BM=2a,在 RtABOM 中，tan / MBO=-BM 2a 2/ EH/ DP,/P=ZMBO,CO 1tanP=PO 2设 OC=k 则 PC=2k,在 RtAPOC 中，OP=、5k=5,解得：k=、5, OE=OC=5,在 RtAOME 中，OM+MEJOE2,5a2=5,a=1, HE=3a=3,在 RtAHFE 中，/ HEF=45 , EF=迈 HE=3、.2【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知

28、识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键.10.函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1） 如图 1,在平面直角坐标系中，已知点A、B 的坐标分别为 A （6, 0）、B （0, 2）,点 C （x, y）在线段 AB 上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量X、y,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式 y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与 y 轴交点最高时，就是 m 的最大值，（x+y）的最大值为 _;（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图 2,以（1）中的 AB 为斜边在右上方作 RtAABM.设点 M 坐标为（x

29、, y）,求（x+y） 的最大值是多少？【解析】分析：(1)根据一次函数的性质即可得到结论；(2)根据以 AB 为斜边在右上方作 RtAABC,可知点 C 在以 AB 为直径的OD 上运动，根据 点 C 坐标为(x, y),可构造新的函数 x+y=m，则函数与 y 轴交点最高处即为 x+y 的最大 值，此时，直线 y=-x+m与OD 相切，再根据圆心点 D 的坐标，可得 C 的坐标为(3+5, 1+ .5)，代入直线 y= - x+m,可得 m=4+25，即可得出 x+y 的最大值为4+2 打5详解：(1) 6;(2)由题可得，点 C 在以 AB 为直径的OD 上运动，点 C 坐标为(x, y

30、),可构造新的函 数 x+y=m,则函数与 y 轴交点最高处即为 x+y 的最大值，此时，直线 y=- x+m 与OD 相 切，交 x 轴与 E,如图所示，连接 OD, CD. A (6, 0)、B ( 0, 2), D (3, 1), OD= 厂32=10,ACD=.10.根据 CD 丄 EF 可得，C、D 之间水平方向的距离为5，铅垂方向的距离为一5, C( (3+3+.5, 1+ ,5)，代入直线 y= - x+m，可得：1+ .5= -( 3+ . 5 ) +m,解得:点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的 性质的综合应用，解决问题的关键是构造一

31、次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的 半径进行求解.4+25.11.如图，ABC 内接于OO,且 AB 为OO 的直径./ ACB 的平分线交OO 于点 D,过点 D 作OO 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P,过点 A 作 AE 丄 CD 于点 E,过点 B 作 BF 丄 CD 于 点 F.(2)若 AC=6, BC=8,求线段 PD 的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接 OD,由 AB 为OO 的直径，根据圆周角定理得 / ACB=90 ,再由/ ACD=ZBCD=45；则/ DAB=ZABD=45 ,所以 DAB 为等腰直角三角形，所以DO 丄 AB,根据切线的性质

32、得 OD 丄 PD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根据勾股定理计算出 AB=10,由于 DAB 为等腰直角三角形，可得到ADAB105.2；由厶 ACE 为等腰直角三角形，得到7PCPC=5=5P PD，然后利用心PA+A(PA+A(可计算出P PD【详解】/ AB 为OO 的直径， / ACB=90 / /ACB 的平分线交OO 于点 D, / ACD=ZBCD=45 . / DAB=ZABD=45 . DAB 为等腰直角三角形. DO 丄 AB.AECE庞石廉 ，在 RtAAED 中利用勾股定理计算出DE=42，则CD=72， 易证PDPCPAPDADCD，所以 PA=? PD,7.2

33、7(1)求证：DP/ AB；B解：(1)证明：如图，连接 OD, PD 为OO 的切线， OD 丄 PD. DP/ AB.(2 )在 RtAACB 中，_ j .- i.在 RtAAED 中，丁 -/-，-_ 亠一二：匸 5 / AB/PD, /PDA=ZDAB=45/ /PAD=/ PCD.PD PA AD5-1PC PD CD 7275 PA=PD, PC= PD.57又 PC=PA+AC -7PD+6=5PD,解得 PD=.57412.（8 分）已知 AB 为OO 的直径，OC 丄 AB,弦 DC 与 OB 交于点 F,在直线 AB 上有一点E,连接 ED,且有 ED= EF.（1）如图

34、，求证：ED 为OO 的切线；如图，直线 ED 与切线 AG 相交于 G,且 OF= 2,OO 的半径为 6，求 AG 的长.【答案】（1）见解析；（2） 12【解析】试题分析：（1）连接 OD,由 ED=EF 可得出/ EDF=/ EFD,由对顶角相等可得出/ EDF=/ CFQ 由 OD=OC 可得出 / ODF=/ OCF,结合 OCXAB 即可得知 / EDF+/ODF=90 : 即/EDO=90,由此证出 ED 为OO 的切线；（2）连接 OD,过点 D 作 DM 丄 BA 于点 M ,结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED EO的长度，结合/ DOE 的正弦、余弦值可得出 DM、M

