2020年【通用版】高考数学(艺术生)考前冲刺专题《立体几何初步》测试题(含答案)

1、专题9立体几何初步测试题命题报告:1. 高频考点：三视图的认识，几何体的表面积和体积的求解。2. r考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，每年必考，重点考查三视图和表面积、体积的综 合，与球有关的外接和内切问题。3.重点推荐：基础卷 16题，涉及数学文化题的应用，是近几年热点问题；一.选择题1.所有棱长都为1的正四棱锥的体积是（）A、2 B 、叵 C 、巨 D 、虫3363【答案】：C【解析】正四棱锥的侧棱、高、底面对角线的一半构成直角三角形，所以高为1 6&-x lx二3161正四棱锥的底面积为 1,所以体积为一 ，故选C.2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的

2、几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（）.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体【解析】 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图3. （2018金山一模）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为区A. L-J B .刃C晶疡AS43(1) ©( )区国区1解析】根据题意,得i点a在平面ecca上的投影是瓦点、D在平面bcc：昆上的投影是C,棱蛇:在平面BCCB上的投彩是8人Mh在平面BCC瓜上的投嵬是寸"民口在平面BCCR上的投裳是是被挡住的棱,应画成虚线？如图所示,故选,B，4.如图，网格纸上小正方形

3、的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为产八士., 1i 111 一 . 1-A.90 兀B.63 兀C.42 兀答案 B解析 法一（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一D.36tt一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 2，所以该几何体的体积 V=兀X 3 2* 4+兀X 3之X 6X 2 = 63兀.1 一.2 一 一法一.（估值法）由题忌知，2V圆柱V凡何体V圆柱，又V圆柱=兀*3 *10=90兀，45

4、兀 V凡何体90兀.观察选项可知只有 63兀符合.5.在棱长为a的正方体中，P、Q是体对角线 AC上的动点,a 且PQ -,则三棱锥P-BDQ的体积为（2 a3 D2412【答案】：A【解析】特殊化处理，让点 Q与C重合，则三棱锥 P-BDC的体积为所求,S因为时沿=丁4,由三角形的相似比可得P到底面BCD的距离为3，2.3Tjr 1 1 2 a。P-BCD =一黑一& X= j-晌，.- ，二 3 3场洋八 所以a ,故选A.366 . （2018-?烟台一模）已知三棱锥 P-ABC的所有顶点都在球 。的球面上， ABC是边长为6 的正三角形,PA, PB, PC两两垂直，则球。的体

5、积为（AB. - 1C. 3兀 D. 4 ："【答案】：A工解析】:ABC是边长为加的正三角形 PA, PB, PC两两垂直"FPFPC二1由三棱镇P-瓯的所有顶点都在球0的球面上n蜘0相当于接长为1的正方体做展璘，故rWJ+J+J一逗 敌球0的体 22积阳母TTrX冬JT,故选：A. uaZAB CD 一 .4阖 G D.7 .长方体 -的体积为V, P是DDi的中点，Q是AB上的动点，则四面体 P-CDQ的体积是()A、1V6、-V124【答案】：D【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a, BC或 AA, c ,则有V=abc,产。=q 5毋” =1 CD 一m二1

6、口匕2 ,22由题意知 -一，所以厂 _lc口nJ 1 l 1 _ 1 ： _一二 " 一" 1-V128 . （2018?三明二模）如图，已知正方体ABCD- ABGDi的棱长为2,则以下四个命题中错误的是（A.直线 AC与AD为异面直线B. AiCi/平面 ACDC. BDXAC D.三棱锥 D-ADC勺体积为三【解析】由正方体 ABCD- AiBCiD的棱长为2,知：在 A中，直线 AiG?平面AiBiGDi, BD?平面AiBiGD,Di?直线AiCi,由异面直线判定定理得直线 AG与AD为异面直线，故 A正确；在B中，: AG/AC, AC?平面 ACD, AC?

