2022届高考数学一轮复习精品学案第12讲空间中的夹角和距离

1、2022年普通高考数学科一轮复习精品学案第12讲 空间中的夹角和距离一课标要求：1掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。2掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；二命题走向高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算的开展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。预测2022年高考试题

2、：1单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；2选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。三要点精讲1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的

3、距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。2点到平面的距离平面外一点p 在该平面上的射影为p，那么线段pp的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。3直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；4平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一

4、般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形假设表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线aa的长度为d ，在a 上有线段ae m ，b 上有线段af n ，那么ef “±符号由实际情况选定2夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0°，90°、0°

5、，90°和0°，180°。1两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。2直线和平面所成的角求法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法。3二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：定义法；利用

6、三垂线定理或逆定理；自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos q ，其中s 为斜面面积，s为射影面积，q 为斜面与射影面所成的二面角。3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等。四典例解析题型1：直线间的距离问题例1正方体的棱长为1，求直线da'与ac的距离。 解法1：如图1连结a'c'，那么ac面a'c'd'，连结da'、dc

7、9;、do'，过o作oedo'于e因为a'c'面bb'd'd，所以a'c'oe。又o'doe，所以oe面a'c'd。 因此oe为直线da'与ac的距离。在rtoo'd中，可求得点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。图2 解法2：如图2连接a'c'、dc'、b'c、ab'a'，得到分别包含da'和ac的两个平面a'c'd和平面ab'c， 又因为a'c'ac，a'db'

8、;c，所以面a'c'd面ab'c。 故da'与ac的距离就是平面a'c'd和平面ab'c的距离，连bd'分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。 不难算出，所以，所以异面直线bd与之间的距离为。点评：假设考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，那么异面直线的距离就是两平面的距离。题型2：线线夹角例2如图1，在三棱锥sabc中，求异面直线sc与ab所成角的余弦值。图1 解法1：用公式 当直线平面，ab与所成的角为，l是内的一条直线，l与ab在内的射影所成的角为，那么异面直线l与ab所成的角满足。以此为据

9、求解。 由题意，知平面abc，由三垂线定理，知，所以平面sac。 因为，由勾股定理，得 。 在中，在中，。 设sc与ab所成角为，那么， 解法2：平移过点c作cd/ba，过点a作bc的平行线交cd于d，连结sd，那么是异面直线sc与ab所成的角，如图2。又四边形abcd是平行四边形。由勾股定理，得：。图2在中，由余弦定理，得：。点评：假设不垂直，可经过如下几个步骤求解：1恰中选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；2证明这个角或其补角就是异面直线所成角；3解三角形常用余弦定理，求出所构造角的度数。题型3：点线距离例3正方形abcd的边长是2，e、f分别是ab和cd的中点，将正方形沿ef折成直

10、二面角如下列图.m为矩形aefd内一点，如果mbe=mbc，mb和平面bcf所成角的正切值为，那么点m到直线ef的距离为。解析：过m作moef，交ef于o，那么mo平面bcfe.如下列图，作onbc，设om=x，图又tanmbo=，bo=2x又smbe=be·mb·sinmbe=be·mesmbc=bc·mb·sinmbc=bc·mnme=mn，而me=，mn=，解得x=。点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。题型4：点面距离例4如图，四面体abcd中，o、e分别bd、bc的中点，ca=cb=

11、cd=bd=2。求证：ao平面bcd；求异面直线ab与cd所成角的大小；求点e到平面的距离。(1)证明：连结oc。bo=do,ab=ad, aobd。bo=do,bc=cd, cobd。在aoc中，由可得ao=1,co=。而ac=2，ao2+co2=ac2,aoc=90°,即aooc。ab平面bcd。解：取ac的中点m,连结om、me、oe，由e为bc的中点知meab,oedc。直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角。在ome中，是直角aoc斜边ac上的中线，异面直线ab与cd所成角的大小为解：设点e到平面acd的距离为h.,·sacd =·ao&

