高中数学竞赛讲义-整除 新人教A 版

1、§26整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，则不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数.若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为

2、.否则，| .任何的非的约数，叫做的真约数.0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立.（4）若.因此，若.（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个.特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数.（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数.（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了. 最大公约数和最小公倍数定义二：设、是

3、两个不全为0的整数.若整数c满足：，则称的公约数，的所有公约数中的最大者称为的最大公约数，记为.如果=1，则称互质或互素.定义三：如果、的倍数，则称、的公倍数. 的公倍数中最小的正数称为的最小公倍数，记为.最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用表示的最大公约数，表示的最小公倍数.若，则称互质，若中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n个整数互质与n个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于有相同的

4、公约数，且（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.方幂问题一个正整数能否表成个整数的次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当时称为次方问题，当时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论：（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1.（3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，

5、平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7.（6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例题讲解1证明：对于任何自然数和，数都不能分解成若干个连续的正整数之积.2设和均为自然数,使得证明：可被1979整除. 3对于整数与，定义求证：可整除4求一对整数，满足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除.5求设和是两个正整数，为大于或等于3的质数，），试证：（1）；（2）或6盒子中各若干个球，每一次在其中个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是7求所

6、有这样的自然数，使得是一个自然数的平方.例题答案：1. 证明：由性质9知，只需证明数不能被一个很小的自然数整除.因3 1，故3 ，因而不能分解成三个或三个以上的连续自然数的积.再证不能分解成两个连续正整数的积.由上知，因而只需证方程：无正整数解.而这一点可分别具体验算时，均不是形的数来说明.故对任何正整数、都不能分解成若干个连续正整数之积.2. 证明：=1979× 两端同乘以1319！得1319！ 此式说明1979|1319！×由于1979为质数，且1979 1319！，故1979|【评述】把1979换成形如的质数，1319换成，命题仍成立.牛顿二项式定理和为偶数), 为奇

7、数)在整除问题中经常用到.3.证明：当时，由于能被整除，所以能被整除，另一方面，上式中能被整除，所以也能被整除.因与2+1互质，所以能被（2+1）（即）整除.类似可证当时，F（2+1，）能被F（2+1,1）整除.故能被整除.4. = =根据题设要求(1)(2)知，即令即即，则故可令即合要求.5. 由已知得，两式相乘得于是故（1）现用反证法来证明.若令是的一个质因子，则有因，则，从而于是是、的一个公约数，这与=1矛盾，故.（2）因为所以而为质数且，故或6. 证明：设，则有使得，此式说明：对盒子连续加球次，可使个盒子各增加了个，一个增加个.这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等.用反证法证明必要性.若，则只要在个盒中放个球，则不管加球多少次，例如，加球次，则这时个盒中共有球（个），因为所以不可能是的倍数，更不是的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须.7. 证明：（1）当时，因（）