2020年高考全国课标百所名校高三数学压轴题精选(含答案及解析)

1、2020年高考全国百所名校数学压轴题精选AAA.【青岛市2020年高三教学统一质量检测(理)22.】(本小题满分14分)已知等比数列an的前n项和为Sn 23n k(k R, n N )(I )求数列an的通项公式;(H)设数列bn满足an 4(5 k)anTn为数列bn的前n项和，试比较3 16Tn与4( n 1)41的大小，并证明你的结论.【解析】：(I)由 Sn2 3n k(k R,n N )得：n2时,anSnSn 143n 1Q an是等比数列,aSi2,得n 1 ,an 4 3 (n N )4 分(n)由an4(5k)anbn 和 an4 3n1 一得bn13Tnbib2b3bn

2、1bn3Tn34 324 3n 324 32n 14 3n 2 °4 3n3L 4 3n 1Q)(1)：2TnTn1418 32工L4 321_8 3n 314 3n 318 3n 2_£4 3n n 18 3n 14( n1)bn1 (316Tn)n(n 1) 2n 1 n(n 1)163(2n13TT2n 116 3n 11)10分Q n(n 1) 3(2n 1)5n 33n11, 3720 时有 n(n 1) 3(2n1),所以当n5(n N )时有3 16Tn 4(n 141那么同理可得：2 时有 n(n 1) 3(2n1),所以当13分1 n 5(n N )时有

3、3 16T04(n 1)bn 1N )时有综上：当 n 5 (n N )时有 3 16Tn 4(n 1)bn 1 ；当 1 n 5 (n3 16Tn 4(n 1)bn114分.【皖东十校09届第一次联考试卷数学(理)22C1 : -三1(a22】已知椭圆a bb 0)的离心率为3 ,直线l：y x 2与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切(I)求椭圆C1的方程；(II)设椭圆C1的左焦点为F1 ,右焦点F2 ,直线11过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P ,线段PF2垂直平分线交l2于点M ,求点M的轨迹C2的方程；umr uuu QuS(111)设C2与x轴交于点Q,

4、不同的两点R，S在C2上，且满足QR RS 0，求Q的 取值范围.I) 32c2a2 b2e -, e -223 a2c2122-,2 a2 3b2 3直线l：x y 2 0与圆x2 y2 b2相切2.2 b,2,b2. a2 3:椭圆C1的方程是(n ) MP=MF2 ,，动点M到定直线l1 : x1的距离等于它到定点 F1 (1, 0)的距离,，动点M的轨迹是C为11准线，F2为焦点的抛物线，点M的轨迹C2的方程为y 4x 9分(山)Q (0, 0),设22R(%y1),吟,y2)442 y1 一QR ( ,y1), RS422zy2 y1、(一-一，y2 y1)4.QR RS 0y；(y

5、2 y；)16y1(y2 y1) oy1y2，y1 0,化简得16y2(y1)y1 11分256y y2 笠 32 2. 256 32 644时等号成立13分y1iqsi 0)2 * * y, 41 (y2 8)2 64,又4y26414分.当y2 64,y28寸，|QS|min 8亚 故|QS|的取值范围是18新，)2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】(本小题满分16分)函数xf(x) ae,g(x) 1nx lna,其中a为常数，且函数y f(x/Dy g(x)的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行(1)、求函数y g(x)的解析式x m(2)、若关于x的不等式g(x),x恒成立，

6、求实数 m的取值范围。【解析】：(1)f/(x) aex,g/(x)-y f(x)的图像与坐标轴的交点为(0,a), y g(x)的图像与坐标轴的交点为(a,0)1/a 由题意得 f (0) g (a)，即 a ,-3又 Q a 0 a 1g(x) 1n x_4由题意g(x) 0 x 0,x 1当 x (1,-一m. x m x x In x)时，1nx6令(x) x . x In x/,、2、x Inx 2(x)2.x/11令 h(x) 2 m 一(0,1)时，TT " 1nx 2, h(x) .x(1 ,x)当x (1,)时,h/(x)0 h(x)单调递增。10h(x)h 0由m

