上海备战中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习

1、上海备战中考数学一圆的综合的综合压轴题专题复习一、圆的综合1.如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，点 E ABC 内切圆的圆心，连接 AE 的延长线交 BC 于 点 F,交OO 于点 D;连接 BD,过点 D 作直线 DM,使/ BDM=ZDAC.(1) 求证：直线 DM 是OO 的切线；(2 )若 DF=2,且 AF=4,求 BD 和 DE 的长.VD【答案】(1)证明见解析(2) 23【解析】【分析】(1 )根据垂径定理的推论即可得到0D 丄 BC,再根据/ BDM=ZDBC,即可判定 BC/ DM ,进而得到 0D 丄 DM，据此可得直线 DM 是OO 的切线；(2)根据三角形内心的定义

2、以及圆周角定理， 得到/ BED=ZEBD,即可得出 DB=DE,再判定厶 DBF DAB,即可得到 DB2=DF?DA,据此解答即可.【详解】(1 )如图所示,连接 0D.点 E 是厶 ABC 的内心，/BAD=ZCAD, 二BDCD， 0D 丄 BC.又/BDM=ZDAC, / DAC=ZDBC,BDM=ZDBC, BC/ DM , OD 丄 DM .又/ OD 为OO 半径，直线 DM 是OO 的切线.(2)连接 BE/E 为内心，ABE=ZCBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD, /BAD=ZDBC, /BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即/BED=ZDBE,BD=DE.又ZB

3、DF=ZADB (公共角)， DBFs DAB, 匹DB，即 DB2=DF?DA.DB DA/ DF=2, AF=4, DA=DF+AF=6, DB2=DF?DA=12, DB=DE=23.【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.2.图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在O0 的半径为2 2, AB=2 2-3，点 P 为优弧AB上一点(点 P 不与 A, B 重合)，将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对

4、称点 A.A郢匿 H发现：(1 )点 0 到弦 AB 的距离是 _，当 BP 经过点 0 时，/ ABA = _;(2)当 BA 与O0 相切时，如图 2,求折痕的长.拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P (不与点 M, N 重合)为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点 M, 0 的对称点 A, 0,设/ MNP =a.(1 )当a=15时过点 A 作 A C/ MN，如图 3,判断 A C 与半圆 0 的位置关系，并说明理 由；(2)如图 4,当a=时,。NA 与半圆 0 相切，当a=时，。点 0 落在NP上.(3)当线段 N0 与半圆 0 只有一个公共点 N

5、 时，直接写出B的取值范围.【答案】发现：(1) 1 , 60 ( 2)2罷；拓展：(1)相切，理由详见解析；(2) 45 30(3)0VaV30 或 4590【解析】【分析】发现：(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点0 到 AB 的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出 / ABA .(2)根据切线的性质得到 / 0BA =90；从而得到/ ABA =120；就可求出/ ABP,进而求出 / 0BP=30 .过点 0 作 0G 丄 BP,垂足为 G,容易求出 0G、BG 的长，根据垂径定理就可求 出折痕的长.拓展：(1)过A、O 作 AH 丄 MN 于点 H, OD 丄 AC 于点

6、 D.用含 30角的直角三角形的性11质可得 OD=AH= AN=MN=2 可判定 A与半圆相切；22(2)当 NA 与半圆相切时，可知 ON 丄A,则可知a=45；当 O在时，连接 MO ,则1可知 NO = MN，可求得 / MNO =60 ；可求得a=30；(3) 根据点 A的位置不同得到线段 NO 与半圆 O 只有一个公共点 N 时a的取值范围是 0V aV30；或 45；0,由(2)可知当a增大到30时，点 O在半圆上,当 0 av30 时点 O在半圆内，线段 NO与半圆只有一个公共点 B；当a增大到 45时 NA 与半圆相切，即线段 NO 与半圆只有一个公共点B.当a继续增大时，点

7、 P 逐渐靠近点 N，但是点 P, N 不重合， a90:当 45wao 线段 BO 与半圆只有一个公共点 B.综上所述 0a3= =n,线段MN的长为180（2）如图1.v等边 DEF 的边长为 2n,等边 ABC 的边长为 3, S矩形AGHF=2nX3=Qn由题意知，12032AB 丄 DE, AG 丄 AF, ZBAG=120, S扇形BAG=1203=3n图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为3 （S矩形AGHF+S扇形BAG）=3 （6n+3n=27n;（3）如图 2,连接 BI 并延长交 AC 于 D.vI 是厶 ABC 的重心也是内心，/ZDAI=3013AD=AC=,二

