小学数学教科书中对小数与分数概念教学的思考

1、小学数学教科书中对小数与分数概念教学的思考小学数学教科书中对小数与分数概念教学的思考严今石（延边教育出版社理科编辑室，吉林延吉 133000）摘要：本文对人教版数学教科书中 “分数与小数 ”部分在概念的教学 以及教材结构方面存在的问题进行了分析，并在此基础上，从数学学 科知识和教材编写的角度，对分数与小数的教学提出一些有针对性的 建议，进而对教材中数学概念的教学提出一些想法，力求使 “分数与小 数”内容教学更加科学，并对进一步体现数学教科书的功能提供参考。关键词：小学；数学教科书；分数；小数作者简介：严今石（ 1971-），女，副编审，硕士，从事数学教材的 翻译、编写和研究工作。一、引言分数历

2、来是在小学数学中既不易 “教”也不易 “学”的内容。尽管教科 书中对分数的三种含义都提到了，但教育反馈的结果表明，大部分学 生系统地学完分数之后， 对分数的认识还停留在其 “份数 ”定义，而且并 不了解小数、分数、比的含义。这直接导致应用这些概念去解决问题 带来困难。 因而，对目前教材中 “分数与小数 ”内容的编写以及教材中数 学概念的教学进行反思，针对不足提出编写建议，就显得尤为迫切和 必要。本文试从 “分数与小数的意义 ”的教学和 “教材编写 ”两个方面对小 学数学教科书中概念教学进行探讨。二、问题的提出1.在引入小数概念中存在的问题。人教版数学教科书中，对“小数 ”概念是通过十进制分数来

3、建立的，通过举例的方式，随即进行归纳， 直接提出概念。如通过例子 1 ，“把 1 米平均分成 10 份，每份是 1 分 米。 1 分米是 1/10 米，还可以写成 0.1 米。把 1 米平均分成 100 份， 每份是 1 厘米。 1 厘米是 1/100 米，还可以写成 0.01 米”，来说明小数 的意义，使学生知道 分母是10、100、1000的分数可以用小数表示” 的事实。这里又是借助长度单位，又是利用分数的意义，说的过于复 杂。实际意图是想阐述 “1/10还可以写成 0.1 ， 1/100 还可以写成 0.01的规定，但最终还是没有讲清楚 “十进分数为什么可以用小数来表示的道理。这样做，也

4、许是因为考虑到这个年龄段孩子们的认知能力， 但这样的定义方法就导致学生可能仅仅知道小数概念的外延，而无法 理解引入小数概念的必要性，不能深刻地认识概念的本质。教材除了 在教学小数意义时，借助计量单位的十进关系（如长度单位）来帮助 学生理解外，讲小数的性质以及在练习中也安排了很多根据十进制计 量单位理解小数的实际意义的练习。其实，小数意义的理解要涉及到 十进分数，虽然教科书中在前面安排了 “分数的初步认识 ”2， 但是由 于在初步认识阶段，对这些知识的介绍如 “蜻蜓点水 ”、“一带而过 ”，学 生实际上对 “分数 ”的认识很模糊，对小数教学来说，对 “什么叫分数 ” 还没弄清楚，所以对用它来定义

5、的小数就不易理解了。2.分数内容教学中存在的问题。分数是小学数学中的难点和重点， 而分数内容的教学效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因为没 有帮助学生弄清基本概念，因为数学概念是数学中的核心问题，对它 的理解和掌握，关系到学生解决实际问题的能力和逻辑思维能力的培 养。事实上，概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个 概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。另一方面，概 念作为人们反映客观事物本质属性的术语，也是由于人们认识的不断 深化而不断发展变化的。例如，分数定义，按人们认识发展的顺序， 一般有四种情况。 分别是份数定义、 商定义、比定义和公理化定义 3 研究发现，对“分

6、数”内容，教科书上没有处理好分数概念教学的发展性和阶段性之间的矛盾。考虑到小学生的接受能力，结合儿童认识事物的特点，小学教科 书中侧重从分数的 “份数定义 ”4、“商定义 ”4、“比定义”5这 三个层次， 分阶段引导学生认识分数，学习分数，运用分数。但是，教科书中存 在从“份数定义 ”向“商定义 ”和“比定义”过渡过程中处理不够到位、 归纳 不完整等一些问题，导致学生无法认识概念的本质。如教科书中，通过样例 1 和样例 2 来总结出 “分数与除法的互逆关 系”，可是例 1 和例 2 都是关于等分物体的题，只能代表得出的结论对 “等分除法 ”成立，而对除法的另一种实际应用 “包含除法 ”能否成立

7、还得 经过验证。然而，教材中不仅避开了这种情况的讨论，在接下来讲的 例 3（正好是 “包含除法 ”题）里反而用上了此结论，而得出了另一个结 论： “求一个量是另一个量的几分之几，可以用除法计算。 4 ”对这样 的解释，学生只能认可而无法理解。这直接导致学生对 “分数与除法关 系”的了解只是停留在表面，没有从根本上知道其内涵，更不能作为分 数意义的进一步扩展来理解。这不但局限了分数的价值，还给学生解 决分数问题造成阻碍。三、对“小数”与“分数”数学本质的分析1“。 小数 ”的本质。目前，教材一般都从小数与分数的关系着手， 利用分数来定义小数。从小数与分数的关系来看，小数确实是分数的 一种，十进分

