2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版

1、(2019 年 23 题)23. (14 分)如图，RtABC 中，Z ACB= 90 ,AC=BC, P 为 ABC 部一点，且/ APB=Z BPC=135 .(1)求证： PAB PBG(2)求证：PA=2PC; .2(3)若点P到三角形的边 AB, BC, CA的距离分别为h2, h3,求证m = h2?h3.【分析】(1)利用等式的性质判断出/ PBC= / PAB,即可得出结论；(2)由(1)的结论得出，进而得出，即可得出结论；(3)先判断出 RtAAEPRtACDP,得出，即 h3 = 2h2,再由 PAE PBC,判断出，即可得出结论.【解答】 解：(1) ./ACB= 90

2、,AB=BC,，/ABC= 45 =ZPBA+/PBC又/ APB= 135 ,. / PAm /PBA= 45/ PBC= / PAB又. / APB= / BPC= 135 , PA4 PBC(2) /A PABAPBC在 RtABC 中，AB= AC, .PA= 2PC(3)如图，过点 P作PDXBC, PE!AC交BC AC于点D, E, .PF= h1, PD= h2, PE= h3, /CP9/APB= 135 +135 =270 ./ APC= 90 , / EAR / ACP= 90又 / ACB= / ACP+ / PCD= 90 ./ EAP= / PCD,RtAAEP R

3、tA CDP, ,即，h3= 2h2 PAB PBC,，一一 ,2,.即：hi = h2?h3.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出/EAP= / PCD是解本题的关键.(2019年北京27题)27. (7分)已知/ AOB=30 ,H为射线 OA上一定点，OH = +1 , P为射线 OB上一点，M 为线段OH上一动点，连接 PM,满足/ OMP为钝角，以点 P为中心，将线段 PM顺时 针旋转150。，得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证：/ OMP=Z OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意

4、的点 M 总有ON = QP,并证明.(2)由旋转可得/ MPN = 150 ,故/OPN=150 -ZOPM;由/ AOB=30 和三角形角 和 180 可得/OMP= -30 - ZOPM= 150 - ZOPM,得证.(3)根据题意画出图形， 以ON = QP为已知条件反推 OP的长度.由(2)的结论/ OMP =/OPN联想到其补角相等，又因为旋转有 PM=PN,已具备一边一角相等，过点 N作 NC OB于点C,过点P作PD OA于点D,即可构造出 PDMA NCP,进而得PD= NC, DM = CP.此时加上 ON = QP,则易证得 OCN0QDP,所以OC=QD.利用/AOB=

5、30 ,设PD= NC=a,则 OP=2a, OD=a,再设 DM = CP= x,所以 QD = OC = OP+PC=2a+x, MQ=DM + QD=2a+2x.由于点 M、Q 关于点 H 对称，即点 H 为 MQ 中点，故 MH = MQ = a+x, DH=MH-DM = a,所以 OH= OD+DH = a+a=+1 ,求得 a =1,故OP=2.证明过程则把推理过程反过来，以OP=2为条件，利用构造全等证得ON = QP.【解答】解：（1）如图1所示为所求.(2)设/ OPM= a, 线段PM绕点P顺时针旋转150。得到线段PN .Z MPN=150 ,PM=PN .Z OPN=

6、Z MPN-Z OPM=150 -a / AOB= 30，/OMP= - ZAOB-/OPM= T0 -a= 150 -a ./ OMP=Z OPN(3) OP= 2时，总有ON = QP,证明如下：过点N作NCOB于点C,过点P作PDOA于点D,如图2 ./ NCP= / PDM=Z PDQ=90 AOB= 30 ,OP= 2 .PD= OP=1 OD = OH = +1 DH=OH-OD=1 . / OMP=Z OPN . -ZOMP= -/OPN即/ PMD=Z NPC在 PDM与 NCP中 . PDMANCP (AAS) . PD= NC, DM=CP设 DM = CP= x,则 OC

