其实你根本就不懂数学——一个数学家的叹息

1、其实你根本就不懂数学个数学家的叹息贞脚.文/池晓图俗歌最近读到一本好书，一个数学家的叹息。作者保罗洛克 哈特曾经是大学数学教授，从2000年起，他自愿开始教授 K12 （从幼儿园到十二年级）数学课，发现数学教育在基础 教育阶段存在非常严重的问题。为此他写了这本结构简单、 论述清晰的小书。这本书分为上下两篇，一破一立。上篇有五个小节：数学与文化、学校里的数学、数学课程、 中学几何：邪恶的工具、“标准”数学课程。例证俱全的从 五个方面批判学校里的数学教育。尤其是关于几何的一节， 大幅减少了我对数学的心理阴影面积。而每一节的最后，洛 克哈特模仿伽利略两种世界体系的对话，以辛普里西奥 和萨尔维亚蒂的问

2、答方式，对学校教育拥护者可能提出的质 疑一一做出了回应，非常精彩。而下篇则从自身的经验和思考出发，举例说明了，真正的数 学教学应该是什么样子，以及我们如何去进行这种教学。在我看来，这本书既具备专业的数学眼光，也有基本的教育 常识。这是我读过的关于数学教育的书籍里最好的一本。我 小时候很喜欢数学，常常体验到解题的愉悦。我上过奥数班, 最初的时候还是很喜欢的，因为更加丰富的题目对我的头脑 是很好的训练。但从初中开始就感觉数学的乐趣越来越少， 条条框框越来越多。虽然初中时候也拿过全国数学奥赛的一 等奖，但恐怕兴趣也在一点一点的消磨。高中数学对我来说, 主要的功能已经不再是训练，而是催眠。我身边有很多

3、这样的朋友，常常声称被一个糟糕的老师毁了 他们对一个学科的兴趣。这种情况大量出现在物理、化学、 生物这些“理科”领域，而数学首当其冲。最近一段时间，更是耳闻目睹了越来越多的家长面对糟糕数 学老师的束手无策。过去，我常常觉得问题出在这些老师方法不得当，比如无脑 的题海战术，或是做错抄10遍这类明显智力有限的教学方 法。这些老师某种程度上也属无辜，他们自己接受被动教育 长大，视野和方法都受到局限，充其量是“恶之庸常二 也不排除某些老师就是心理变态，以语言暴力和作业虐待来 残酷镇压孩子们的创造力。然而，每个心理变态都有苦衷。 据我观察，他们最大的苦衷，就是自己根本就不喜欢数学。 他们教的数学，就像是

4、功夫足球里薇扮演的那个馒头小 妹，边哭边和面做出来的馒头。现在的数学教育有什么问题？真正的数学教育应该怎么 做？这本小书都做了解答，值得每一个关心教育、关心数学的孩 子、家长、老师、校长和教育研究者阅读。而此书尚无大陆 版，目前豆瓣上标记“读过”的人仅仅5个，希望有眼光的 尽快引进此书，让更多人受益。阅读此书的多数时候，我都感觉与作者心灵相通。不过，很 多地方，他的论述也让我很有启发。谈不上醍醐灌顶、振聋 发联，但是也是对基本常识从另一角度来的创造性表达。过去，我一直都觉得基础数学教育里有两种缺失，缺失了数 学的魅力，以及数学的实用性。而这本书对我最大的一点启 发，就是他认为数学的实用性根本就

5、没那么重要，数学是艺 术，是一场探索，是跟自己的对话，就是玩，就是游戏，是 无害并且愉悦的活动。作者“不是在抱怨我们数学课堂上出 现的事实与公式，而是抱怨我们的数学课里没数学 我改编作者写在本书最后的建议作为这篇小文的结束：“如果你是学生，你可以真正去做数学来逃离无聊和厌烦。 如果你是老师，你的教学应该是从你自己在数学丛林中的体 验很自然地涌出来，而不是出自那些在紧闭窗户车厢里的假 游客观点。如果你和你的学科没有亲身的关系，如果它不能 感动你，让你起鸡皮疙瘩，那你必须找其他的工作做。对这 一点诚实是很重要的，否则我想我们这些老师会在无意间对 学生造成很大的伤害。如果你不是学生，也不是老师，仅仅

