中考数学旋转(大题培优)及详细答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图1，在RtZiADE中，NDAE=90。，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重 合），以AC为一直角边在由 ADE的外部作RtZkABC, Z BAC=90%连接BE、CD.（1）在图1中,若AC=AB, AE=AD,现将图1中的RS ADE绕着点A顺时针旋转锐角a, 得到图2,那么线段BE. CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由：（2）在图1中，若CA=3, AB=5, AE=10, AD=6,将图1中的由 ADE绕着点A顺时针旋 转锐角a,得到图3,连接BD、CE.求证： ABE ACD；计算:BD?+CE2的值.【答案】（1）B

2、E=CD, BECD,理由见角：（2）证明见解析；BD2+CE2=170.【解析】【分析】（1）结论：BE=CD, BELCD：只要证明 8AE拶 CAD,即可解决问题：（2）根据两边成比例夹角相等即可证明ABE- ACD.由得到N4B=NC04再根据等量代换得到NOGE=90。，即0G_L8E,根据勾股定理得至IJ BD2+CE2=CB2+ED2,即可根据勾股定理计算.【详解】（1）结论：BE=CD, BECD.理由：设8E与AC的交点为点F, BE与CD的交点、为点、G,如图2./ Z CAB=Z EAD=90 ：. Z C40=N BAE.AB=AC在4 CAD 不以 BAE 中，/ /

3、BAE = ACAD , /. CAD BAE, ：. CD;BE, AE = ADZ ACD= ABE. Z BFA=Z CFG, Z BFA+N A8F=90, /. Z CFG+N ACD=90 ：. Z CGF=90 ：. BE工CD.(2)设与CO于点F, 8E与DC的延长线交于点G,如图3.AE ADC4=3, 48=5, AD=6f AE=109 ：.=2, /. ABE- ACD- AB AC: a ABE- 4 ACD. ：. Z AEB=A CDA. 4AFD=N EFG, N AFD+N CDA=90,N EFG+N AEB=90, /. Z DGE=90OGJL8E,/

4、. Z AGD=A BGD=90% /. CE2=CG2EG2. BD2=BG2WG ：. BD2CE2=CG2EG2+BG2WG2.CG2+8G2=CB2f EGZWG2=ED ：. BD2+CE2=CB2+D2=Cy42MB2MD2MD2=170.【点睛】本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题 的关键.2.已知：48C和4）均为等边三角形，连接8E, CD,点F, G,分别为。E, BE, CD 中点.（1）当 ADE绕点4旋转时，如图1,则的形状为，说明理由；（2 ）在

5、旋转的过程中，当8, D, 三点共线时，如图2,若48=3, 4）=2,求线段 FH的长：（3）在旋转的过程中，若A8=a, AD=b （Ob0）,则 FGH的周长是否存在最大 值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由.JAA【答案】（1）是等边三角形：（2）加二1： （3）片的周长最大值为:223（o+b）,最小值为一（a-b）.2【解析】试题分析：（1）结论：是等边三角形.理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH,再想办法证明NGFH=60。即可解决问题：、（2）如图2中，连接AF、EC.在八生和内 4FB中，解直角三角形即可：3（3）首先证明GFH的周长=3GF

6、=k8D,求出8。的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：FGH是等边三角形.理由如下：如图1中，连接86CE,延长8D交CE于M,设8M交小于点0.图1 A8C 和4DE 均为等边三角形，AB=AC. AD=AE. N BAC=4 DAE,N 84D=N CAE,1?. BAD CAE, ：. BD=CE9 Z ADB= AEC. Y EG=GB, EF=FD, ：. FG-BD. GFW BD,21I DF=EF, DH=HC, ：. FH=-EC. FHW EC, ：. FG=FH, 丁 N 408+N AOM=180,2/. Z AEC+N ADM=180 ：. Z O

7、MC+N DAE=180 ：. Z DME=120 ：. Z 8MC=60/. Z GFH=Z BOH=Z BMC=60 ：. & GHF是等边三角形,故答案为：等边三角形.(2)如图2中，连接4人EC.G易知 AF_LO,在 RtZiAEF 中，4E=2, EF=DF=1,二 AF=22 _12 =0 在 RS48F 中, BF=，AB2 -AF2 =/6 BD=CE=BF - DF=Jb- , FH= ； EC= -1 .（3）存在.理由如下.I3由（1）可知，GFH是等边三角形，GF= 8D,，4 GFH的周长=3G六二BD,ABD223中，AB=a, 4D=b,8。的最小值为o - b

