(完整)高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)讲义,推荐文档

1、解圆锥曲线问题常用方法1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，rI+r2=2a。第二定义中，ri=edi2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中，r1 r22a ,当门>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，ri=edi, r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的

2、重点方法之一，尤其是 弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(xi,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(x o,yo),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中 点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：22(1) x2y2i(ab 0)与直线相交于 A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),则有月0。a ba bx2 y2xyn(2) i

3、(a0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有一2秒k 0abab(3) y2=2px (p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题1例1、(1)抛物线 C:y2=4x上一点 P到点 A(3,4 <2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为 。分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF,则PH |PF ,因而易发现，！ Q 出JT当A、P、F三点共线时，距离和最小。H-PB(2) B在抛物线

4、内，如图，作 QRH交于R,则当B、Q、R三点共线时，F距离和最小。解：(1) (2,立)r连PF,当A、P、F三点共线时，AP PH AP PF最小，此时AF的方程为y 4" 2 0(x 1)3 11即y=2 42 (x-1)，代入y2=4x得P(2,2卬2 ),(注：另一交点为(一，力2),它为直线AF与抛物线的另一交点，2舍去)1 ,(2) ( -,1)4过Q作QRl交于R,当B、Q、R三点共线时，BQ qf bq QR最小，此时 Q点的纵坐标为c1 一 1，1，代入 y2=4x 得 x= , Q( ,1) 44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例

5、题，请仔细体会。22PF或准线作出来考例2、F是椭圆士 y- 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 43(1) PA PF的最小值为(2) PA 2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 虑问题。解：(1) 4- <5设另一焦点为F ,则F (-1,0)连A F ,PFPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 展 当P是F A的延长线与椭圆的交点时，PA PF取得最小值为4-75。(3) 31作出右准线 l,作 PHl 父于 H ,因 a2=4, b2=3 , c2=1, a=2, c=1, e=,21 - -PF|

6、-|PH，即2 PF PHPA 2PF PA PH2 a当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为 xA 4 1 3c例3、动圆M与圆C1:(x+1)，y2=36内切，与圆C2:(x-1) 2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点 共线(如图中的 A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动 圆的“半径等于半径”(如图中的 MC MD )。AC MA MB DB 即 6 MA MB 2解：如图，MC MD ,MA MB 8(*)22点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1 , b2=15轨迹方程为 y 11615点评：得

7、到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出J（x 1）2y2，（x 1）2y2 4,再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、AABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sinC-sinB= 9 sinA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R为外接圆半径），可转化为边长角军：sinC-sinB=3sinA5的关系。2RsinC-2RsinB= 3 - 2RsinA5ABAC3BC5即ABAC*)，点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）12,-2a=6, 2c=10a=3,

8、 c=5,b=4所求轨迹方程为21 (x>3)16点评:要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设(Xi则XXi2XiA(Xi,xi2), B(x2, X22),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于X0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2） M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M到准线的距离，想到用定义法。解法一： 设 A(xi, xi2), B(x2, x22), AB 中点 M(xo, y

9、0)x2)2 (x2 x2)29 x2 2x02 cX2 2y0由得(X1-X2)21+(x 1+X2)2=9即(Xi+X2)2-4X1X2 1+(x 1+X2)2=9由、得 2x 1 x2=(2x 0)2-2y0 =4x 02-2y 0代入得(2x0)2-(8x02-4y0) 1+(2x0)2=92 4yo 4xo2 )1 4x229294y0 4x0 2(4x0 1) -27 14xo4x0 15>2,9 1 5,y04当 4xo2+1=3 即 x0二时,2(y0 ) min(£4)法二：如图，2 MM 2AA2 BB2 AF BF AB 3MM 23 一一即 MM 12.