7、x Jxlnx 在 x (1,)上恒成立,得m(1) 11213可得/(x) 果 0(x)单调递增。14由 m x Jxlnx(x)在 x(0，1)上恒成立，得m (1) 11516综上，可知m 1R两点，且QFFR，求实数 的取值范围3.【湖南省长沙一中 2020学年高三第八次月考数学(文科) 21. 图，在矩形 ABCD中，已知 A (2, 0)、C ( 2, 2),点 P 在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E,点M满足 EM EO EP.(I )求点M的轨迹方程；1(n)已知点F (0, 2),过点F的直线l交点M的轨迹于Q、【解析】：(I)依题意，设P (t,2) ( 24

8、02, M (x, y) 当t=0时，点M与点E重合，则M= (0, 1);当t W耐，线段OP的垂直平分线方程为:(t,2t24人 /曰t2 4t2 4令x 0,得y ，即 E(0,)44t2 4 t2 4由 EM EO EP得(x, y 4) (0, 4)44t2 4消去t,得x244(y 1)显然，点(0, 1)适合上式.故点 M的轨迹方程为 x2=-4(y-1)( -2<x<2)11l : y kx ( k(II)设2412),代入x24十 1),得 x2+4k2=0.16k2 8 0x1 x24k设 Q (x1,y1)、R (x2,y2),则XiX2_(1M24k- .消

9、去x2 ,得QFFR,得 XiX2x228k2/0 k2 ，0 (1,即2 2 52 0(0).-2162解得24.【湖北省2020届高三八校联考第二次(理)a_ ,21.】(本小题满分14分)已知数列n中,a13, a25 ,其前n项和Sn满足SnSn 22Sn i 2n 1 1an an 1(l)求数列 an的通项公式;(n)若 f x2xb1f 1b2f 2 Lbnf n16 (n>1)；1 Tn - b1a (m)令 2b2a2b3a3 Lnbnaa 0),求同时满足下列两个条件的所有a的值:对于任意正整数nTn16；对于任意的m 0,6 ,均存在n0N，使得n > n0

10、时，Tn m(I)由题意知SnSnSnSn 22n 1 n> 3即anan 12n 1 n> 31' ananan 1 an1 an 2a3a22n 12n2 L225 2n 1222n 1检验知1、2时,结论也成立,an2n3'bnf n(n)由于 故2n11 2n 121b1f 1bn f2n2n2n 1112n11122112211 23112n 12n 1 111 22n 1 160m（出）（i）a 2时，由（n）知:Tn6 ,即条件满足；又Tnm12n 1 12n1 6mn 10g21 6m取n0等于不超过10g21 6m的最大整数,则当no 时，Tnm.

11、-9Tn2时,1ba由（i ）知存在no故存在noiiibn aTn2n2nbnbn2nbn 2nbi2in>no时,12n 1 12nbaino时,Tnbn2nbi2i121°，6若存在no2n 1 13矛盾.故不存在3a2n 12n3a不满足条件.12'2nno2n 1 1n>no 时，Tn2n 1 112N，当 n>no 时,Tn.不满足条件.综上所述：只有a 2时满足条件，故a 2.145.【河南省普通高中 2020年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）已知点A是抛物线y2=2px （p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准

12、线 l与x轴交于点K, 已知| ak | = 22 | af | ,三角形 afk的面积等于8.（1）求p的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线11, 12,与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 G, H.求| GH |的最小值.【解析】:22,解：（I）设A Xo,y0因为抛物线的焦点F卫,。，准线1的方程为：x 卫，K22-p,0，作AM 1于M- 416(kAMAF,又AKKMQ S AFK又阳AF得AKAMXop 2,V。2PX），1 KF -KF 2设11的方程为GHxoy。721AM ,即AKM为等腰直角三角形x。E,即A xo,x。2-,于是A -,p .228,8

13、x,得F（2，。），显然直线y k(x8x,k(x 2),112）,则G(2得424口 4k)(k4 k24k4k212的方程为p2 ,而点A在抛物线上,p 4.2 a故所求抛物线的方程为y 8x.6分12的斜率都存在且都不为0.1-(x 2) k42,-)k k ,同理可得H(2 4k2, 4k)4k)2k264.（当且仅当1,2k时取等号)12分所以1GH |的最小值是8.已知数列an满足ai1Kan 12n 1 2an n n Nan 4n(1)求 a2,a3,a4.an(2)已知存在实数，使an n为公差为 1的等差数列，求的值;(3)a20,(2)(nbn22.a3an 11 n-2

