2021届高考数学(文)一轮复习讲练测：专题8.4直线、平面平行的判定与性质(讲).doc

1、2021年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第八章立体几何第04节 直线、平面平行的判定与性质【课前小测摸内幕】1直线a/平面a,那么a平行于平面a内的A 一条确定的直线B 所有的直线C.无穷多条平行的直线D 任意一条直线【答案】C【解析】显然假设直线 a/平面a,那么a 一定平行于经过 a的平面与a相交的某条直线I，同 时，平面a内与I平行的直线也都与直线 a平行，应选C.2【陕西省镇安中学 2021届高三月考】关于直线|,m及平面 ,，以下说法中正确的选项是a .假设 I /,m,那么 I / mb.假设 I /, m /，那么 I / mc.假设 | ,i /，那么d假设 I /,I /

2、m,那么m【答案】c【解析】对于A,at昱不能抬出Z曲的，苗A不正晚 对于F,平行于同一辛面的囱直线，是不一定平忏的故E也不正确；对干假设一个平面平行于另一个平面的一蔡垂线，那么遠两个平 面互相垂直，知亡正确；対于6两平行线中的一茱平行于一个平面，那么吳一乗直线只歆是与此平面平行 或在毗平面内，是不可能和平面垂直的：故D也不正确.故逸：C.3. 假设直线a丄b,且直线a/平面a,那么直线b与平面a的位置关系是A . b? aB . b / aC. b? a或 b / aD . b与a相交或b? a或b / a【答案】D【解析】 当b与a相交或b? a或b / a时，均满足直线a丄b,且直线a

3、/平面a的情况，应选D.4. 【根底经典题】a、氏丫是三个平面，a、b是两条直线，有以下三个条件：a/ 丫，b? B;a / y b/ 3；b/ 3, a? y如果命题 an 3= a, b? y且，那么a / b"为真命题，那么可以在横线处填入的条件是 填上你认为正确的所有序号 【答案】：解析】中， elf、bu W '线面平行的性质.如團所示,，在正方体中二 力丘=sli r ； 砧耳而巧占异面'故错.中0"眄此厂 h I,冷门厂=尸甜趴线面平行的性质.5.【选自2021高考新课标川文数】如图，四棱锥P ABC中，PA 平面ABCD , AD P BC

4、, AB AD AC 3, PA BC 4 , M 为线段 AD 上一点，AM 2MD , N 为 PC 的 中占I 八、I证明MN P平面PAB ;【答案】I见解析.【解析】试题分析：I取PB的中点T ,然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT为平行四边形，从而得到MN P AT，由此结合线面平行的判断定理可证；H由条件可知四面体N BCM的高，即点N到底面的距离为棱 PA的一半，由此可顺利求得结果.2试题解析：I由得AM AD 2，取BP的中点T ,连接AT,TN，由N为PC31中点知 TN / BC , TN -BC 23分2又AD/BC，故TN PAM，四边形 AMNT为平行四边形，于

5、是 MN/AT.因为AT 平面PAB , MN 平面PAB，所以MN /平面PAB6分【考点深度剖析】空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质，考查转化思 想、空间想象能力、 逻辑思维能力及运算能力，以多面体为载体、以解答题形式呈现是主要命题方式.【经典例题精析】考点一直线与平面平行的判定与性质【1-1】【2021 长沙模拟】假设直线 a丄b，且直线a/平面a,那么直线 b与平面a的位置关系是A.b? a B.b /a C.b? a或 b / aD.b 与a相交或 b? a或 b / a

6、【答案】D【解析】可以构造草图来表示位置关系，经验证，当b与a相交或b? a或b/a时，均满足直线a丄b,且直线a/平面a的情况，应选 D.【1-2】在四面体 ABCD中，M、N分别是面厶ACD、 BCD的重心，那么四面体的四个面中 与MN平行的是.【答案】平面 ABC、平面ABD【解析】如朗连接仙并迢长交卬于®连接册并延仮切于耳由重心性质可禺耳尸重合为一晟 且该电为少的中点瓦由譽誥右得 耐 期 因此，翩"平面 桃且朋"平面A3D.【1-3】a, 3, 丫是三个不重合的平面，a, b是两条不重合的直线，有以下三个条件：a / y b / / 3; a / y b/

