对数学的感悟读书笔记

1、对数学的感悟为了使自己对数学有更深层次的认识和理解，我看了关于数学的很多书籍来扩大自己的知识面和增长自己的专业素养.希望通过这次的总结能对以后学习数学乃至将来运用数学提供帮助.一、数学是什么以及如何去领会 我以前一直有一个疑问“数学是什么？”.对于将来毕业后要做数学老师的我来说是个不小的难题，最近在网上看到了一篇文章数学是什么，觉得作为一名数学教师很有必要读一读！相信很多数学老师都这样问过自己：数学究竟是什么？作为一个数学老师，如果这个问题都回答不了，好像有点说不过去.但是谁又能真正说清楚数学是什么呢？美国数学家柯朗在他的数学是什么的书中说道：“对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠

2、自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”的确，我们很难给数学下一个准确的定义，就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧.如：文中谈到“0一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了”.难道数学是可以改变的吗？本学期我教十册数学就碰到了这样的问题，“0”现在是自然了，一系列的问题就出现了：比如：“0”是不是偶数？我也无法回答了.可能也有老师有这样的疑问！“教过三角形认识的老师都知道，在这节

3、课上我们第一个要煞费苦心的，就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形.为了“围成”与“组成”，我们往往要花去很长的时间，并常常为此设计而津津乐道.反思一下，如果我们不去区别“组成”与“围成”，或者说不把“围成”突出来讲，学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗？我看百分之百不会.数学课上，我们往往喜欢教语文，喜欢去咬文嚼字，看似深挖实质问题，实际是渐离实质.对于一个概念的学习，我们不能只注重它的定义，我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象：学生能画出多少个形状不同的三角形，学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗？一提到钝角三角形、等腰

4、三角形，学生的头脑中就能浮现出各种表象吗？为什么学生作业中经常会出现“小明身高1.5厘米”等数学笑话？因为我们对定义的关注，也许超过了对象与它所代表的实际意义的关注，而后者的重要性要远远大于前者.”在分数的意义教学中，我们通常都是从复习平均分开始，然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份，表示每一份的分数；把一条线段平均分成3份，表示每一份的分数步步为营，一层一层地引导下来.如果我们在课的一开始，就让同学们自己随便写一个分数，然后联系生活实际用这个分数说句话，或直接说说这个分数所表示的意义，可以吗？完全可以，在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中，学生的兴趣只会更高，思维更活跃.我们不能老

5、是让学生接触封闭的数学（条件唯一，答案唯一）.数学的魅力在哪里？在于数学的探索性与想象力.只有充满着想象的数学，才会深深地吸引着孩子.某水果店有以下三种苹果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元钱可以买多少千克苹果？某种苹果每千克2元，用40元钱可以买多少苹果呢？100元呢？试比较以上两道题，谁的魅力更大呢？”看了这篇文章后，我觉得作为一名数学老师，更应该关注的是每一节课，每一个内容的学习要给予学生哪些实质性的东西.我也对数学有了新的认识.数学是一门语言.数学语言具有简洁，无歧义的特点.数学符号往往内涵丰富，具有一定的抽象性.数学教科书中的语言可以说通常是文字语言、数学符号语言、图形

6、语言的交融.数学阅读重在理解领会，而实现领会目的的行为之一就是“内部语言转化”.即把阅读交流内容转化为易于接受的语言形式.因此，数学阅读常要灵活转化阅读内容.例如把一个抽象的内容转化为具体的或不那么抽象的内容；把用符号语言或图式语言表述的关系转化为文字语言的形式，及把文字语言表述的关系转化为符号或图式语言；用自己的语言来理解定义或定理等.总之，数学阅读通常要求大脑建起灵活的语言转化机制，而这也正是数学阅读有别于其它阅读的主要方面.数学材料的呈现主要是归纳和演绎，具有一定的严谨性，加之数学语言的抽象性，使数学阅读需要具有较强的逻辑思维能力.数学阅读要求认真细致.阅读一本小说或故事书时，可以不注意