7、= OP+ PC= 2+x, MH = MD+DH=x+1 点M关于点H的对称点为 QHQ =MH = x+1.DQ = DH+ HQ=1 + x+1 =2+x .OC=DQ在 OCN与4QDP中.OCNAQDP (SAS) . ON = QP【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形角和180。，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质.第( 3)题的解题思路是以 ON = QP为条件反推 OP的长度，并结合(2)的结论构造全等三角形；而证明过程则以 OP=2为条件构造全 等证明ON = QP.(2019年北京28题)28. (7分)在 ABC中，D, E分别是 ABC两边的

8、中点，如果上的所有点都在ABC的部或边上，则称为 ABC的中弧.例如，图1中是 ABC的一条中弧.(1)如图2,在RtABC中，AB=AC=, D, E分别是 AB, AC的中点，画出 ABC的 最长的中弧，并直接写出此时的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (0, 0), C (4t, 0) (t0),在ABC 中，D, E分别是AB, AC的中点.若t=,求 ABC的中弧所在圆的圆心 P的纵坐标的取值围；若在 ABC中存在一条中弧，使得所在圆的圆心P在 ABC的部或边上，直接写出 t的取值围.【分析】(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE= 2,最长中弧

9、即以DE为直径的半圆，的长即以 DE为直径的圆周长的一半；(2)根据三角形中弧定义可知， 圆心一定在DE的中垂线上，当t =时，要注意圆心P 在DE上方的中垂线上均符合要求，在 DE下方时必须 AC与半径PE的夹角/ AEP满足 90 ZAEP 1,当 t=时，C (2, 0), D (0, 1), E (1, 设P(, m)由三角形中弧定义可知，圆心线段. OA=OC, /AOC=90 ./ACO= 45 , DE/ OC .Z AED= / ACO=45作EG,AC交直线FP于G, FG= EF=G的下方(含点 G)直线FP上时也符合要求;根据三角形中弧的定义可知，圆心在点 m 1.如图4

10、,设圆心P在AC上，. P在DE中垂线上， .P为AE中点，作 PMLOC于M,则PM=, P (t,), ,DE/ BC ./ ADE= / AOB=90AE=,. PD= PE, ./ AED= / PDE / AED+ / DAE= / PD曰 / ADP= 90 ,/ DAE= / ADP .AP= PD=PE= AE由三角形中弧定义知，PD PM .AE , AE00tAB,求出AB即可解决问题.【解答】（1）解：旋转角为105。.理由：如图1中，. ADXAC, ./ADC=90 , . / CAD=15 , ./ ACD=75 , ./ACA T05 , 旋转角为10旋.证明：连

11、接 AF,设EF交CA于在EF时截取EM=EC,连接CM. ./CED= /ACE+/CAE= 45 +15 =60 , ./CEA T20 , FE平分/ CEA, ./ CEF= / FEA =60 , . / FCO= -45 勺5 =60 ,，/FCC /AEO, . Z FOC= /AOE,FOC AOE, = ?, = ?/ COE= / FOA, .COE FOA,.FAO=/ OEC= 60 , .A OF是等边三角形，. CF= CA AF, . EM= EC, ZCEM=60 ,.CEM是等边三角形，/ECM= 60 ,CM = CE, . / FCA =dMCE= 60

12、, .Z FCM= / A CE,FCM A CE (SAS), .FM= AE,.CE+AE= EM+FM=EF(2)解：如图2中，连接 AF, PB ,AB,作BMLAC交AC的延长线于 M.由 可知，/ EAF= EAB 45 ,AE= AE, AF= AB, .AEFAEB,EF= EB, .B ,F关于AE对称，PF= PB .PA+PF= PA+PB :AB,在 RtACBM 中,CB =BC= AB= 2, / MCB 30 ,，BM = CB T, CM=, .AB = = = . .PA+PF的最/、值为.【点评】 本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构 造全等