10、5，"一，MM 1,当AB经过焦点F时取得最小值。4A；B1B25.M到x轴的最短距离为-4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2,从而形成yo关于xo的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当 三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验 证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。22例6、已知椭圆仁 1(2 m 5)过其左焦点且斜率为1的直线

11、与椭圆及准线从左到右依次m m 1变于 A、B、C、D、设 f(m)= I ABCD| ,(1)求 f(m), (2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因 A、B来源于“不同系统” ，A在准线上，B 在椭圆上，同样 C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x轴上，立即可得防f(m) (Xb Xa)V2 (Xd Xc)V2 2|(Xb Xa) (XdXc)|2 (xB xC ) (XA XD)Wb Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 22解：(1)椭圆 y 1 中，a2=m, b2=m-1 , c2=1,左焦点 Fi(-1,

12、0) m m 1则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则2mx1 +x2=- (22m 1m 5)f(m) | AB CD| 何xb xa) (xD xc)例x1 x2) (Xa Xc> 物x1 X2 氏 2mm7(2) f (m) 22m 1 1 V2(1 一1一) 2m 12m 1 当 m=5 时,f(m)min10、.29当 m=2 时，f(m)max4.23点评：此题因最终需求Xb Xc,而BC斜率已知为1,故可也

13、用“点差法”设 BC中点为M(xo,yo),通过将 B、C坐标代入作差，得x0k 0 ,将yo=xo+1 , k=1代入得 & 汉 0，二m m 1m m 1m 2mxo ,可见 xB xc 2m 12m 1当然，解本题的关键在于对f (m) | ABCD|的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f (m) xB xC是解此题的要点。【同步练习】2, 一 ,x1、已知：F1, F2是双曲线a2。 1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点 b ABF 2的周长为(A、4aB、 4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小1,则P点的轨迹

14、方程是A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,AB AC，点B、C的坐标分别为(-1, 0),(1,0),则顶点A的轨迹方程是(A、B、1(x0)C、21(x 0)3D、1(x0且 y 0)4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是A、(x2)24(x1)B、(x 1)221)C、(y2)24(x1)2/D、x (y2)24(x1)5、已知双曲线2y161上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是6、7、抛物线y=2x2截一组余率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 已

15、知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2, 0),则弦AB中点的轨迹方程是 8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则 k=22x v10、设点P是椭圆 1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求 sin/FPF2的最大值。 25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2, 1), AB4J3,求直线l的方程和椭圆方程。2212、已知直线l和双曲线 与 y2r 1(a a2b2求证：AB CD o

16、0,b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、Do1、CAF2 AF1 2a, BF2 BF1 2a , AF2 BF2AB 4a,AF2 BF2 AB 4a 2m,选 C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为 y2=16x,选C3、D AB AC 2 2,且 AB AC ,点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即yw0,故选D。4、A设中心为(x, y),则另一焦点为(2x-1 , 2y),则原点到两焦点距离和为4 得1 v1(2x 1)2 (2y)24,(x又 c<a,.-. . (x 1)2 y22 .(x-1)

17、2+y2<4 ，由，得 xw -1,选 A295、 一3992952929左推线为x=-, M到左推线距离为d 4 (-)则M到左焦点的距离为ed-555353c 1 /1、6、x -(y -) 22设弦为 AB, A(x 1, y1)，B(x2, y2)AB 中点为(x, y),则 y1=2x12, y2=2x22, y-y2=2(x 12-x22).y y21一 2(x1 x2)2=2 - 2x, x x22,1111将x代入y=2x2得y一,轨迹方程是x-(y> )22227、y2=x+2(x>2)设 A(x1，y1)，B(x2, y2), AB 中点 M(x , y)

18、,则22y1 2x1, y2kABkMP2x2,y2 y22(x1 x2),y (y1 y2)2x1 x22 ,即 y2=x+2又弦中点在已知抛物线内P,即 y2<2x,即 x+2<2x ,x>28、4222a b 4, c 8,c2%,'万，令x2 J2代入方程得8-y2=4y2=4, y=±2,弦长为 49、&或 1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0- 1k20 一 一得 4k2+8(1-k2)=0, k= <20 1-k2=0 得 k= ± 110、解：a2=25, b2=9, c2=16设 Fi、F2 为左、右焦点，则 F1(-4, 0)F2(4, 0)设 PFi| r/PFzl2, F1PF2则 r1 r22r12 r22 2 r1r2 cos(2c)22-得 2门r2(1+cos 0 )=4b21+cos 0 =4b22rj22b2rj2r1+r22'71r2",，门r2的最大值为a2，1+cos。的最小值为2b2-2， a即 1+cos 01825cos。25'arccos7 贝U 当25一时，sin 0取值得最大值1,2即sin /