12、#183;scde.在acd中，ca=cd=2,ad=,sacd=而ao=1, scde=h=点e到平面acd的距离为。点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等根本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型5：线面距离例5斜三棱柱abca1b1c1中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱aa1与底面两边ab、ac均成600的角，aa1=7。1求证：aa1bc；2求斜三棱柱abca1b1c1的全面积；3求斜三棱柱abca1b1c1的体积；4求aa1到侧面bb1c1c的距离。解析：设a1在平面abc上的射影为0。 a1ab=a1ac， o在bac的平行

13、线am上。 abc为正三角形， ambc。又am为a1a在平面abc上的射影， a1abc2 b1ba1a， b1bbc，即侧面bb1c1c为矩形。 又， s全= 3 cosa1ab=cosa1ao·cosoab， cosa1ao= sina1ao=， a1o=a1asina1ao= 4把线a1a到侧面bb1c1c的距离转化为点a或a1到平面bb1c1c的距离为了找到a1在侧面bb1c1c上的射影，首先要找到侧面bb1c1c的垂面设平面aa1m交侧面bb1c1c于mm1 bcam，bca1a bc平面aa1m1m 平面aa1m1m侧面bcc1b1在平行四边形aa1m1m中过a1作a1

14、hm1m，h为垂足那么a1h侧面bb1c1c 线段a1h长度就是a1a到侧面bb1c1c的距离 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型6：线面夹角例6如图，在四棱锥p-abcd中，底面为直角梯形，adbc,bad=90°,pa底面abcd，且paad=ab=2bc，m、n分别为pc、pb的中点。()求证：pbdm; ()求cd与平面admn所成的角的正弦值。解析：i因为是的中点，所以。因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.ii取的中点，连结、，那么，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等。因为平面，所以是与平面所成的角

15、。在中，。点评：此题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型7：面面距离例7在长方体abcda1b1c1d1中，ab=4，bc=3，cc1=2，如图：1求证：平面a1bc1平面acd1；2求(1)中两个平行平面间的距离；3求点b1到平面a1bc1的距离。1证明：由于bc1ad1，那么bc1平面acd1，同理，a1b平面acd1，那么平面a1bc1平面acd1。2解：设两平行平面a1bc1与acd1间的距离为d，那么d等于d1到平面a1bc1的距离。易求a1c1=5，a1b=2，bc1=，那么cosa1bc1=，那么sina1bc1

16、=，那么s=。由于，那么s·d=·bb1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。3解：由于线段b1d1被平面a1bc1所平分，那么b1、d1到平面a1bc1的距离相等，那么由2知点b1到平面a1bc1的距离等于。点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。题型8：面面角例8如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，。求证：面；求二面角的大小。求三棱锥的体积。解析：证明：取的中点，

17、连结 分别为的中点，面，面面面 面设为的中点为的中点 面作，交于，连结，那么由三垂线定理得。从而为二面角的平面角。在中，从而。在中，故二面角的正切值为。，作，交于，由面得，面，在中，。点评：求角和距离的根本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的根底，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。五思维总结空间的角和距离是空间图形中最根本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解这类问

18、题的根本思路是把空间问题转化为平面问题去解决1空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角(0，)，直线与平面所成的角，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角(0，)。对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力1求异面直线所成的角，一般是平移转

19、化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。2求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点斜足，然后在直线上取一点除斜足外作平面的垂线，再连接垂足和斜足即得直接在平面内的射影，最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。3求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定

20、义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面上的图形面积为s，它在另一个平面上的投影面积为s，这两个平面的夹角为，那么s=scos。如求异面直线所成的角常用平移法转化为相交直线；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角alb的平面角记作q通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2) 过棱l上任一点o作棱l的垂面g，设gaoa，gbob，那么aobq(图1)；(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点a，分别作另一个平面b的垂线ab(垂足为b),或棱l的垂线ac(垂足为c)，连结ac，那么acbq或acbpq(图2)；(4) 设a为平面a外任一点，aba，垂足为b，acb，垂足为c，那么bacq或bacpq(图3)；(5) 利用面积射影定理，设平面a内的平面图形f的面积为s，f在平面b内的射影图形的面积为s¢，那么cosq. 图 1 图 2 图 32空间的距离问题，主要