6、是个生活在这个世界上、 和其他人一样在寻找爱和意义的人，我希望我有尽力做到让 你窥得美妙与纯粹，一个无害且愉悦的活动。数百年来，它 带给许多人无法形容的欣喜。相关阅读孩子数学不好怎么 办点击进入t摘抄这部分主要是摘录给自己看的，但也极具参考价值，特此分 享。难以理解的部分多是因为我无法完整摘录作者举例，建 议阅读原书。上篇：悲歌1数学与文化如果数学有一个统一的美学原则的话，那就是，简单就是美。 数学家喜欢思考简单的可能性。而这种简单的可能性是想象 的，不见得是现实存在的。并没有那些深谋远虑的实用目的存在，我纯粹就是在玩。这 就是数学 想知道(wondering)、游戏(playing)用自己

7、的想象力来娱乐自己(amusing)对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出 令人满意又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概 念世界；令人着迷、充满趣味，而且不花半毛钱！ 问题在提出来时也同时被解答了一一学生无事可做 三角形面积是长方形面积的一半，这个“事实”并不重要， 重要的是，以辅助线来切割的这个巧妙构思以及这个构思可 能激发出的其他美妙的构思，进而引导出在其他问题上的创 造性突破一一光是事实的述绝不可能给你这些的。这就像是“说”米开朗基罗创造了魅力的雕塑却不让我“看”由于将焦点集中在“什么”，排除掉“为什么”，数学被降格 为一个空壳子。数学不是在“真相”里，而是在说明、

8、论证 之中。数学是说明的艺术(the art of explanation)。如果你不让学生 有机会参与这项活动一一提出自己的问题、自己猜测与发 现、尝试错误、经历创造性的挫折、产生灵感、拼凑出他们 的解释和证明一一你就是不让他们学习数学。所以，我不是 在抱怨我们数学课堂上出现的事实与公式，我抱怨的是我们 的数学课里没数学。数学其实是原始的创造力和美学的感受力。数学不是遵照指示，而是要创造出新的方向。数学作品需要评论性的评价。人们真的以为他们了解数学一一普遍地误认为数学对人类 社会具有实用价值！这就已经构成数学和其他艺术之间的极 大差异。数学被我们的文化看做是科学和技术的一种工具。 大家都知道

9、诗和音乐是纯欣赏，能提升人类的心灵，让我们 的生命更高尚(因此在公立学校的课程安排中几乎都被拿掉 了)，但是数学则不然，数学是很“重要的”让所有的人都“隐约”记得代数公式和几何图形，却“清楚” 记得对它们的憎恨，我实在看不出这样的教育对社会有什么 页脚.好处。然而，如果展现给人们看美妙的事物，让他们有机会 享受当一个有创造力、有弹性、心胸开放的思想家一一这是 真正的数学教育可能提供的东西，这可能还有点好处。我的重点不只是说目前的制度非常糟糕，而是这个制度错失 掉如此美好的东西！数学应当被当作艺术来教的。这些世俗 上认为有用的特点，是不重要的副产品，会自然而然地跟着 产生。贝多芬能够轻易地写出响

10、亮的广告配乐，但是他当初 学习音乐的动机是为了创造美好的事物。难道你不认为如果把数学课变得比较像是艺术课，会让大部 分的孩子学不到东西吗？他们现在就学不到东西了呀！根本不要有数学课都强过现在 这样，至少当然有些人还能有机会靠自己去发现一些美好的 东西。那么你是要把数学课从学校的课程里拿掉吗？数学课早就被拿掉了。唯一的问题是要怎么处理剩下的政府 死气沉沉的空壳子。当然，与其取消掉这门课程，我比较想 要用生气蓬勃、有趣味的数学课来取代。2学校里的数学要抹煞学生对一门科目的热情与兴趣，最有效的方法就是把 它列为必修课。把它列入标准化测验的主要科目，就能保证 让它失去生命力。数学课程不需要被改革，它需