8、数可以写成小数形式，但它并不是小数的本质。从 “数系 的扩展”角度来看，小数和分数的引入都是计数单位的扩展，即测量和 计算以及分物时不能得到整数的结果，就得用更小的计数单位来表示 和测量。其中，从整数扩展成小数的具体依据是 “十进位值制记数原则 ”。 在整数学习中，计数单位的扩展，尤其是 “位值 ”概念的建立，而且 “十 进制计数 ”，为在建立小数概念、小数大小比较以及小数的运算等方面 进行知识迁移提供了基础。 因此，小数的本质在于 “十进位值制记数法 ”。2“。 分数 ”的本质。事实上， 分数是从两种实际意义中产生的，因 而具有两种具体意义。一种是由测量而产生（对应的除法为 “包含除法 ”）

9、， 另一种是由分物体而产生（对应的除法为 “等分除法 ”），还有在理论层 面上是由数学发展的需要而产生的（即除法运算得不到整数的结果时 需要用新的数来表示） 。分数的本质在于 “能够表示不能整除情形下平 均分以后得到的那个结果的大小 ”，即 a 能整除 b（a，b 都是自然数， a0时，其商是整数；不能整除时，其商就是新的数，我们称它为分 数。因此，分数的明确定义，就是两个自然数相除 （除数不为 0）的商。 因而，分数教学就需要尽快从 “份数定义 ”过渡到“商定义”。所谓“份数” 定义只是初步认识时的过渡说法， 至于“比”定义则是商定义的引申， 其 价值在于可用它来定量研究两个以上事物在量方面

10、的结构关系。四、对 “小数”定义的对策和对 “分数”定义及其教学的建议1.对“小数”定义的对策。基于前面所提到的问题和以上的探讨，笔 者认为可以将整数中十进制计数、位值概念的建立等基本构造思想和 扩展长度单位时所用过的定义方法迁移过来定义小数。即当要表示不 是整数的数值时，也可以用 “把原来计数单位 1 平均分成 10 份后得到 的每份”来计数。这个新的计数单位用 “0.1来”表示，并读作 “零点一 ”， 依此类推就可以得到0.01, 0.001,等其他小数单位。这样，避开分数来定义小数对 “分数”教学也有好处。 因为教科书中 将“分数”的初步认识安排在三年级上册, 其目的就是为了建立小数概念

11、, 然后分数的系统教学是安排在五年级下册里。这样由于两个阶段相距 时间较长（正好两年半）,给学生的理解和记忆造成了一定困难。 此外, 由于分数的 “产生和含义 ”都放在了第二阶段上, 所以系统学习时出现了 不必要的重复。对概念下定义的过程,是对概念本质特征的一种归纳 巩固过程。对于抽象的概念,过早的下定义,等于是索然无味的简单 灌输,但定义下得太迟,又使学生的已有知识呈现零乱状态,不能及 时地整理和总结,更不利于概念的定型化。2.对“分数”定义及其教学的建议。笔者认为,关于 “分数的认识 ”教 学，既要重视概念的阶段性，又要注意到概念发展的连续性，要有计 划地发展概念的含义，按阶段发展学生的抽

12、象概括能力。因此，建议 强调 “分数与除法的等价性 ”，讲解更透彻一点，使学生真正认识到 “分 数与除法可以互逆，可以看作同一种运算 ”。对上面提出的问题，把例 3 改成“10只是 7 只的几倍？ ”和“7只是 10 只的几分之几？ ”的两个小 题来，说明 “分数与除法的等价性 ”对包含除法也成立，至于 “求一个数 是另一个数的几分之几，可以用除法计算 ”的道理，可以利用它们之间 的对称关系来解释如下： “求 10 只是 7 只的几倍，就是求 10 里包含多 少个乙所以要算10宁7得多少”同样，求7只是10只的几分之几， 就是求 7 里包含多少个 10，这里因为 7 比 10 小，不能把整个

13、10 都包 含，但可以包含10的一部分，所以要算7+ 1（得多少”在这基础上对 除法的两种情况进行全面地归纳，得出结论才符合逻辑，学生也可以 接受。而对数学概念不注重引入，只是简单举个例子，找出规律，将 概念直接提出来的做法是不科学的， 不利于培养学生良好的思维品质。五、结束语在小学阶段，分数与小数概念是非常重要的数概念，由于分数与 自然数有着较大的差异，学生掌握分数概念比较困难，如果教科书中 只是给出了抽象的定义，学生即便是了解了分数和小数的外延，也不 一定懂它们的本质，对分数概念的产生、发展、延伸、变化，更没有清楚的认识。因而，在编写教材时，不妨去对潜藏在分数与小数概念 中的思想作充分的分析，使得学生掌握概念最核心、最本质的特征。这样，能通过概念教学，让学生把握分数与小数的本质，体会其中的 数学思想，从而使得分数与小数的教学取得更好的效果。参考文献：1 课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育 课程标准实验教科书数学三年级（下册） M. 北京：人民教育出版社， 2007.2 课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育 课程标准实验教科书数学三年级（上册） M. 北京：人民教育出版社， 2007