7、 3 b / 3 a / / y如果命题 aA 3= a, b / / y 且,那么a/ b为真命题，那么可以在横线处填入的条件是A .或B .或C.或D .只有【答案】C【解析】由定理“一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行可得，横线处可填入条件或，结合各选项知，选C.【1-4】如下列图，在正四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，E、F、G、H分别是棱CCi、C1D1、DiD、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，那么M满足条件 时，有MN /平面B1BDD1.【答案】M在线段HF上【解析】由题鼠胡"平面氏磁U阳7平面阴叽二

8、平面w7/平面&硕、二当府在线战册上运动时*有卿平面筋网.【1-5 】如图，四棱锥 P ABCD 中，AB 丄 AC, AB 丄 PA, AB/ CD , AB= 2CD , E, F , G ,M , N分别为PB, AB, BC, PD, PC的中点.(1) 求证：MN / AB;(2) 求证：CE/ 面 PAD.【答案】见解析【解析】丁航厅为旳、代的中点，二爾 DC,又 YW H Afff(2)证法一！如團取崩的中点耳连接码加 因为左为期的中点，所咲歸n込$吨蛆 又加何，&尸珈所以阳"Cj前=昭 所臥四边形响是平行四边形.所以尬/ m又屈t：平面PAD,爲坪面P

9、AD,所以GEU平面丹血证法二：如图(2)，连接CF.因为F为AB的中点，1所以 AF = ；AB.1又 CD = 2AB，所以 AF = CD.又 AF / CD ,所以四边形AFCD为平行四边形.所以 CF / AD.又CF?平面FAD，所以CF /平面FAD.因为E, F分别为PB, AB的中点，所以EF / PA.又EF?平面PAD,所以EF /平面PAD.因为CF AEF = F,故平面 CEF /平面 PAD.又CE?平面CEF，所以CE/平面FAD.【课本回眸】直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形二L7条件a A a= ?a? a， b?a，a / ba/ aa / a

10、, a? 3 aA 3=b结论a / ab / aa A a= ?a / b【方法规律技巧】判断或证明线面平行的常用方法:利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理a? a b? a，a/ b?a/ a，其关键是在平面内找或作一条直 线与直线平行，证明时注意用符号语言的表达；利用面面平行的性质定理 / 3, a? a? a / 3;利用面面平行的性质a/ 3 a? 3 a/ a? a/ 3【新题变式探究】【变式1】如图，正方体ABCD AiBiCiDi中，E、F分别为棱AB、CCi的中点，在平面ADD1A1 内且与平面DiEF平行的直线A .不存在B .有1条C.有2条D .有无

11、数条【答案】D【解析】由题设知平面 ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的根本性质 3知必有过该点的公共直线I，在平面ADD 1A1内与|平行的直线有无数条，且它们都不在平面DiEF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面DiEF平行，应选D .【变式2】假设平面al平面B,点A , Ca, B , D 3那么直线AC / BD的充要条件是A . AB / CDB . AD / CBC. AB与CD相交D. A, B, C, D 共面【答案】D【解析】当AC / CD时，A, B, C, D 一定共面；当 A, B, C,D共面时，平面ABCD Cl a=AC ,平面 ABCD A3=

12、 BD，由 a/ B得 AC / BD，应选 D.【变式3】在空间中，以下命题正确的选项是A .假设al a , b l a,贝U blaB .假设 ala, b / a ,a?B aall B, b / a,贝V b l B【答案】DC.假设D .假设 a/ B, a? a,【解析】假设M 口，弭咅,那么開CT或忑匸八应选项A错误jE中当胡心时，八0可能相交应选项E错误；假设皿刈：bll ,那么川咽或比0 ,应选项C错误+ 选项D为两平面平行的性质应选D.【变式4】设a, B是两个不同的平面，I , m为两条不同的直线,命题P：假设 allB, I ? a,m? B ,贝U I / m;命题