8、OI=AI=AD2=3，二当它第 1 次回到起始位置时，点 I22 -cos DAI cos30所经过的路径是以 O 为圆心，OI 为半径的圆周，当它第 n 次回到起始位置时，点 I 所经过的路径长为 n?2n?3=23nn.故答案为 2 亦 nn.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边 DEF扫过的图形，解（3）的关键是得出点 I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的 题目9.定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一 半，那么称

9、三角形为 智慧三角形”.理解：如图已知-是 O 二上两点，请在圆上找出满足条件的点，使一二为智慧三角形”（画出点匚的位置，保留作图痕迹）；如图：，在正方形.-J 中，匸是三的中点，F 是二上一点，且：；-一：，试 判断AAEF是否为1AeIBe|AB=3n故答案为 3n;智慧三角形”，并说明理由；运用：如图2，在平面直角坐标系 中，03的半径为1，点是直线. 上的一点，若 在 0 0 上存在一点尸，使得OPQ为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此 时点三的坐标【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） P 的坐标（乙2,-）,（ L1 ,333【解析】试题分析：（1）连结 AO

10、并且延长交圆于 C1，连结 BO 并且延长交圆于 C2,即可求解；（2）设正方形的边长为 4a,表示出 DF=CF 以及 EC BE 的长，然后根据勾股定理列式表示 出 AF2、EF2 AE2,再根据勾股定理逆定理判定 AEF 是直角三角形，由直角三角形的性 质可得 AEF 为智慧三角形”； （3）根据 智慧三角形”的定义可得0PQ 为直角三角形, 根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为 3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可 求斜边的高，即点 P 的横坐标，再根据勾股定理可求点P 的纵坐标，从而求解.试题解析

11、：（1）如图 1 所示： DE=CE=2q/ BC: FC=4: 1 ,2 AEF 是否为智慧三角形”, 理由如下：设正方形的边长为 4a, E 是 DC 的中点， FC=a, BF=4a- a=3a,在 RtAADE 中,AE2=( 4a)2+ (2a)2=20a2,在 RtAECF 中, EF= (2a)2+a2=5a2,在 RtAABF 中，AF2=( 4a)2+ (3a)2=25a2, AE2+EF=AF2, AEF 是直角三角形，斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半， AEF 为智慧三角形”；(3)如图 3 所示：由智慧三角形”的定义可得 OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角

12、边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,由勾股定理可得 PQ=_ - _,PM=1X2- 3=驚-,3由勾股定理可求得 0 皿=：故点 P 的坐标(-3V9 円#*LL.考点：圆的综合题.10.如图，在直角坐标系中，oM 经过原点 0(0, 0)，点 A(、6, 0)与点 B(0, 、2),点D 在劣弧0A上，连结 BD 交 x 轴于点 C,且/ CO/ CBO.(1)求OM 的半径；求证：BD 平分/ ABO;(3)在线段 BD 的延长线上找一点 E,使得直线 AE 恰为OM 的切线，求此时点 E 的坐标.【答案】（1） M 的半径 r=2；

13、（ 2）证明见解析；（3）点 E 的坐标为（2 6, 2 ）3【解析】试题分析：根据点 A 和点 B 的坐标得出OA和 0B 的长度，根据 RtAAOB 的勾股定理得出 AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出/ ABD=ZCOD,然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出 ABEAHBE,从而得出 BH=BA=2.；2，从而求出 OH的长度，即点 E 的纵坐标，根据 RtAAOB 的三角函数得出/ ABO 的度数，从而得出 / CBO 的度数，然后根据 RtAHBE 得出 HE 的长度，即点 E 的横坐标.试题解析：（1） ：点 A 为（6, 0），点B为（o,V2）OA=7

14、6OB=V2根据 RfA0A0B 的勾股定理可得：A AB=2 2三eM M的半径冷A AB= 一2.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：/ ABD=ZCOD / / / COD=ZCBO / ABD=ZCBO BD 平分 / ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得ABEAHBE BH=BA=2 力 OH=222=2OA l在 RtAAOB 中，3 ./ ABO=60 / CBO=30OB在 Rg HBE 中，HE=BHSf .点E的坐标为（乙6,2 ）V333考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数11.在平面直角坐标系中，已知点A （ 2, 0），点 B （0，守），点