11、要的是被砍掉重练。数学是理性的音乐，做数学是从事发现与猜测、直觉与灵感 的活动；是进入疑惑的状态一一不是因为它让你搞不懂，而 是因为他给了你意义，而你还不知道你的创造会走向何处； 是产生一个突破性的想法；是像艺术家一般遭遇挫折；是被 几近痛苦的美丽所折服与赞叹；是感觉活着。把这些从数学 里拿掉，无论你开多少研讨会，都不重要。医生，随便你动 多少手术，反正你的病人已经死了。你不需要让数学有趣一一它本来就远超过你了解的有趣！而 它的骄傲就在于我们的生活完全无关。这就是为什么它是如 此有趣！为了对抗所谓的数学焦虑（学校造成的系列疾病之一），而 把数学弄得看起来友善便利。学校里的数学，最主要的问题出在

12、没有问题。我知道大家都 认为在数学课堂里的问题，就是那些枯燥的习题。“这里有 一个题型。这里是解答的方法。这个会出现在考试里。今天 的家庭作业是1-35题这样学习数学是很可悲的，人变成 了训练有素的黑猩猩。数学是一门艺术，而艺术应该由职业艺术家来教授，如果不 是，至少也应该由能够欣赏这种艺术形态，看到作品时能辨 认出来的人来担当。我们为什么能接受那些从未有过数学原创作品、不了解这个 学科的历史和哲理、最近的发展、这些教材以外更深远意义 的人，来当数学老师。如果老师自己就只是资讯的被动接受者，而非新理念的创造 者，那么学生们还有什么希望呢。数学跟资讯无关，而是要和学生建立起真诚的智性关系。数 学

13、不需要方法、工具、训练。你只需要真诚。如果你不能真 诚，那你就没有权利打扰那些孩子。但是如果你不愿意做个真诚的人，你永远也不是个真正的老 师。教学是开放与诚实，是能分享兴奋之情的能力，是对教 学的热爱。没有这些，世界上所有的教育学位都不能帮助你, 反之有了这些，教育学位就完全是多余的。学生不是外星人。他们对于美和模式是有反应的，和所有人 一样具有好奇的天性。只要和他们说说话！更重要的是，听 他们说话！我们教他们阅读是为了更高的目的，希望他们能够接触美妙 及有意义的观念。我们在这些小孩的数学课这里应该做些什么呢？玩游戏呀！教导他们国际象棋、象棋、围棋、五子棋和跳棋, 什么都好。自己设计游戏。猜谜

14、。让他们处于需要推论推理 的情境。不要担心符号和技巧，协助他们成为积极主动、有 创造力的数学思考家。有几百万的成年人的脑袋里还记得“2a分之-b加减根号下b 平方减4ac”，但是完全不知道这是什么意思。原因就在于他 贞脚.们从来没有机会自己去发明或发现这类东西。他们从来都没 能碰到一个让他们着迷的问题，可以让他们思考、给让他们 感受挫折、可以让他们燃起渴望、渴望有解决的技巧或方法。 从来没有人告诉过他们人类与数字的历史一一古巴比伦楔 形泥板、莱因德纸草书、计算书大技术。更重要的是, 甚至没给他们机会对问题产生好奇心，答案总在问题提出来 之前就给了。对于诗的真正鉴赏并不是记得一大堆诗作，而是来自

15、于自己 的创作。孩子们可以在学习阅读和写作的同时，写诗和故事。即使是 很小的孩子都能创作歌曲，而他们并不知道用的是什么音调 和节拍。数学不是一种语言，而是一场探索。音乐家选择用小小的黑 色音符来简化他们的想法，难道就是“说另一种语言”吗？ 高斯说，我们需要的是想法，不是符号。任何一种心智敏锐，都是来自于自己解决问题，而不是被告 知如何解决。我们教授文学是为了启发每个人，不是只训练未来的专业人 ±o无论如何，科学家和工程师最有价值的技术，是能够有 创意的思考和独立的思考。大家最不需要的就是被训练。3数学课程如果你需要方法，你可能就不会是非常好的老师。 数学结构，无论是否具实用性，都是在