13、 q :假设 I/ a, m± I, m? B 贝U a丄 BF列命题为真命题的是A. pV qPA qC. ( p) V qP A ( q)【答案】C【解析】分别在两个平行平面内的直线未必平行，故命题p是假命题；当mil, I /a时，m不一定与a垂直，a丄B不一定成立，命题 q也是假命题.p V q为真命题，应选C.综合点评：解决有关线面平行的根本问题的本卷须知：1易无视判定定理与性质定理的条件，如易无视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；2结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断；3可举反例否认结论或用反证法判断结论是否正确考点二平面与平面平行的判定与性质【2-1】【安徽

14、卷】 m, n是两条不同直线,是两个不同平面，那么以下命题正确的是(A )假设,垂直于冋一平面，那么与 平行B假设m, n平行于同一平面，那么 m与n平行(C)假设不平行，那么在内不存在与平行的直线D假设m, n不平行，那么 m与n不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】宙丄，假设必尸査直于同一平臥 见Is Q可以t相交、平行故/不正确：4 B ?假设加，程平 行于同一平面，那么林,轉可以平行、重合、相交、县面，故月不正确夕由G假设S 0不平行，但復平面 内会存在平行于戸的直如平面中平1TTS芦交线的直編由D项，其逆否翕題为血假设型与科垂 直干同一平面】那么臥，齐平行是真命题，故D】页正确所臥选

15、D【2-2】【北京卷】设 ， 是两个不同的平面，m是直线且m? . “m / 是“ / 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为 ， 是两个不同的平面， m是直线且m? 假设“m / ，那么平面、 可 能相交也可能平行，不能推出 / ,反过来假设 / , m ，那么有m / ,那么“m / 是“ /的必要而不充分条件.【2-3】【2021 哈尔滨模拟】给出以下关于互不相同的直线m, I, n和平面a,3的四个命题： 假设m? a, I Aa= A，点A?m,那么I与m不共面； 假设m、I是异面直线，I /a, m /a,且 n丄

16、I, n丄m,贝U n丄a; 假设 I /a,a/B, m，贝U I / m ； 假设 I? a, m? a, I A m = A , I /3, m ，那么 a/B .其中为真命题的是A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件知，I与m符合异面直线的定义，I与m不共面，是真命题；I m、I是异面直线，可构造 I'/ I，且与m相交于平面3 .那么 l'/a, m /a,.a/B .再由 n 丄 I，得 n 丄 I',结合 n 丄 m,. n 丄B,. n 丄a,是真命题；故l与m可能平行、相交、异面，是假命题；由两平面平行的判定定理可知是真命题选C.【2-4】m、n是两

17、条直线，a B是两个平面，给出以下命题：假设n丄a, n丄®贝U a/假设平面a上有不共线的三点到平面B的距离相等，那么a/厲假设n、m为异面直线,n? a, n/ 3, m? 3 m/ a,贝U a/ 3其中正确命题的个数是 ()A . 3个B . 2个C. 1个D . 0个【答案】B【解析】垂直于同一直线的两个平直平行，故正确,对于，假设平面疔上的三点在平面$的畀侧，那么 它们相交，故错根据线面平行的性质定理和面面平行的利罡症理'可知正确.【2-5】如下列图，斜三棱柱 ABC AiBiCi中，点D, Di分别为AC, A1C1上的点.(1)当AD1等于何值时，BCi/平面

18、ABiDi?DiCiAD假设平面BCiD /平面 ABiDi，求的值.DC【答案】(1) 当 D驚1时，BCi /平面 ABiDi. (2) 1.【解析】(1)如下列图，取D1为线段Ai Ci的中点，此时AiDi1.连接AiB，交ABi于点O,连接ODi.由棱柱的性质知，四边形AiABBi为平行四边形，.点O为AiB的中点.ODi / BCi.在 AiBCi中，点O , Di分别为AiB, AiCi的中点，二又 ODi?平面 ABiDi, BCi?平面 ABiDi,： BCi / 平面 ABiDi.当 D罟 1 时，BCi/ 平面 ABiDi.(2)由平面BCiD /平面 ABiDi，且平面