15、O（0, 0）.AOB绕着 O 顺时针旋转，得AOB，点 A、B 旋转后的对应点为 A, B,记旋转角为a圈 I匿 2(I)如图 1 , AB恰好经过点 A 时，求此时旋转角a的度数，并求出点 B的坐标；(H)如图 2,若 0v av90设直线 AA和直线 BB交于点 P,求证：AA丄 BB;(川)若 0v av360求(n)中的点 P 纵坐标的最小值(直接写出结果即可).【答案】(I)a=60 B (3,n)见解析；(川)点 P 纵坐标的最小值为丽-2.【解析】【分析】(I)作辅助线 洗根据点 A (2,0)，点 B (0、$；),确定/ ABO= 30证明 AOA 是等边三 角形，得旋转角

16、a=60,证明COB 是 30的直角三角形，可得 B的坐标；(n)依据旋转的性质可得 / BOB= / AOA=aOB= OB,OA= OA,即可得出 / OBB= / OAA11=-(180-a),再根据/ BOA= 90 +四边形 OBPA 的内角和为 360,即可得到/ BPA- 90即 AA丄 BB;II(川)作 AB 的中点 M ( 13)，连接 MP,依据点 P 的轨迹为以点 M 为圆心，以 MP 予 AB= 2 为半径的圆，即可得到当 PM / y 轴时，点 P 纵坐标的最小值为 并哼-2.【详解】 / ABO= 30；/ BAO= 60；由旋转得：OA= OA, / A= /

17、BAO= 60, OAA是等边三角形，a= /AOA=60 :/ OB= OB=2，/ COB= 90 - 60 = 30；11-BC= 7-OB=； “，,OC=3, B (3,护),(n)证明：如图 2,1/BOB=ZAOA=aOB= OB,OA = OA,11ZOBB= /OAA=(180 a), / BOA= 90 +5边形 OBPA 的内角和为 360 /BPA=360- (180- a) -(90 ) =90；即 AA丄 BB;1BOr “（川） 点 P 纵坐标的最小值为3-2 理由是:如图，作 AB 的中点 M （ 1,芒），连接 MP,点 P 的轨迹为以点 M 为圆心，以 MP

18、 = AB= 2 为半径的圆，除去点（2,2.）当 PM 丄 x 轴时，点 P 纵坐标的最小值为 k 严-2.11【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含 30角的直角三角形的性质，四边形内角 和以及圆周角定理的综合运用，解决问题的关键是判断点 P 的轨迹为以点 M 为圆心，以 MP 为半径的圆.12如图，AB为eO的直径，C、D为e O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作 CE DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E,直径AB与CE的延长线相交于点F.D(1)连接AC、AD，求证：DAC ACF180.(2 )若ABD 2 BDC.求证：CF是eO的切线.当BD6,tan

19、F3时，求CF的长.4【答案】( 1)详见解析;(2)详见解析；CF203.【解析】【分析】(1)根据圆周角定理证得/ ADB=90，即 AD 丄 BD, 由 CE1 DB 证得 AD / CF,根据平行线的性质即可证得结论；(2) 连接 OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出/ 3=2/ 1,由已知/ 4=2 / 1,得到/ 4=/3，贝UOC/ DB,再由 CE! DB,得到 OC 丄 CF,根据切线的判定即可 证明 CF 为OO 的切线；-BD 3+仆4由 CF/ AD,证出 / BAD=/ F,得出 tan / BAD=tan/ F=，求出 AD= BD=8，禾【JAD43OC3

20、用勾股定理求得 AB=10,得出 OB=OC= 5,再由 tanF =Q =兰，即可求出 CF.CF4【详解】解：(1)AB是e O的直径，且D为e O上一点，ADB 90,QCE DB,DEC 90,CF /AD,DAC ACF 180.(2)如图，连接OC.QOA OC,12.1 2,2 1.2 BDC,BDC 1,2 1,3,OC /DB.QCE DB,OC CF.又Q OC为eO的半径,tanBADtanFBD3AD4.Q BD6AD4BD38 ,AB6282-QOCCF,OCF 901 ,tanFOC3CF4，203【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综

