2020年高三数学高考试题精编：15.2几何证明

1、第十五章新增内容和创新题目二、几何证明【考题分类】（一）填空题（共 9题）解析：首先由割线定理不难知道 AB ACAD AE ,> AE 8,de5,又 BD AE,故/ OAP=30 ,贝U CP=BP AP acos30o 在Rt OPA 中，旦2.由相交线定理知,八 2八9CP -aCP -a3 ,所以 8a的中线，等于斜边的一半，EF= 2 .1 .（北京卷理12）如图，eO的弦ED, CB的延长线交于点 A。BD AE, AB= 4, BC= 2, AD= 3,贝U DE=; CE=【答案】5, 27BE为直径，因此 C 90 ,由勾股定理可知CE2 AE2 AC2 28 ,故

2、CE 2"2 .（广东卷理14）如图3, AB, CD是半径为a的圆。的两条弦，它们相交于 AB的中点P,2a9 a【答案】8 .【解析】因为点 P是AB的中点，由垂径定理知，.OP AB.33a - aBP AP CP DP ,即 223 .（广东卷文14）如图3,在直角梯形 ABCM, DC/ AB, CBL AB,AB=AD=aCD=2，点E, F分别为线段 AB, AD的中点，贝U EF=解：连结DE,可知AED为直角三角形。则EF是Rt DEA斜边上4 .（湖南卷理10）如图1所示，过e O外一点P作一条直线与e O交于A, B两点，已知PA= 2,点P到eO的切线长PT

3、=4,则弦AB的长为【答案】6【解析】根据切线长寸定理2PT PAgPB,PBPT2PA1682所以 AB PB PA 8 2【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。2ab5 .（湖北卷理15）设a>0,b>0,称a b为a, b的调和平均数。如图， C为线段AB上的点,且AC=a CB=b,。为AB中点，以AB为直径做半圆。过点 C作AB的垂线交半圆于 D连结 OD ADBD>过点C作OD勺垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数，线段的长度是a,b的几何平均数，线段的长度是a,b的调和平均数。【答案】CD CE2【解析】在RtADB中DC为年则

4、由射影定理可得 CD AC CB ,故CD厢,即 CD长度为a,b 的几何平均数，OC=ab, OD将OD CEOC CDOE OC2CE2(a b)22ab2（a b）,所以ED=OD-OE=i b ,故DE的长度为a,b的调和平均数.6.（陕西卷理15B)如图，已知 RtABC的两条直角边 AC,BC的长分别为 3cm,4cm,以ACBD为直径的圆与AB交于点D,则DA【解析】（方法一）.易知AB425,又由切割2线定理得BCBD AB42BDBD165DA AB BD 51655 .故所求BDDA165169（方法二）连CD, .易知CD是Rt ABC斜边上的高,2由射影定理得BC BD

5、 AB,BD BD AB BC222AC DA AB.故所求 DA DA AB AC16【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综32合，要注意有关定理的灵活运用7.（陕西卷文15B）如图，已知 Rt ABC的两条直角边 AC, BC的长分别为3cm, 4cm,以AC 为直径的圆与 AB交于点D,则BD=cm.16【答案】5 cm222【解析】:易知AB %'345 ,又由切割线定理得BC BD AB ,2164 BD 5 BD 5 .8.（天津卷理14）如图，四边形 ABC皿圆。的内接四边形，延长 AB和DCf交于点P,若PB 1 PC 1 BC-一 _ - PA 2 PD 3

6、 ,则AD的值为。娓【答案】6【解析】因为 ABC加点共圆，所以/ DAB/ PBC因为/ P为公共角，所以pBCsPB PC BC/ PCB / CDA=r i* 9 J一X /PAB，所以、一一x yPD PA AD ,设回BCx八一，2 ，所以AD =、【命题意图】本题考查四点 9.（天津卷文11）如图，PC=x, PB=y,贝U有 3y 2x ,即x正3y To共圆与相似三角形的性质。四边形 ABCD圆。的内接四边形，延三一一BC长AB和DCf交于点P。若PB=1, PD=3贝U AD的值为1【答案】3【解析】因为 ABC加点共圆，所以/ DAB /PCBZCDA=/ PBC因为/ P

7、为公共角，所以PBCsBC PB 1AD = PD 3 oPB PC BCPAB ,所以PD PA AD ,所以15分【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。（二）解答题（共 3题）1 .（江苏卷21）AB是。的直径，D为。上一点，过点 D作。的切线交 AB延长线于 C,若DA=DC求证：AB=2BC解析本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结 OD则：ODh DC又 OA=OD DA=DC 所以/ DAOW ODAh DCQ/ DOCh DAO廿 ODA=2 DCQ所以/ DCO=300 / DOC=600所以 OC=2OD 即 OB=BC=OD=OA

8、f 以 AB=2BC（方法二）证明：连结 OD BD因为AB是圆。的直径，所以/ ADB=900 AB=2 OR因为DC是圆。的切线，所以/ CDO=900又因为 DA=DC所以/ DAC=Z DCA于是 AD军 CDO从而 AB=CO即 2OB=OB+BC得 OB=BC 故 AB=2BC2 .（辽宁卷理22）如图， ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（I）证明：ABEs ADCc 1S -AD AE（II）若ABC的面积 2,求BAC的大小。(22)证:< 1 >由已知条件,用用上HAEwECAD.因为上山型与姑同翅上的阿周勉所以故ABEs&yjC( UI因为AJ5ESA4DC.所以" u丝.AB AC = AD A£AE AC _1I又S'AffTCjinZJUC 且 S =&lABACanZSAC = ADAE,22则&= 又44C为三角形内角.所以乙10分3 .（全国I新卷理 22文22）如图：已知圆上的弧 Ac BD ,过C点的圆的切线与 BA的延 长线交于E点，证明：（I） ACE= BCD。 cc