19、AiBCiQ平面BCiD = BCi，平面 AiBCiQ平面 ABiDi=DiO 得 BCi / DiO, Ai Di _ AiO DiCi= OB，又由题可知AiDiDiCiDD，器=DC = i，即 AC =【课本回眸】面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形a htf /忱 /|条件ad 3= ?a? 3 b? 3 adb= P,a / a, b/ aa/ 3, ad 尸 a ,3d尸ba / 3, a? 3结论a/ 3a/ 3a / ba / a【方法规律技巧】证明两个平面平行的方法有： 用定义，此类题目常用反证法来完成证明； 用判定定理或推论即“线线平行？面面平行，通过线面平行来完成

20、证明； 根据“垂直于同一条直线的两个平面平行这一性质进行证明； 借助“传递性来完成.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用.【新题变式探究】【变式1】设m, n是平面a内的两条不同直线；11, |2是平面B内的两条相交直线，那么 all 3的一个充分而不必要条件是 .A . m / 3且 li l aB. m / li 且 n / I2Cml 3且 nl 3D ml 3且 nl |2【答案】 B【解析】对于选项 A，不合题意；对于选项 B,由于li与|2是相交直线，而且由11 / m可得 Ill a,同理可得I2 / a,又li与I2相交，故可得 a

21、ll 3,充分性成立，而由 all 3不一定能得 到li/ m,它们也可以异面，故必要性不成立，应选B ;对于选项C,由于m, n不一定相交，故是必要非充分条件； 对于选项D,由n/ I2可转化为n/ 3,同选项C,故不符合题意.【变式 2】 【河北石家庄高三调研试题】设 表示直线 , , 表示不同的平面，那么以下命题【变式 3】【稳派全国统一考试模拟信息卷】假设也不在 内是“过点 A 有且只有一条直线与A .充分不必要B .必要不充分要【答案】 C是两个相交平面,那么“点 A 不在 内,和 都平行的条件C .充要D .既不充分也不必中正确的选项是A .假设a且a b ,那么 b/B .假设且

22、,那么/C.假设 a/ 且 a/,那么 /D .假设/ 且 / ,那么/【答案】D【解析】A:应该是b/或b;B :如果是墙角的三个面就不符合题意；C: Im,假设a/m时，满足a/, a/,但是 / /不正确,所以选 D.【解祈】褓議育柏尋悖讨点心的青纯n三平面0平行，贝翳时肓线桑的平面与平面口常练口与肓 线皿平行/同理可得经过直线in的平面习亠血Q的交线k芍直线九匚行那么推出H电那么n flit均两平面 疣才口 Q旳交券平行，审要錠杀件的直线凱只富过点盅且与两平面交线平行即可，显酒这拝的直线有且只 有一条看点人柱半闻内，那么不存圧与聞咗都半仃的直练2021年4月湖北省七市州教科研协作体高三

23、联考】如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 面 ABCD，AB/DC，AB AD，DC 6，AD 8，BC 10，PAD 45o， E为PA的中点.(1)求证：DE / / 面 PBC ；【答案】1见解析.【解析】试题分析：吴证DE平面PBCf膜在平面PSC内成到一帝直妹T DE千行冃卩可，取PR的中点M 构造平行四边形CDAN即可证明.试题解析： 取刊的中点3,连和CM，过C点作dA£ ,垂足対:VrCN J. AS f。/丄.4B T /. cy/ iDA 又 A39D二四边刑CDAV为平行四边形，:= BrDC = AN =0 ,柱宜曲二甬形中BX = VffC-QV1 2 =

24、而-8 6二如=12,而瓦M分别为PAPS的中点，EM/AB 且又 DCHAB/区业2D且EAI = CDf四边形3砂为平行四边彫I:.DEfiCMCM二平PBCf DET平面刖C,口平面丹C综合点评：判定面面平行的常用方法:【3-1】【河北石家庄高三调研】设表示直线表示不同的平面，那么以下命题中正确的是()A .假设a且a b，那么b/B .假设且，那么 /C.假设 all 且 all ，那么 /D .假设 ll 且ll ，那么 ll【答案】DI【解析】a：应该是A.Z'o:或丹匸口门：如果是角的三个面就不符合题意；c:喘仃0 =呦，假设加8寸,川甲、但是密伸不正确，所认选山【3-2