14、 -an解:(n,数列bn的前n项和为Sn ,求证:Sn2、3 1121)1)an 1 n 11)(2an n)(nan 4n(n 1)(2an n) nan 4n(2)an (41)n3an 3nQ aianan1)an12 ,由数列an的递推公式得an nanan nan数列an n为公差是3的等差数列.由题意，令 3(2)知an an n1)( 1) nan所以2n此时bn2- 一(n 1)2(n 2)_(；3)n2n(n 2)1_2 ( .3)n 2(n 2)10分11Sn- - 32 ( . 3)3 31.31(-3)n2 (n 2) _21、.3(S)n1 (n 1) (n 2)1

15、11>2( 3 6)2.3 11212分7.【河北省石家庄市 2020年高中毕业班复习教学质量检测(一)22.】(本题满分12分)1 a 1n xf(x) ,a R.【理科】已知函数x(I)求f (x)的极值;(II)若1nx kx 0在(0,)上恒成立，求k的取值范围;(III)已知 x10, x20,且“x2e,求证:x1x2x1x2.【解析】：(I)Q f/(x)a In xx2, 令 f/(x) 0 得 x eaa /当x (0,e), f(x) 0, f(x)为增函数；a/当x (e,), f (x) 0, f(x)为减函数，可知f(x)有极大值为f (ea) e a .4In

16、 x k(n)欲使1nx kx 0在(0,)上恒成立，只需x在(0，)上恒成立,1n x /g(x) (x 0).x设g(x)在 x(I)知，口，一 1故t取最大值-e ，e(出)Qex1Xi0,由上可知f(x)ln xx在(0,e)上单调递增,ln(x1 X2)ln Xi 即 xln(x1 X2)1n xx1x2Xix1x2x21n(x1 x2)In x2同理x1 x2 .1时两式相加得1n(Xx2)1nxi1n为1nx送2xix2xix2220y- 1（a 、2）的离心率为【文科】已知椭圆a a2，双曲线C与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点 （0，J2）为圆心，1为半径的圆相切。（

17、I）求双曲线C的方程；I）设双曲线C的焦点为:X c,0), F2(c,0), c 0（II）设直线y mx 1与双曲线C的左支交于两点A、B,另一直线l经过点M （ 2，0） 及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。【解析】：（本小题满分12分）c a2 22由已知a a 2 ,得 a 2,c,2设双曲线C的渐近线方程为y kx ,依题意， Jk2 1,解得k 1 .双曲线C的两条渐近线方程为 y x2 C2 Oa2故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a1，则2a1c 2 ,得a1122双曲线C的方程为x y 1 6分.y mx 1 /曰2 222 彳#(1 m2)x2 2mx

18、 2 0(II)由x y 1直线与双曲线左支交于两点,1 m2 02m21 m2；2因此1 m0 解得1 m.9分又AB中点为(q ')2 ,2 11 m 1 m1，直线l的方程为y2m2 m 2(x 2)b 2m22m 2 募2(m217)48 ,. . m (1,2)1217 /2(m ) (482 .21).故b的取值范围是（，2 J2）U（2,12分.9.【东北育才学校 2020届高三第三次模拟考试（文）22.】（本小题满分14分）设等比数列 an的前n项和Sn,首项a11 q f()1,公比1(1,0)(l)证明：Sn (1（n）若数列 bn满足bi（出）若cn1 ,记1an

19、(一 bna1(1 qn)1 q*bnf (bn 1)(n N ,n1）,数列 cn的前项和为a41 (Ln2）,求数列bn的通项公式;Tn,求证：当n 2时，2 Tn 4(i)分11)1 L)n(1)(Ln1an a1(；1)n1(1)n1Sn(1anf(bn(n)分bn 11bn 11bnbn 1bn是首项为1bi2，公差为1的等差数列，1bn(n1)bn，即（出）1时,an(2),1Cn anL 1)bn1 n 1n(二)2Tn 1 2(1) 3(2)2 Ln(-1)n 1相减得1c 1c21（2）n n（-2）nTn 4 （2）n2 n（2）n1 412,1、n 1cnn（ ）0又因为