7、平面 ACD,A1C1/平面 ACD,故 B正确；在 C 中，二,正方体 ABC。ABiCD 中，AC± BQ AC，DD, BDA DD,AC±面 BDD,BD1XAC,故 C正确；在,故D错误.故选：D.9 .如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）D中，三棱锥Di-ADC勺体积:,球。是该正八面体的内切球，则球 。的A.B.C.D.【解析】：由题意，该八面体的棱长为2,设球。的半径为r一 S 表近,解得r=W,所以球O的表面积为: VsA.表面积为（E10. (2018年东北.三省三校，(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)三模 )棱长为2的正方体

8、ABC。A1BGD中，E为棱AD中点，过点Bi,且与平面 ABE平行的正方体的截面面积为( )A. 5B. 2 KC, 2. ；D. 6【答案】.C【解析】；取区中点1氐D;中点。连结DF、£尸、原DG、6次，见二棱长为2的正方体AfiCD-A此CM中，E为棱All中点，二EE/DFj AiE/®j又 MEClM=E,&E、EEu平面 鸟斑, DG、DF匚平面 D70G,二过点口，且与平面A：0E平行的正方体的裁面为四边形DFB岛'/DF=JBL=fi；G=DG= V4+1 =75, DEj=$4+4+ 4=2«.心，过点BtJ且与平面A；BE平行

9、的正方体的截面面积为：S菱形FE GD. 乂 DE 乂 斯"乂2詹乂 2V?2遂.故选：J 1u£4GBE为线段11.如图，若 Q是长方体ABCD- AiBiCiD被平面EFGHB去几何体 EFGHg后得到的几何体，其中AiBi上异于Bi的点，F为线段BB上异于Bi的点，且EH/ AD,则下列结论中不正确的是()A. EH/ FG B.四边形EFG卷矩形C. Q是棱柱D.四边形EFGHT能为梯形【答案】D;【解析】：若FG不平彳T于EH,则FG与EH相交，交点必然在 B1C1上，与EH/ B1C1矛盾，所以FG/ EH,古A正确；由EH!平面A1ABB1得到EHL EF,可

10、以得到四边形 EFGH矩形,故B正确；将Q从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故 C正确；因为EFGHB去几何体 EFGHBD后，EH/, BC CF,所以四边形 EFGH可能为梯形，故 D错误.故选：D.12 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍薨，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知 l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为（）A. 10000立方尺B. 11000立方尺C. 12000立方

11、尺D. 13000立方尺【答案】：A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示:沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直,则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,则三棱柱的体积V1X3X 2X2=6,四棱锥的体积V2=X 1 X3X 2=2 3由三视图可知两个四棱锥大小相等,V=V+2V2=10立方丈=10000立方尺.故选： A.二.填空题xOy则它的直观图的面积是13 .正AOB勺边长为a,建立如图所示的直角坐标系答案挥1 解析回出坐标系x'O'y',作出OAB勺直观图O'AB'（如图）.D'为O A

12、'的中点.易知D' B'=-DBD为OA勺中点），S；AO A B，=；x 4&OAB=乎X 号a2=a2. 22441614 .如图，已知正方体 ABCDA1BCD的棱长为1,则四棱锥 A-BBDD的体积为.1【答案I .Q 3【解析】由题意可知四棱锥 A-BBDD的底面是矩形，边长为 1和曲 四棱锥的高为1AG=J22,则四棱锥 A1-BBD1D的体积为1x 1X 2X=1.故答案为J.32 3315 .有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），/ AB仔45° , AB= AD= 1, DCL BC则这块菜地

13、的面积为 .答案 2+2解析 如图1,在直观图中，过点 A作AE! BC垂足为E此IB22Z ABE= 45 ,BE= 2AD= EC= 1.在 RtABE中，AB= 1,又四边形AECM矩形，2. BC= BE+ EC= *+1.由此还原为原图形如图 2所示，是直角梯形 A B C D'.在梯形 A B C D'中,A D' =1, B C =¥+1，A B' =2.这块菜地的面积 S= 2（A' D' +B' C' ） A B' =1x 1 + 1+、2 X2=2+ 呼.16 .九章算术中对一些特殊的几何体有