25、】如图，ABCD AiBiCiDi为正方体，下面结论中正确的选项是 . BD /平面 CBiDi; AC平面CBiDi; ACi与底面ABCD所成角的正切值是 2; CBi与BD为异面直线.【答案】【解析】易知正确，比与底面3加所碱角的正切值是£,故由异面直线的判定可知是正确 的.【3-3】如图，在正方体 ABCD AiBiC1D1中，S是BiDi的中点，E, F, G分别是BC, DC ,SC的中点，求证：直线EG /平面BDDiBi;【答案】见解析【解析】 如图，连接SB, E, G分别是BC, SC的中点, EG / SB.又T SB?平面 BDD 1B1,EG?平面 BDD

26、1B1,直线EG /平面BDDiBi.(2) 连接SD,t F, G分别是DC , SC的中点， FG / SD.又 SD?平面 BDD1B1, FG?平面 BDD 1B1 , FG/ 平面 BDDiBi,且 EG?平面 EFG,FG?平面 EFG , EGA FG= G,.平面 EFG /平面 BDDiBi.【3-4】如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，AAi丄平面ABC, AB丄BC,点M , N分别为AiCi 与AiB的中点.(1)求证：MN /平面 BCCiBi;求证：平面 AiBC丄平面 AiABBi.【答案】见解析【谕】连接脛，T点蜀疔分别为丄占与M的中点劇/阪.丁翻平面必:匚平

27、面BGC-Bvt平面眈隅*2'AA.丄平面如匚 及上平面 啟，:曲L丄就又丁M丄比，M.ClAB=Ar平面迪血葩T 込平面二平面磁丄平面总趣【课本回眸】1平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况.2. 直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，那么称直线平行于平面；判定定理：a a, b a且a / b? a / a;其他判定方法：all 3; a a? a / 33. 直线和平面平行的性质定理：a/ a, a 3 aA3= I? a/ l.4. 两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；判定定理：a a, b a, anb = M, a/ 3 b

28、/ 3? a/ 3；推论：a Ab =M , a , b a,a'n '=Ma',b'3 a/ a； b /b'?all3-5. 两个平面平行的性质定理(1) all 3, a a? a / 3； all 3 , na= a,3= b? a / b.6. 与垂直相关的平行的判定(1)a丄 a, b±a? a / b；(2) a 丄 a , a丄 3? a / 3【方法规律技巧】解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，那么存在；如果找不到符合题目结

29、果要求的条件(出现矛盾)，那么不存在.【新题变式探究】【变式1】如图，在正方体ABCD AiBiCiDi中，0为底面ABCD的中心，P是DD 1的中点, 设Q是CC1上的点，当点 Q在()位置时，平面 D1BQ /平面PAO.A . Q与C重合B . Q与C1重合C. Q为CC1的三等分点 D . Q为CC1的中点【答案】D【解析】当G为血的中点时-平面卫剛,平面证明如下;S 几;的中点，戸初皿的中臥仙t FA.* A 井别対如沏的中点，二又丫Q虑平面刊G 盼平面户砌皿平面PAD,禹冰平面PAOf:血厅#平面用口 遁平面用又氏矿13二Q卫贞個冰平面D网二平面D对平面剛工【变式2】如图，在正三棱

30、柱 ABC "BQ中，D是BC的中点，AAi = AB = a.热 j kc>BD(1)求证：AD 丄 BiD;求证：AiC /平面ABiD ;【答案】见解析【解析】1证明；是正三犊柱，二册丄平面T込平面磁二AP丄也+又丁磁是正三角形，血是此的中点IM丄亦又丁网顾二卑:.ADk 平面 BSCCi.y/Z-Te平面 B,BCC, ?'M丄妙证明：连接理爲 设理犷1皿=已 连接妙ft /> r'做=的代四边形A.ABB.是正方形、二F罡"的中点又T是圧的中点.HElfA.C-T匪匚平面血站 地加平面辭*/.AiCtl 平面【变式3】如图，在四棱锥 F