7、细节，跳过无趣味的段落.但数学阅读要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义.对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义.二、数学中蕴含的哲理 我喜欢数学，对数学有着浓厚的兴趣，数学的一切都是那么的奥妙无穷.而我首先选择，并且看看数学的发展史， 首选的书籍当然是数学史了，只是我大学时候一本教科书.书里的内容，我感兴趣并且能共同接受的只有一个，悖论，一个数学里面最有哲理的内容. 数学悖论最早是由一位古希腊哲学家芝诺提出来的，所以也叫做芝诺悖论.其中著名的有这么一个，兔子去追乌龟，尽管乌龟爬得很慢

8、，但是兔子永远也追不上乌龟.因为兔子要追上乌龟，必须先到达乌龟的出发点，当兔子追到乌龟的出发点时，乌龟利用兔子追这段路的时间向前爬出了一段，此时乌龟还是在兔子前面，兔子再追，每追一段，乌龟就会多爬出一段，所以兔子永远也追不上乌龟.若从纯数学的角度去看，这只是一个简单的极限问题，就好比小数里面的循环小数，虽然无限多得可以写下去，但是只是局限在某个范围里面，这里的兔子追不上乌龟也被局限在了某个范围里面，我们可以发现乌龟领先的距离越来越短，而且兔子赶上前面那段路的时间也越来越小，就好比0.999.一直在写下一位的9，永远突破不了1，在极限中，当无限接近时就是被认为相等，所以兔子虽然要追很多段路，但花

9、的时间很少很少，直到无限接近于乌龟时，就认为兔子已经追上了乌龟.其实0.999.也可以看作是等于1的.古希腊的这位哲学家是不可能明白这个数学道理的，却提出一个当时只有极少数人能够解决回答，并且能够解决回答也几乎没有人能理解的数学问题，实在有些一时口快之感，可恰恰是这些个一时口快，才著就了学术的发展，历史的前进，数学的文明.歌德巴赫只是个数学教师，可他的猜想让世界计算了一个时代.人们只晓拿破仑踏破欧洲的铁蹄，却不知他也在数学史上留名，这位皇帝曾经提出如何只用圆规将一个圆四等分，法国的数学家们由此研究得出尺规作图除了直接划出直线，全部可由圆规单独完成.所以我又得到一致的结论，古人说错了.我们只是站

10、在古人的肩膀上，数学史上的进步，不可忽视其中任何一个人，一个环节.设想，如果阿基米德活着的话，也许后人就能避免绕大的圈子来研究出一个个的几何图形，可能100年前就能造出现在的房子.如果牛顿没被苹果砸到，那时人们知道的他并不是物理学家，而是史上最伟大的数学家了.再看芝诺，如果他不提那几个悖论，那么，也许是别人会提，至少数学的发展推迟了一个哲学的理论的出现，发现芝诺是和和那些巨人门站在一起.数学的精髓是其思想，我读古今数学思想，这本书主要讲数学置于西方的背景下加以考察，对于中国数学谈的却很少.要谈数学于西方文化及其他领域的相互关系及相互影响，谈数学精神，数学思想在数学领域的体现和应用，然而，关于古

11、希腊和希腊时期的第六章，恰恰强调的是数学精神的独立性和创造性.古希腊数学家鄙视手工劳动和商业劳动，柏拉图就宣称：“数学应该用于追求知识，而不应该用于贸易”，“自由人从事商业贸易是一种堕落”.即使对实用发明做出过巨大贡献的阿基米德，真正真爱的仍然是演绎性科学，他也认为：“任何于日常生活有联系的技艺都是粗俗的”.希腊人几何发达，代数落后.他们将几何学做成高度发达的演绎公理系统，这在欧几里德的几何原本里集了大成.而由于对“数”未能像对几何学那样建立起严密的逻辑体系，希腊人明显有厚几何薄代数的倾向.代数概念一定要转变成几何概念才算合法：解方程必须用几何作图法，二数乘积或三数乘积必须转变成图形的面积或者