8、,最大值为a+b,.4 FGH的周长最大值为一23（Q+b）,最小值为一（a - b）. 2点暗：本题考查等边三角形的性质.全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的 三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全 等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题.3.如图1,菱形ABCD, AB = 4，2ADC = 120、，连接对角线AC、BD交于点O, （1）如图2,将AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的aABO与菱形ABCD 重合部分的面积.（2）如图3,将ABO绕点0逆时针旋转交AB于点E，交BC于点F,求证：BE

9、 + BF=2；求出四边形OEBF的面积.DDD【答案】（1）、后2）证明见解析【解析】【分析】先判断出4ABD是等边三角形，进而判断出 EOB是等边三角形，即可得出结论:先判断出二 OBF,再利用等式的性质即可得出结论;借助的结论即可得出结论.【详解】(1).四边形为菱形，NADC = 120、，/ADO = 60，ABD为等边三角形，/DAO = 30、，NABO = 60，: ADA9,Z AOB=60.EOB为等边三角形，边长OB = 2,，重合部分的面积：立x4 = J5， 4(2)在图3中，取AB中点E,由(1)知，Z EOB=60, N EOF=60,Z EOEN BOF,又EO

10、=BO, /. Z OEEz=Z OBF=60,/. OEEQ 4 OBF,. EE=BF,/. BE+BF=BE+EE=BE=2：由知，在旋转过程中始终有 OEEQ OBF,Sa oee,=Sa obf，S 四边杉 OEBF = S 屣b =,【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较 强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.4 .在平面直角坐标系中，0为原点，点A(0, 4),点B (-2, 0),把AABO绕点A逆 时针旋转，得AB9，点B、O旋转后的对应点为e、0;(1)如图，若旋转角为60。时，求BB，的长；(2)如图，若ABx轴

11、，求点0的坐标；(3)如图，若旋转角为240。时，边0B上的一点P旋转后的对应点为，当OT+AP，取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）图图图【答案】26；（2）点0,的坐标为（巴WE+4） ； （3）点，的坐标为（- 558/3 36， 5 5【解析】分析：（1）由点4 8的坐标可得出A8的长度，连接86,由旋转可知：AB=ABZ BAB1=60,进而可得出八8&为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出89的长：（2）过点0,作0，DJ_x轴，垂足为D,交48,于点&则4/Es4A80,根据旋转的性 质结合相似三角形的性质可求出4E、OE的长，进而可得出点0的坐标：（3）作点4关于x

12、轴对称的点H,连接A0,交x轴于点P,此时OP+AP取最小值，过 点0祚07My轴，垂足为点F,过点作PM_LO5垂足为点M,根据旋转的性质结合解 直角三角形可求出点0,的坐标，由4 A关于x轴对称可得出点A的坐标，利用待定系数 法即可求出直线A0,的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，进而 可得出0P的长度，再在RS0PM中，通过解直角三角形可求出0，M、PM的长，进而可 得出此时点的坐标.详解：（1）二.点 A （0, 4）,点 8 （ - 2, 0） ,04=4, 08=2,.AbZoaOB? =2 小.在图中，连接88、由旋转可知:AB=AB, N 848=60, 4

13、88为等边三角形，88=48=26.（2）在图中，过点。作CTDJ_x轴，垂足为D,交八8吁点E.ABW x 轴，OJ_x 轴，/. Z OA=90=N AOB.一，.，AE OE AO IIn由旋转可知：Z BA0=A BAO, A0=A0=4, ：. AOE- ABO, =，即AO BO ABAE O,E 44F-25 fAE=lt OE=些，.OD=i+4, .点。的坐标为（也拽+4）.55（3）作点A关于x轴对称的点H,连接A0,交x轴于点P,此时0，P+4P取最小值，过 点O彳乍。午JLV轴，垂足为点F,过点P作PMJ-OE垂足为点M,如图3所示.由旋转可知：4。=4。=4, N 0