14、特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖月需（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 ABC- ABC中，AA=AC=5 AB=3, BC=4由则阳马C1 - ABBA1的外接球的表面积是 。【答案】50兀【解析】：由题意知，直三棱柱 ABC- ABC中,AA=AC=5, AB=3, BC=4,四棱锥Ci- ABBAi的外接球即为直三棱柱的外接球,以AR BG BB为共顶点，画出长方体，如图所示,则长方体的外接球即为三棱柱的外接球;=/50,，所求的外接球的直径为体对

15、角线2R=AC='，外接球的表面积是 S=4tt R2=ti?(2R) 2=50兀.三.解答题17 .已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为2, 4, 4,试求此线段的长度。ASCD AiB CjD, 【解析】：如图想象出线段 BDi所在的空间几何体是长方体-,可得其正视图、俯视图、侧视图分别为设长方体三条棱长分别为a, b, c,则有口十T 16 22a b 4,小十小二16八,从而得BDi =10分P ABCD,下部的形状是正四18 .现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥棱柱ABCDAiBGD(如图所示)，并要求正四棱柱的高 OO是正四棱锥的高

16、 PO的4倍，若AB= 6 m, P0= 2m,则仓库的容积是多少?【解析】由PO= 2 m,知OO= 4PO= 8 m.因为AB = AB= 6 m,所以正四棱锥 P AiBCD的体积V锥=, AiB2 , PO= X 6 2 2= 24(m|3) ; 4分33正四棱柱 ABCD- A BCD的体积V柱=八百 OO= 62X8=288(m3),所以仓库的容积 V= V锥+ V柱=24+288=312(m3).故仓库的容积是 312 m3. 12分19.如图，长方体 ABCDAiBGD 中，AB= 16, BC= 10, AA = 8,点 E, F分别在 AiB, DC 上，AiE= DF=

17、4.过点E, F的平面oc与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值【解析】(1)交线围成的正方形 EHG欣口图所示.(2)如图，作 EM/LAB 垂足为 M 则 A阵AE= 4, EB= 12, EM= AA=8.因为四边形 EHG的正方形，所以 EH= EF= BC= 10.于是 MH=EHEIM= 6, AH= 10, HB= 6. 1故 S 四边形 AiEHA= X(4+ 10)X8= 56,一1S 四边形 EBBH= 2X (12+6)X8= 72.因为长方体被平面 a分成两个高为10的直棱

18、柱，9 7.所以其体积的比值为 7 9也正确 12分7 920.在三柱 ABG-ABC 中，侧面 AACC，底面 ABC AA=AC= AC= AB= BC= 2,且点 O为 AC中点.(1)证明：AO,平面ABC(2)求三棱锥G ABCW体积.证明因为AA = AC,且O为AC的中点，所以AOL AC 3分又平面 AACC平面 ABC平面AACCA平面 ABC= AC且 AC?平面 AACC, AO,平面 ABC 6 分(2)解 . AC / AC, AC?平面 ABC AC?平面 ABC .A1C1/平1面ABC即C到平面ABC勺距离等于 Ai到平面 ABC勺距离.由(1)知 ACL 平面

19、 ABC& AiO= aAAO =，3,V1 -abb V1 abb qSL abc - AiO= wXjX2Xl3xy3=1. 12分33 221.如图所示，在三棱锥 P ABC, PAL底面ABC D是PC的中点.已知/ BAC=j, AB= 2, AC= 2y3, PA= 2.求:(1)三棱锥P- ABC勺体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值一，一1【解析】（1） &abc= 2*2X2 43=2,13,1三棱锥P ABC勺体积为 V= 3SAABC.（2）如图，取PB的中点E,连接DE AE则ED/ BC所以/ AD既异面直线BCW AD所成的角（或其补角）.在4ADE中，DE= 2, AE=业，AD= 2,cos / ADE=22+ 22-22X2X2 =34.3故异面直线B9AD所成角的余弦值为4. 12分22. （20187W淀区二模）如图，已知菱形AECM对角线AC, DE交于点F,点E为的AB中点.将三角形 ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.（I ）求证：DE1平面PCF，（II）证明：平面 PBCL平面PCF;（出）在线段 PD, BC上是否分别存在点 M N,使得平面CFM/平面PENP若存在，t#指出点 M N的位置， 并证明；若不存在，请