2020届东北三省三校高三第二次联合模拟数学(理)试题(解析版)

1、2020届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省 实验中学）高三第二次联合模拟数学（理）试题、单选题1 .设集合 A x x2 6x 8 0 ,B x x 3 0，则 AI B （）A., 2B.3, 2C.3,D.4, 2【答案】B【解析】先化简集合A, B ,再进行交集运算【详解】A x 4 x 2 ,B x x 3 , A B x 3 x 2故选：B【点睛】本题考查集合的运算，熟练解二次不等式是关键，是基础题1 i2 .设z则z的实部为（） i 21133AB.-C -D.-5555【答案】D【解析】 利用复数的除法运算化简 z a bi的形式，进而确定实部【详解】L实部为-35

2、故选:D本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题3.若ab 0贝4 ()A. 0.2a0.2bB.lg ab lgb第3页共14页D.C. a Jb【答案】A【解析】利用函数单调性判断 A,特值法排除B,C,D函数y 0.2x是减函数，由a b得0.2a 0.2b, B a 2,b 1,可知B,C,D不成立故选：A【点睛】本题考查不等式性质，考查函数单调性，特值排除是常见方法ex 1 sinx的部分图像大致为（ex 1【解析】利用奇偶性排除A, B ,利用函数值排除C【详解】f x为偶函数，从而排除A,B,而当时x 0,时，f x 0,排除C,故选：D【点睛】 本题考查函数图像的识别，结

3、合奇偶性及特值排除是常见方法，是基础题,孟子延伸为“仁、义、5 .“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，“仁排在第-位，且“智信，相邻的概率为（1A10【答案】C.3102 D.5ur rnuruu6.两个单位向量ei,e2 满足：e 2e2ur geurr e21 ur uu2,则ei,e2的夹角的余弦值为（A. 12【答案】BB.C.D.7.已知VABC的面积为2J2,ABA 37B.、39C. ,41D. ,438.在三柱 ABC A1B1C1 中，AA1平面ABC, AB B1C, AA1 BC 2A

4、B ,则异面【答案】C第5页共14页直线AB与BiC所成角的余弦值为（B 5B.59.已知双曲线2C: 81的右焦点为F ,渐近线为li2,过点F的直线l与li2的交点分别为A, B.若ABl2,则ABB.C.115D 153将直线方程联立求得2476、278 2 2B -,，利用两点间距离公式计3 3C 15C. 5由题F3,0 ,li,l2的方程为yx,y Y4x,过F与l2垂直的直线 AB的方程为 22y 7xy2 72 x 3联立得A24还，由7、5Tx，yx 3联立得AB224 873167故选:本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线交点及两点间距离，考查计算能力，是基础题10.若 f

5、 Xcosx J3sin x在 a,a上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. 0, 一6C 花B. 0,一4C 花C. 03D. 0,211.已知函数f X的定义域为R,且满足f x 1 2f x ,当x 0,1时，f x x 1 x .则函数在y 4f x 3区间0,5上的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C12 .已知过点 2,0的直线与抛物线y2 4x交于点A,B,线段AB的垂直平分线过点0,6 ,F是抛物线的焦点，则VABF的面积为（）A. 2.3B. 4C. 2,6D. 4 2【答案】A【解析】设AB方程为x ty 2,与抛物线联立利用韦达定理得AB中点为22t

6、 2,21 ,利用垂直斜率乘积为-1 ,求得t 1,再利用面积公式求解【详解】 设AB方程为x ty 2,A,B x2,y2 ,显然t 0,联立x tyy2 4x, y2 4ty 8 0% y2 4t,x x2 t % y24 4t2 4, AB中点为2t2 2,2t ,由条件知2t 6 12t2 2gt1, t3 2t 3 0,t 1,Q 丫佻8,y1y2222_t3t2t2 2t3 0, t1 tt 30,yY22 4y1y248, y y24百，又F 1,0 , VABF 的面积为：1 2 1 473 2v32故选：A二、填空题13 .某班有男生36人，女生24人，现用分层抽样方法，从该

7、班抽出15人,则从女生中抽出的人数为.【答案】6【解析】利用分层抽样成比例求解【详解】由分层抽样的性质得 15 2 636 24故答案为：62, x14.右曲线f x x ax 1 e ,在点0, f 0处的切线过点2,2，则实数a的值为.-1【答案】-215.已知 3sin tan 8 0,0,，则 tan 224【答案9 4216.已知正方体ABCDAB1C1D1的各棱长为1m ,圆锥SO的底面圆是正方形ABGD1的内切圆，顶点S是正方形ABCD的中心，则圆锥SO的体积为m3,侧面积为 m2.第11页共14页【解析】由题意得底面半径及母线长，再利用体积与表面积公式求解 【详解】圆锥的高为1