12、体积，所以四数的乘积被认为不可思议.但是几何化并不能完成数论的公理化，希腊人只得将无法表示为整数或者整数之比的数称为“无理数”，这个名称一直沿用至今.而数的理论的公理化是迟至19世纪的事了.在几何学内部，希腊人坚持尺规作图得限制，所以有“三等分角”“立方倍积”“化圆为方”所谓三大难题的成立.其实只要允许用复杂一点的工具，难题不难解决，但是希腊人不允许，因为这样做是突破了公理的藩篱，掺杂近了感情因素，几何学的理性便荡然无存了.对于希腊人来说，维护理性的对立性和纯粹性，比什么都重要，这种独立的，纯粹的理性精神，从来不曾在也有着悠久数学历史的巴比伦、埃及、印度和中国的文化中出现.只出现在古希腊，事情

13、似乎是，数学以及后来自然科学的理性，只能在特定的文化土壤和历史背景中产生，而这种精神本身有是普世的，超文化的.科学理性的历史形态不拘一格.古希腊（特别是毕达哥拉斯柏拉图学派）的理性是数学本质主义，认为数学的结构既是世界的本质.而由伽利略,牛顿开启的近代物理学的理性则表现为“数学的描述现象”，仅仅是描述现象，而不问本质.牛顿用计算证明，使地球物体自由下落的力是与太阳绕行星旋转的力可以用同一个公式来表示，这就够了.至于问道“万有引力”的本质，牛顿的回答是：“我们应该当力戒假说”.近代科学的伟大创始者都信仰上帝，在他们看来是上帝把世界创造的可以用数学来描述，而他们自己不过是人中的先觉，率先领悟了上帝

14、的旨意而已.当牛顿发现，太阳系的实际运动呈现出偏离计算的不规则性，因而稳定成为问题时，他又不得不假设是上帝的不可知力量在维持着太阳系的稳定性，将理论性能视为上帝力量的显现，归公与上帝是感恩的心情；在理性不能及处，撒手任命.只让上帝来负责是求助的心情.由于感恩的信仰和求助的信仰是应该加以区别的.18世纪的拉普拉斯算出行星运动的不规则是周期性的，因而太阳系还是稳定的，他既不感恩也不求助，所以当拿破仑问他天体力学一书中为什么不提上帝时，拉普拉斯回答说：“陛下，我不需要这个阶段”.正因为这一点，我们通过读这本书，从一些科学家的故事中吸取教训，更应该相信真理和科学.三、如何运用数学处理问题数是一个概念，

15、数轴是一个用数来衡量距离的经典的工具.数学的符号是将束赋予一些性质.关系实际上是一种逻辑关系.用抽象语言所无法表达的事物叫抽象的抽象.数字逻辑表达的是一种信息结构，揭示了表象之外，不为人所轻易认识的形态.秩序是思维范式本身的一种表达，是思维范式在信息流中的表达.而范式，就是思维结构的表达.数学的概念就是确定与不确定的问题.详细的结构与数字运算，都是确定的问题，而很多概念，超出人类思考能力的概念，就对其部分性质加以抛弃，变成不确定，但包含部分相关重要性质的理论单元.比如，无穷，点的大小，无理数，邻域等等.点的本质是一种标记，是抛弃大小之后的微小数量单元，它不是最小数字单元，而仅仅是一种标记，点大

16、小的疑惑就是混淆了这两个概念所引起的.无穷，无理数，只是人类能力的限制，他的范围大小是运算思考能力大小的衡量，而不是这个概念本身的问题，概念是产生概念的秩序本身的表达.邻域，邻域的定义，就是抛弃这个概念中涉及到的常规概念，把它还原成为确定的理论概念的过程.而在极其重要的极限定义过程中所涉及的定义过程，也是抛弃极限的普通性质，将其与不确定的概念相比，研究其性质的过程.也正是通过这个方式，找到一种手段，研究函数为确定部分的性质，并用将结果转变成传统数学语言.数学是一种工具，一种可以度量并标准化信息的工具.规律，是数学的最终目的.也许很多人会认为数学是科研的基础，对于大多数人并不实用，我以前也是这样

17、认为.在学微积分的时候我觉得数学好像是空洞的，似乎与现实没什么联系，经过学概率统计我才发觉数学在以后工作的重要作用，而可惜的是，当我想努力学好它时却因微积分知识的缺乏而倍感吃力.基于此，我想学好数学就必须先认清它的用途，没有用的东西是没有人喜欢是学的，如果我们学数学仅仅是为了考试那也就太可悲了.我觉得实用性的书籍莫过于概率统计教材一书.此书是概率论和统计学的基础教程，具有丰富的背景，巧妙的思维和有趣的结论.内容分八章，前四章为概率论，后四章为统计学（本人只看了前四章），前四章对概率论的介绍与教材大致相同，但对概念的论述更为详尽.最使我眼前一亮的是本书对一元线性回归的讲解.书中阐述了十九世纪时的