35、O 的长度，根据切线的性质可知GAXEA,从而得出 DM / GA,根据相似三角形的判定定理即可得出EDMs EGA 根据相似三角形的性质即可得出GA 的长度试题解析：解：（1）连接 OD, / ED=EF, / EDF=/ EFD, / / EFD=ZCFO, /EDF=/CFO. / OD=OC, /ODF=/OCF / OCXAB,DAB 为等腰直角三角 AE 丄 CD,ACE 为等腰直角三角形.AC=_6_忑=忑又/ / DPA=/ CPD, PDA PCD.池八二二/CFG/OCF=ZEDF+ZODF=ZEDO=90 , / ED 为OO 的切线；（2）连接 OD,过点 D 作 DM

36、 丄 BA 于点皿，由（1）可知EDO 为直角三角形，设ED=EF=a, EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得， EC2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8, 即ED=8, EO=10. /sin/ EOD=1D4, cos/ EOD=3,EO 5OE 5DM =OD?sin/EOD=6x4=-24,MO=OD?cos/EOD=6X?上,/. EM=EO- MO=10-5555/ GA 切OO 于点 A, GA 丄 EA, DM / GA, EDMs EGA ，即GA EA24325 亙，解得 GA=12.GA花点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等

37、腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：(1)通过等腰三角形的性质找出/ EDO=90 ； ( 2)通过相似三角形的性质找出相似比.13.如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，AB 是直径，过点 O 作 OD 丄 CB,垂足为点 D,延长 DO 交OO于点 E,过点 E 作 PE! AB,垂足为点 P,作射线 DP 交 CA 的延长线于 F 点，连接18_325= 5EA=EO+OA=10+6=16.【答案】( 1)证明见解析；( 2)证明见解析【解析】试题分析：(2)证明POE ADO 可得 DO=EQ(3)连接 AE, BE,证出APEAAFE 即可得出结论.试

38、题解析：(1) /ZEPO=ZBDO=90 / EOP=ZBODOE=OBOPEODB OD=OP( 2)连接 EA, EBZ1=ZEBC/ AB 是直径ZAEB=ZC=90Z2+Z3=90/Z3=ZDEB/ZBDE=90ZEBC+ZDEB=90Z2=ZEBC=Z1/ZC=90ZBDE=90 CF/ OEZODP=ZAFP/ OD=OPZODP=ZOPD/ZOPD=ZAPFZAFP=ZAPF AF=AP 又 AE=AE APE AFEZAFE=ZAPE=90ZFED=90FE 是OO 的切线 考点：切线的判定(1)求证：OD= OP;( 2)求证：FE 是OO 的切线.14.如图，在 RtAA

39、BC 中,ZACB=60 。O 是厶 ABC 的外接圆,BC 是。O 的直径，过点 B 作。O 的切线 BD,与 CA 的延长线交于点 D,与半径 AO 的延长线交于点 E 过点 A 作。O 的切线 AF, 与直径 BC的延长线交于点 F.(1) 连接 EF 求证:EF 是。O 的切线；(2) 在圆上是否存在一点 P,使点 P 与点 A,B,F 构成一个菱形？若存在，请说明理由【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析【解析】【分析】(1 )过 O 作 0M 丄 EF 于 M,根据 SAS 证明厶OAF OBE 从而得到 OE=OF 再证明 EO 平分 / BEF,从而得到结论；(2)存在，

40、先证明 OAC 为等边三角形，从而得出 / OAC=ZAOC=50再得到 AB=AF,再证 明AB=AF=FP=BP 从而得到结论.【详解】(1)证明：如图,过 O 作 OM 丄 EF 于 M,/OA=OB,ZOAF=ZOBE=90；/BOE=ZAOF,OAFAOBEOE=OF,/EOF=Z AOB=120 /OEM=ZOFM=30 :/ OEB=ZOEM=30 :即 EO 平分 / BEF, 又/ OBE=ZOME=90,.OM=OB, EF 为。O 的切线.存在BC 为oO 的直径： / BAC=90 / / ACB=60 : / ABC=30 :又/ ACB=6O,OA=OC OAC 为

41、等边三角形，即/ OAC=ZAOC=30 :TAF 为。O 的切线， /OAF=90 /CAF=ZAFC=30；/ABC=ZAFCAB=AF.当点 P 在中的点 M 位置时，此时/ OPF=90,/OAF=ZOPF=90；又OA=OPQF 为公共边，OAFAOPF, AF=PF/BFE=ZAFC=30 :II又乏/ FOP=ZOBP=ZOPB=30,BP=FR AB=AF=FP=BP四边形 AFPB 是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂 直即可.15.如图，已知等边ABC, AB=16，以 AB为直径的半圆与 BC 边交