31、ABCD中，底面是平行四边形，RA丄平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点.在线段 PD上是否存在一点 E，使NM /平面ACE ?假设存在，请确定 点E的位置；假设不存在，请说明理由.【解析】在加上存在一点D使得顾7平面M氐证明如下：如艮取削的中点爲连接昭眄曲 因为册盍分别为開 朋的中虽 所汰班締珈./1 / / /又在平行四边形ABCD中,貓_护所以屈_码即四边形就网是平行四边形+所以腮_ SC.又朗水平面ACE,咽呼面件 冃以 翩“平面ACE,艮唯皿上存在一点町使得加/平面込【变式4】如图，在三棱锥 A BOC中，AO丄平面COB , / OAB=Z OAC = n AB = AC

32、= 2,BC = '2, D、E分别为AB、OB的中点.(I) 求证：CO丄平面AOB ;(n)在线段 CB上是否存在一点 F，使得平面DEF /平面AOC，假设存在，试确定 F的位 置；假设不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(I)因为AO丄平面COB,所以A0丄CO, A0丄BO.即厶AOC与厶AOB为直角三角形.n又因为/ OAB=Z OAC = , AB= AC = 2,所以 OB= OC= 1.由 OB2 + OC2= 1+ 1 = 2 = BC2,可知 BOC为直角三角形.所以CO丄BO.又因为 AO ABO = O, AO 平面AOB , BO 平面AOB, 所以C

33、O丄平面AOB.C II 在段线炉上存在一点F,梗得平面丙刖平面 阿 此时尸为线段分的中点. 如虱连接E幵跡，因为良$分別为恣切的中点所以唧皿又厉平面AOC,所臥脚平面AX因为罠斤分别为舛庞的中点所以EFU 06.又曲平面加，所以一职“平面曲T.又血厂|册二禺 曲休平面佃,加休平面皿所以平面M冲平面综合点评：在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维到“高维的转化，其转 化关系为判定IniniI线线平行 匸二 线面平行面面平行性质性质|性质在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定, 决不可过于“模式化.【易错试题常警惕】易错典例： 如图，E、F分别是

34、正方体 ABCD A1B1C1D1的棱AA,，CC,上的中点.求证：四边形BED1F是平行四边形AG【错解】在正方体 ABCD ABGDi中，平面 AADDJ/平面BBCG，由两个平行平面于第三个平面相交得交线平行，故D1E/FB ,同理 D1F/EB，故四边形BED1F是平行四边形【错因】主要错在盲目地在立体几何证明题中套用平面几何定理例题几何问题只有在化为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题【正解】取。5的中点G,连结HG、FG,n因汩 AE = D© 且 AE Dfi ,所以D、E = AG且DQf AG又 FG=CD, a> = ABS.FG- CD f CDf!

35、 AB ?所以FG迪且、BFAG 且 BFMG,所以RE =抚F且昨 RF f血沖盂此冷故四边形BED1F是平行四边形温馨提醒：1. 在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否那么，会出现错误.2. 线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以 某一性质定理为依据，绝不能主观臆断 .3. 解题中注意符号语言的标准应用 .【学科素养提升之思想方法篇】化“生为“熟 转化与化归的思想方法1. 转化与化归的思想方法是数学中最根本的思想方法，数学中一切问题的解决当然包括解题都离不开转化与化归，数形结合思想表达了数与形的相互转化；函数与方程思想表达了 函数、 方程、不等式间的相互转化； 分类讨论思想表达了局部与整体的相互转化， 以上三种 思想方法都是转化与化归思想的具体表达。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、 构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂 .2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的， 这样的转化能保证转化的结 果仍为原问题所需要的结果， 非等价转化其过程那么是充分的或必要的， 这样的转化能给人带 来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改 . 非等价转化 强化转化和弱化转化 在思维上带有跳