20、 2,1n单调递增，TnT22,故当n 2时，2Tn410.【东北育才学校2020届高三第三次模拟考试（理）24.】如右图（1）所示，定义在区间Dy归财上的函数f，如果满足：对x D ,常数A,都有f（x） A成立，则称函数f区间D上有下界，其中 A称为函数的下界.（提示：图（1）、 （2）中的常数x）在正数，也可以是负数或零）A Xf （x）（I）试判断函数48x在（0，）上是否有下界？并说明理由;（n）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间D上有上界.请你类比函数有下界的定义,给出函数f（x）在区间D上有上界的定义，并判断（十函数在（，0）上是否有上界？并说明理由;0=阿题1 V（出）若函

21、数f（x）在区间D上既有上界又有下界,则称函数f（x）在区间D上有界，函数f（x）叫做有界函数. f（x）试探究函数3 bax 一 xa 0，b 0a,b是常数）是否是m,nm 0，n 0，m、n是常数）上的有界函数?483xx2,由 f (x) 0得f (x) 3x2【解析】：24. ( I)解法1: 16,. . x (0,).x 2,2时，f'(x)。，.函数 f (x)在(0, 2)上是减函数;对2时,f'(x)。，函数2是函数的在区间(0, 十X (0,都有f(x)即在区间(0,)上存在常数f(x)在(2, +)上是增函数;f(x)min f(2)上的最小值点，32,

22、4832 2A=32,使得对x (0,)都有 f(x)A成立,f (x)，函数48x 在(0, 十上有下界Qxf(x) x3 史 x3 16x x161644x3 16 16I x x16 32x(0,)，都有 f(x) 32 ,即在区间(0,十 )上存在常数A=32,使得对(0,)都有f (x)A成立,f (x)，函数3 48x .x在(0, +)上有下界(II)类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义:定义在D上的函数f (x),如果满足：对 x D ,常数B,都有f(x) WB成立，则称函f(x) 32数f (x)在D上有上界，其中B称为函数的上界.-7分设x 0,则x 0 ,由(1

23、)知，对x (0,),都有f(x) x3 f ( x) 32 , .函数48x为奇函数，f( x) f(x)f(x) 32,. f(x) 32即存在常数B= 32,对 x(Q),都有 f(x) B,f (x) x3，函数48x在(一,0)上有上界.f (x)3ax2 -b2(III ) x3ax 由f (x) 0得x104f'(x)0xb4x上的最小值点0b3a11m,nf '(x) 0(0,)f(4a(40 x3 43ab34 xf(x)在m,n上是增函数4 3a oa4 3；4 3a oaf (x)在(0b3ab、3 bb3am 43bab3a )上是减函数3a 44 bf

24、(x)在(3af(m) f (x) f (n)m、n是常数，. f(m)、 f(n)都是常数令 f(m) A, f (n).对 x m,n,常数A,B,都有A f(x) Bf(x) ax3即函数bx在m，n上既有上界又有下界12 分4当 V3a时函数f(x)在m，n上是减函数.对 x m,n都有 f (n) f (x) f(m)，函数f(x) ax3 x 在m,n上有界.13分m当f(x)min4b n,3a 时，函数f(x)在m,n上有最小值L 44病42344赢3，令B=f(m)、f(n)中的最大者则对x m,n,常数A,B,都有A f(x) B，函数f(x) ax3bx在m,n上有界.f

25、(x)综上可知函数3 axbx是m，n上的有界函数14 分11.【东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中2020年四校第一次高考模拟联考(理)22.】2 x(本小题满分12分)如图，已知双曲线2y3 =1的两个焦点为F1, F2,两个顶点为A1 ,A2点P(0,b)是y轴正半轴上一点，且PE PF2 0,PA PA2 0.(I)求实数b的取值范围；求以这四个交点为顶点的四边形的面积(II)直线PF1, PF2分别与双曲线各交于两点, S的取值范围。【解析】：(1) A1 (-1,0), A2 (1,0) ,F1(-2,0) , F2 (2, 0)函 PF2 0,即(2,b),(2, b)0,b24PA PA2 0,即(1,b) (1, b)0,b211b24, 1 b 24分bPF1 ：y 二(x 2)(II)设2直线PF1与双曲线交于 A( x1 , y1 ),C( x2 , y2 )不妨设x1x2且y1y2直线PF2与双曲线交于B(x3, y3), D(x4, y4)12.【安徽省示范高中皖北协作区2020年高三联考(理)22】(本小题 14分)设函数3x2b/ 2(x2 y2)_222