21、合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.绕点：逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线 -与 的交点为（1 ）问题发现如图 1,当a = W时，线段丹门的长等于 _，线段饰】的长等于 _ .（2 ）探究证明如图 2，当 a =灯时，求证：，且RD】丄CE.（3 ）问题解决求点 到 所在直线的距离的最大值（直接写出结果）【答案】（1）（2）详见解析；（3）1 + V3【解析】【分析】（1 ）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BDi 的长和 CE 的长；（2 ）根据旋转的性质得出， / D1AB=ZEIAC=135进而求出 DABA

22、E1AC （ SAS，即可得出答案；（3）首先作 PG 丄 AB,交 AB 所在直线于点 G,则 D1, E 在以 A 为圆心，AD 为半径的圆 上，当 BDi所在直线与OA 相切时，直线 BD1与 CEi 的交点 P 到直线 AB 的距离最大，此时 四边形 AD1PE 是正方形，进而求出 PG 的长.【详解】（1） 解：/ZA=90, AC=AB=4, D, E 分别是边 AB, AC 的中点， AE=AD=2,等腰 RtAADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 RtAAD1E1,设旋转角为a（ OV aW18） 当a=90 寸；AE1=2, ZE1AE=90BD1= I _ W _、！J-

23、 ,故答案为：2 护；2 护；（2）证明：由题意可知，I ?.F 泌心列是由餐曲沁绕点卩逆时针旋转 I 得到，3 BC 的长为一.1313.在RtAABC中，= = 9393, ,= = D D, ,E分别是边AH AC的中点，若等腰.SDi =AE LCAE-LDXAB -135D在和施匚中，ADi = AE二AEACLAB = AC .苗钦;存胪沁左尹词.卩乩=(7 列，仔心 1 1 二 WDjflXWDjflX. .石孑；;：.；-恥匸“. W a :空！|.戸=(7 阶,且 RDRD】丄 C C瓯(3 )点 的运动轨迹是在的上半圆周，点的运动轨迹是在的弧 F 词段.即当|：.：；.|与

24、尧厂|相切时，I 有最大值.点卩到力丹所在直线的距离的最大值为 1 + e【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知 识，根据题意得出 PG 的最长时 P 点的位置是解题关键.14.如图，已知 AB 是OO 的直径，BC 是弦，弦 BD 平分/ ABC 交 AC 于 F,弦 DE 丄 AB 于H,交 AC 于 G.1求证：AG= GD;2当/ ABC 满足什么条件时， DFG 是等边三角形？3 3若A AB=1010,丽/ABDABD= 5 5，求BCBC的长.然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得/ ADB/ ABD,又由弦BD 平

25、分/ ABC,可得/ DBC= / ABD,根据等角对等边的性质，即可证得AG=GQ(2) 当/ ABC=6 0 时， DFG 是等边三角形，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与 三角形的外角的性质，易求得 / DGF=/ DFG=60，即可证得结论；【答案】(1)证明见解析;2）当 / ABC= 60寸, DFG 是等边三角形理由见解析;34(3)利用三角函数先求出 tan / ABD - , cos/ ABD=,再求出 DF、BF,然后即可求出45BC.【详解】(1) 证明：连接 AD,/ DE AB, AB 是OO 的直径，二ADAE， / ADE= / ABD,弦 BD 平分 / A

26、BC, / DBC= / ABD,/ / DBC= / DAC, / ADE= / DAC, - AG= GD；(2) 解：当/ ABC= 60时，DFG 是等边三角形.理由：弦 BD 平分/ ABC, / DBC= / ABD= 30 ,/ AB 是OO 的直径， / ACB= 90 / CAB= 90 - / ABC= 30 / DFG= / FAB+/ DBA= 60 :DE 丄 AB, / DGF= / AGH= 90 - / CAB= 60 ； DGF 是等边三角形；(3) 解：/ AB 是OO 的直径， / ADB= / ACB= 90 ；/ / DAC= / DBC= / ABD,3/AB= 10, sin/ABD=5在 RtAABD 中，AD= AB?sin/ ABD= 6,BDBD=AB2BD2=8 8,AD 3BD 4 tan / ABD=, cos/ ABD=二,BD 4AB 539在 RtAADF 中，DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6 X=,422) 2,(3) CG:EF= 4: 7【解析】试题分析：（1）连结 OD.先证明OD/ AB,再由 DE 丄 AB,得出 OD 丄 EF,根据切线的判定即可得出直线OD是厶 ABC的中位线， 根据中位线的性质得到 EF是OO的切线