14、1二240。- 180=60,AF=-A0=2. 0T= XlOr=2,22，点 O ( -26,6).点 4 (0, 4) ,点/V (0, -4).设直线AO的解析式为片kx+b,将A (0, -4)、O ( -2yj3 , 6)代入尸kx+b,得： =一4L,解得：-2回+b = 6_ 5价广= 一广，,直线AO,的解析式为片-Hl x - 4.b = -43当片0 时，有-2Y5x-4=0,解得：X=- &. 点P (- 士, 0), 355. op=op=RE .51 2x/T在 RtA 0tpM 中，Z MOP=60, Z 0=90% /. 07Vk一,2 5PM=2/IoP=9,

15、 .点 p，的坐标为(-2/ + 至，6+9),即(-些，苗).255555点睛：本题考查了函数图象及旋转变换、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判 定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用等 边三角形的性质找出8夕的长：（2）通过解直角三角形求出AE、OE的长；（3）利用两点 之间线段最短找出当OP+AP取得最小值时点P的位置.5.如图2,边长为2的等边 ABC内接于OO. ABC绕圆心0顺时针方向旋转得到 AB C AC分别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为或0 a V 360。）.图1图2（1）当优=_, ABU与 ABC出现旋转过程中的第

16、一次完全重合：（2）当a=60。时（如图1）,该图（）A.是中心对称图形但不是轴对称图形B.是轴对称图形但不是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形（3）如图2,当0。120。， ADE的周长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如 不会变化，求出它的周长.【答案】（2）120。； （2） C： （3） aDE的周长不变.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的中心角为120。可直接求解：（2）根据题意可知，当a=60。时，点A、.、B、B、C、C为。0的六等分点，所有的三 角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形：（3）得

17、到结论：周长不发生变化，连接A4,根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可 得品=需，即扉=寻，再根据等弧所对的圆周角相等，得乙44。，由等角对 等边的性质可得助二叫 同理D=，因此可求4DE的周长=EA + ED + DA=EA + ED + DC = AC = 2 【详解】解：（1） 120.如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得N 0=120：(2) C(3) /U)E的周长不变：理由如下：连接AA，.AB = AC ，.用鼎 ，场场 ， LBAA1 = LAAC ，.EA = EAl ，同理，DA = DC,/.a ME的周长丰力+ ED + /X4 即+ED + DdC

18、 = 2考点：正多边形与圆，圆周角定理 6.己知 ABC是等腰三角形，AB=AC.（1）特殊情形:如图1，当DEIIBC时，有DB_EC.（填或=）（2）发现探究：若将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转a （0aE.（1）求证：ACDE是等边三角形：（2）当610时，的必。E周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长：若不存在，请说明理由.（3）当点。在射线。Af上运动时，是否存在以,E,5为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时P的值；若不存在，请说明理由.【答案】详见解析：存在，2d+4； （3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶 点的三角形是直角三角形.【解析】试题分析：（1）由旋转

19、的性质得到N DCE=6O。，DC=EC,即可得到结论：（2）当6VtV10 时，由旋转的性质得到BE=AD,于是得到Gdbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形 的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD_LAB时， BDE的周长最小，于是得到结 论：（3）存在，当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当046时， 由旋转的性质得到N ABE=6O。，Z BDE60,求得N BED=90。，根据等边三角形的性质得到 Z DEB=60,求得N CEB=30% 求得 OD=OA - DA=6 - 4=2,于是得到 t=2-M=2s：当 6t10s时，由旋转的性质得

20、到仕DBE=60。,求得NBDE60。， 于是得到 t=14-s-l=14s.试题解析：（1）证明：.将4ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到ABCE,Z DCE=60, DC=EC, CDE是等边三角形；（2）存在，当6由（1）知， CDE是等边三角形，/. DE;CD,Ca dbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CD_LAB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2招cm,: & BDE的最小周长=CD+4=2招+4：(3)存在，.当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意，当046时，由旋转可知，Z ABE=60, Z BDE60,. Z BED=90,由(1)可知，4CDE是等边三角形，/. Z DEB=60,. Z CEB=30%Z CEB=Z CDA,/. Z CDA=30,Z CAB=60,Z ACD=Z ADC=30%/. DA=CA=4, OD=OA - DA=6 - 4=2,t=2+l=2s：当 6t90.1.此时不存在：当t10s时，由旋转的性质可知，NDBE=60。，又由(1)知NCD