16、问题背景之发明及发 展出来的。重要的是故事本身，而不只是结局。做数学永远应该是发现模式及制作出美妙及有意义的说明。4中学几何：邪恶的工具整个K12数学课程纲要当中，几何是到目前为止最具心灵及 情绪杀伤力的。问题就出在系统性的从根摧毁学生的直觉。 只有在危机的时候一一当你发现你想象的物件，他的行为违 反了知觉，以及当有矛盾发生时，严格的正式证明才变得很 重要。证明过程可以进行的直觉一些，不必那么正式，事实上，数 学的精髓，就是和自己的证明进行这样的对话。数学不是在我们自己和我们的直觉之间升起屏障，也不是要 让简单的事情变得复杂。数学是移除通往直觉的障碍，以及 简单的事情维持简单。重点不在这项论证

17、的点子是否比另一个高明，而是在点子的 出现。就在你的论证达到某一点，你必须要作出区别来厘清时，定 义才有意义。在没有动机的时候做出的定义，更可能造成混 淆。如果有些课题在求学的13年之间都没有遇到过，它会多有 趣和多重要呢？5 “标准”数学课程数学不是你做的事，而是对你做的事。 强调的重点是坐好不动、填写作业纸、遵照指示。页脚.一贴能永久瘫痪年轻心灵的完整处方。下篇：鼓舞十二本身 不是开始，也不是结束，它就是自己。只有印度阿拉伯十进 位将十二表征为12o身为数学家，我们感兴趣的是数学物件的在属性，而不是特 定文化架构下的世俗特征。一个数字就是这个数字做什么。我们把减法的概念从运算世界里拿掉，移

18、到数字本身身上。 所有算术常用的规则都只是这些美学选择的结果而已。因为他们不是真的存在那里。但是欧几里得的平面有一开始 就存在吗？身为一个数学家，好像更聪明不是那么相关（虽然那绝对有 很大的帮助）；而是要有美学上的感受力，以及具有精致的、 有鉴赏力的品味。使用数学，我唯一感兴趣的是用数学来度过美好时光，以及 帮别人也做到这一点。对我的人生而言，除此之外我想象不 出更有价值的目标。我们全部的人，出生到这个世界，到了 时候都会死掉，这就是人生。在这段时间，让我们好好享受 我们的心智，以及应用我们的心智创造出来的奇妙又好玩的 事物吧。这中间必定有什么东西是违反直觉的。我被这种关联的可能 性所吸引一一

19、一种新的、预料之外的关系。我未曾见过或做过任何事，能像数学有这么大的转变力量。我的心智几乎每天都受到冲击。它脱俗而纯粹、放诸四海而皆准的特质，深深的吸引我。它 们是我想象的快乐、自由、比空气还轻的想法。还有，它们 真的会令人吓一跳。数学不是真相的集合。数学是理由与了解。我们想要知道为 什么，而不是为了任何实务上的目的。数学家的目标：以最简单、最直接、逻辑上尽可能符合标准 的方式做解释。褪去神秘并揭露出简单、清晰的真理。我会将数学评论想象成一只双头怪兽。第一颗头要求的是滴 水不漏的严谨逻辑解释。第二颗头要的是纯然的美丽与简 洁，让我们感到愉悦，不光是能确认它，而且要得到更深刻 的理解。产生一个真

20、正的证明，却是需要灵感和神迹的显现。 要画出有涵的画，能传达情绪与我们对话的画。哈代说，丑陋的数学在这世界上没有长久的立身之地。那个 证明传达的不仅是个讯息，也是天启。我们要怎么做呢？没 有人真正知道，你只能尝试、失败、挫折、渴望灵感到来。 我觉得这个结构一直都存在，只是我看不到。如今我能看到 了。这种数学经验是直捣人类存在意义的问题核心。它是完完全全无害的。人类的活动中有多少是可以让你这么 说的？证明，是我们以有限的方法，去捕捉无限数量的咨讯。 数学证明的决定性。绘画的目的不是要被挂在博物馆的墙上，而是你所做的事一 一你用刷具和颜料所得到的体验。艺术不是名词的集合，而是动词。我们制作了美妙、令人醉的事物，而且我们做得津津有味。 有那么个火花闪烁的瞬间，让我们掀起了面纱，瞥见了永恒 的纯粹美丽。这难道不是极有价值的事