18、生物学家兼统计学家高尔顿对父与子身高的遗传问题进行了研究，用X表示父亲的身高，用Y表示儿子的身高，发现把（X Y）放在直角坐标系中，这些点几乎在一条直线附近，并求出改直线方程Y=33.73+0.1516X.此方程式表明了父亲与儿子的身高的关系.从此方程式我引出了一系列的思考.从开始接触数学到现在，老师们无一不给我灌输了这么一个理念数学是严密的.但如果说此方程式很严密，我并不如此认为.很明显，高尔顿只不过是对一个时期的父子们的身高进行研究，此方程式不能代表19世纪以前的情况，也不能代表现在的情况.身高的确有受遗传因数的影响，但同时也受到外界因素的影响，比如营养和生活条件都会对身高进行影响.且此方

19、程式只是通过对1078对父子的身高进行研究，使人觉得有以偏概全的嫌疑.此外，读了此书有一种与读了教材之后的相同的感觉在讲某一种分布时，常常硬生生地将生活中的某种现象地发生规律说成时大致符合此种分布.这种讲解地方法常使我感到一头雾水.一种现象（比如种子地发芽）总会随时随地发生.如何得知道其发生的规律和分布？如果说是对样本进行研究，最后得出的结论，那么一种从远古就开始发生的随时会发生的现象，抽样研究会有代表性吗？现象的发生在不同时期有不同的影响因素，在不同的空间也有不同的外部因素，书中对如何得到其分布函数和其图形说得很肤浅，使我一头雾水.虽然，书中的内容很抽象，但是，书中的图文并茂使我耳目一新，例

20、子的新颖及例子的贴近生活和生产很具有时代气息.且通过做书中的习题，觉得习题具有针对性使我加深了对内容，最喜欢听的、看的都是与现实有很大联系的题目，在我看来，这些题目对我有用，所以花时间，花精力去学就值得.我认为，理论必须与实践相结合才能转化成生产力.当大学从精英教育转为大众教育的同时，必然要求数学从研究型教育转变为实用型教育.但不可否认的是目前的数学教学尚未紧密联系现实，这也就要求教育部门、教师、学生必须进一步的努力.数学除了要与现实结合，还要与计算机紧密联系.随着计算机的普遍化、微型化，人们将不再需要处理烦琐或大量的数据.可以预计，在未来的几年，计算机将变得像计算器一样普及.我们完全可以将那

21、些复杂的运算交给计算机去处理.从而抽出更多的时间去理解数学知识及学会数学软件的使用.学习数学不只是学习数学知识，还要锻炼自己的思维，早期的计算机人才多数也是数学人才，计算机编程与数学知识本身的联系必不是很紧密，但数学的逻辑性对编程却是至关重要的.逻辑性思维不止对计算机，对各行各业都有深远的影响.也许我们考完试后很快便将枯燥的数学公式忘得一干二净，但逻辑性思维却将陪伴我们一生.因此学习数学不仅需要记忆，更重要的是要学会思考.数学是一门各知识点联系非常紧密的学科，不能因为某个知识点枯燥、烦琐就不去学好它.恰恰相反，我们必须花更多的时间去学它并把它学好.其实数学知识就像鱼网，有很多漏洞的鱼网是不可能网到大鱼的.四、数学与教育的结合我是决心要做一名数学教师的，所以我也读了很多关于数学教育方面的书籍，就像清人袁枚在随园诗话中指出“学如弓弩，才如箭镞，识以领这，方能中鹄”，这里的“学”指知识，“才”指方法，“识”指观念、见识.其中知识是基础，方法是工具，而观念、见识则对知识和方法应用的方向、方式作引领.也就是说，知识如果没有方法的调制，就不会软化，只能是一种僵硬的学问，一种沉重的负担；“方法背后如果没有一种生机勃勃的精神，它们到头来，不过是