8、,底面半径为1 ,母线长为11 1 ,所以体积为 一 21 一2.423212，侧面积为故答案为：；居124本题考查圆锥的性质，考查体积与表面积公式，考查计算能力，是基础题 三、解答题17.如图，三棱锥 P ABC 中，PB PC,AB AC 55, BC 4,D 是 BC 中点，PD 2PA 21求证：PA平面ABC2求二面角A PB C的正弦值【答案】(1)见解析(2) _1155【解析】(1)推导BC，平面PAD得PA BC,由PA2 AD2 PD2,得PA AD, 即可证明；(2)以口为原点，DA,DC方向为x, y轴的正方向，过D平行于AP的直线为z轴，建 立如图所示空间直角坐标系，

9、求得两个平面的法向量得二面角【详解】1 证明:Q PB PC,AB AC,D是 BC 中点，AD BC,PD BC,Q AD PD D, AD,PD 平面 PAD, BC 平面 PADQ PA 平面 PAD, PA BCAB AC J5 , BC 4, AD 是 BC 边上中线，AD 1 222Q PD 2PA 亚，PA AD PD , PA AD,BC AD D,BC,ADC 平面，ABC, PA 平面 ABC ；(2)以D为原点，DA,DC方向为x,y轴的正方向，过D平行于AP的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A 1,0,0 ,B 0, 2,0 ,C 0,2,0 ,P 1,0,1

10、uuuumuurPB 1, 2, 1 ,PA 0,0, 1 ,PC 1,2, 1 ,ir设平面PBC的一个法向量为 m x,y,z ,则u uuu ur uurmgPB ,mgPC 0, x 2y zx2yz0,ir取 x 1,得 m 1,0, 1r210, 2 1 55同样可求得平面 PAB的-个法向量n 2, 1,0 , ir r” m n cos - m,nur. r m n面角A PB C的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查二面角的向量求法，考查推理能力及空间想象能力，是中档题18 .“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更

11、快地适应“移动支付”，某机构通过网络组织 50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后，每人都进行限时答卷，得分都在50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中，随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.|频钓组距7a p-I1 () 50 60 70 80 90 100 成愉分)(1)求出图中a的值，并求样本中，答卷成绩在 80,90上的人数；(2)以样本的频率为概率，从参加这次答卷的人群中，随机抽取4名，记成名在80分以上(含80分)的人数为X ,求X的分布列和期望.【答案】(1) a 0.005; 60(2) X的分布列为X01234P8162521662521662596

12、625166252 8X的数学期望为E X 4 -5 5【解析】(1)利用面积和为1求得a 0.005进而求得频率则人数可求(2)建立二项分布求得分布列及期望【详解】解：1 依题意，2a 3a 7a 6a 2a 10 1,故 a 0.005故成绩在80,90上的频率为60a 0.3,答卷成绩在80,90上的人数为200 0.3 60;2由样本的频率分布直方图知成绩在，一 人八，一，280分以上（含80分）的频率为80a 5依题意，X B 4,25C：81625332165625216625,P XC439662516625所以X的分布列为X01234P816252166252166259662

13、5166252 8X的数学期望为E X 4 -5 5【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查二项分布，熟练掌握二项分布是关键，是中档题19.已知数列an和bn满足a1b112,an 13bn4n 1,bn 13an4n 11求证：an bn是等比数列，an bn是等差数列2求数列 an和bn的通项公式【答案】（1）见解析（2）an3n 2n 1,bn3n 2n 1【解析】（1）解方程组得an 1bn13anbn,an1bn 13bnan8n 2,并构造 an 1 bn 1 2 n 113 an bn 2n 1 ,即可证明(2)利用(1)得 anbn3n,an bn 2n 1 ,解方程组求得通

14、项公式1 证明：Qabi1 2, a1 B3,a1 b11,Q an 1 3bn 4n 1,bn1 3an 4n 1an 1bn 13 anbn > an 1bn 13 bnan8n 2第13页共14页an bn是首项为3,公比为3的等比数列Qan1 bn 12n 1 an 1 bn 1 2 n 1Q a1bl 2 1 1 1 an bn 2n 13an 1 bn 12 n 13 bnan 8n 2 2n 11 3 an bn 2n 12 1 0an 1 bn 12 n 1113 an bn 2n 13 an bn6n 3an 1bn 1an bn2 0an 1bn 1an bn2an

15、bn是首项为1,公差为2的等差数列.2 由 1 知，an bn 3n,an bn 2n 13n 2n 122an 3n 2n 1,2bn 3n 2n 13n 2n 1 ,；，bn2本题考查利用递推关系证明等差与等比数列,考查变形求解能力,熟记等差与等比的定1，八,、一-,直线l: y x被椭 2义与性质是关键，是中档题2220 .已知椭圆c：今 冬 1 a b 0的右焦点为F,离心率为 a2 b2圆截得的弦长为1求椭圆C的标准方程2若P是椭圆C上一点，O是坐标原点，过点F与直线l平行的直线与椭圆 C的两个 uur uur uur交点为A, B,且OP OA OB,求的最大值22【答案】(i)土

16、 L 143(2) 74【解析】(1)利用£ -,a2 b2 c2,得a 2Gb J3c ,设椭圆方程，与直线联立 a 2由弦长公式得c=1,方程可求(2)过F与直线平行的直线方程y X 1,与椭圆联立韦达定理得88X1X27，x1x27,向量坐标化得pX1x2,y1y2，代入椭圆方程，利用点在椭圆上整体代入得 22 10 71,结合基本不等式求最值即可1设椭圆C的焦距为2c,则ca1 22,3.22b ca 2c, bJ3c椭圆C的方程化为3x24y212c；y x由 222得3x2 4y2 12c2212c2y T由条件知.X2y22、4224c274249c 1,a 2,b 3

17、2椭圆C的方程为4y231,0，过F与直线平行的直线方程y x 1由 223x2 4y212 得7X28x设 A X1,y1 ,BX2,y2，贝UX1X287，x1X2uuu uuuQ OP OAuurOBX1X2, yy2PXiX2, yy2由点P是椭圆C上一点，得3Xi2X224 yiy2122223Xi 4 y2223x24 y26 x1x2 8 y1y2 12Q yiy2x1 1 x2 1XX2x1 x27,3x122_24 y13x22_4y212107107Q 222,当且仅当YZ时，取等号，- 1,27的最大值为4【点睛】 本题考查椭圆方程，考查弦长公式，考查向量坐标化及点在曲线

18、上的综合运用，考查计 算能力及整体代入思想，是难题221.已知函数 f x lnx ax 2a,a R.11若f x在x -处取得极值，求函数的单调区间32若m,n是函数f x的两个极值点，且m n,求证：mn 1【答案】（1）、一，1单调增区间为 0,一 3，单调减区间为 1, 3（2）见解析.12a广【解析】（1）求导，由f 3 20,得a333一,进而确定单调区间2(2)由 f ' x2ax 2x 1x x0 , f x有两个极值点m，n ,得0 a32x第14页共14页与系数的关系即可证明【详解】f x的定义域为 0,八.1Q f x在x 一处取得极值3一，、1f (x)2ax

19、 2 ,x12af -3 2 0, a33.1f x - 3x 2x3x2 2x 1x3x 11a时，f x30； x的单调增区间为0,3，单调减区间为L34 8a故mn 2a22ax 2x,f x有两个极值点m，n ,0,a 0,1得证本题考查函数的极值与单调性，考查利用极值证明不等式，考查转化与化归能力，是中 档题22.x 1 2cos在平面直角坐标系 xOy中，圆C的参数方程为（为参数），过点y 1 2sin3, 1且倾斜角为的直线l与圆交于A, B两点当AB 2J2时,求的取值范围若AB的中点为点P,求点P的轨迹的参数方程.【答案】（1）0,一4x 2(2)y 1cos( sin0,2 )【解析】（1）讨论直线倾斜角3,当 万时，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式求解（2）利用CP AB,得P的轨迹是以CM为直径的圆，去掉点M ,进而得参数方程圆C的圆心为C 1, 1 ,半径为r = 2,一时，直线l的方程为x 3,C到l距离为2,圆C与l相切，不合题意; 23时，设直线l方程为y 1 k x 3即kx y 3k 1 0,第19页共14页AB2,4 d22也d圾,k 1 3k 112klk2 11 k 1,即-1 tan 1