吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测试数学(理)试题(教师版)

1、吉林市普通中学 20192020学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求.1 .集合P x N| 2 x 1 2的子集的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】先确定集合P中元素的个数，再得子集个数.【详解】由题意P x N| 1 x 3 0,1,2,有三个元素，其子集有 8个.故选：D.【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n个元素的集合其子集有 2n个，其中真子集有 2n 1个.2 .已知i为虚数单位，复数z满足z 1 i i,则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一

2、象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数z,得出其对应点的坐标，确定所在象限.【详解】由题意z i（1 11 1i,对应点坐标（11），在第二象限.1 i （1 i）（1 i） 2 22,2故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题.3 .如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同【解析】【分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明.【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差

3、不多，说明数 据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误.故选：B.【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础.,14. cos 2 ” 是“2A.充分不必要条件k , k Z ” 的（）3B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】【分析】先求出满足cos2【详解】由cos21的 值，然后根据充分必要条件的定义判断.21 L2r. r“得 2 2k ，即 k 一 , k Z ,因此 “ cos22 33k , k Z”的必要不充分条件.3故选：

4、B.【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：0.675,0.989 , 1.102, 0.010 , 2.899,1.024 ,9.101,2.978 ,下列函数模型中拟合较好的是（A. y 3xB. y 3xc. yd. y log 3 x作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线.【详解】据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,如图，作出A, B, C, D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线y log3X的两侧，与其他三

5、个曲线都离得很远，因此 D是正确选项，故选：D.【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好.X 16.已知实数x, y满足线性约束条件x y 0 ，则z 2x y 最小值为（）x y+2 0A. 1B. 1C. 5D. 5【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y 2x z,其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在联立直线方程:,可得点的坐标为：A 1, 1 ,据此可知目标函数的最小值为：Zmin 2x y 2 1 1.故选B.【点睛】本题考查了线性规划的问

6、题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题2227.已知圆x y 6x 7 0与抛物线y 2px p 0的准线相切，则 p的值为（）A. 1B. 2C. -D. 42【答案】B【解析】【分析】222因为圆x y 6x 7 0与抛物线y 2px p 0的准线相切，则圆心为（3,0）,半径为4,根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知P的值为2,选B.【详解】请在此输入详解！8 .如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F, G, H分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面ACD1平行的是（）A.直线EFB.直线GHC.直线EHD.直线AB【答案】C【解析】【分析】

7、根据线面平行的判定定理判断.【详解】首先四个选项的直线都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EF AC ,GH /ACi /AC , AB/DQ，直线EF , GH , AB都与平面ACD1平行，剩下的只有 EH不与平面ACDi平行.实际上过 A作CDi的平行线，这条平行线在平面ACDi内且与EH相交（它们都在平面ABBiAi 内）.故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理.9 .我国宋代数学家秦九韶（1202 1261）在数书九章（ 1247） 一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜哥并大斜哥减中斜哥，余半之，自乘于上；以小斜哥乘大斜哥减上，余四

8、约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a, b, C求三角形面积S,即J222 21 a2c2ca-.若ABC的面积S 山，a 如，b 2,则c等于（）422A 5B. 9C. * 或 3D. 5 或 9【答案】C【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得.详解由题意得t3c2 （c2-A）213c2 （c）2 11,4 4（22424整 0,c2 9i".故选：C.【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知a,b代入面积公式解方程即可得.22x y10.已知双曲线C ： -2 1 1 （a 0, b 0）的焦距为2c.点a为双曲线C的右顶点，

9、若点 A到双曲 a2 b2线C的渐近线的距离为 c,则双曲线C的离心率是（）2A. ，2B.、3C. 2D. 3【分析】由点到直线距离公式建立 a,b,c的等式，变形后可求得离心率.【详解】由题意 A(a,0), 一条渐近线方程为bab一 x ,即 bx ay 0 , da，: ab212c，2 2a b2-c1c2 即 a2（c2 a2） c24c4e24 0，e故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.111.已知 a ln , b log52,2,则（）一 ，c eA. a bB. a c bC. b a cD.首先与1比较，得一最大的，剩下

10、的两个与【详解】首先m 1,0 log5 21,0a最大,11其次 log 5 2 log5 v5, e 22故选：B.【点睛】本题考查比较骞和对数的大小，对不同底的对数或骞一般借助于中间值比较，如0, 1, 2等等.本，1,、，题中是与1比较的.212.如图，在ABC中，点M , N分别为CA, CB的中点，若 AB J5 , CB 1 ,且满足uuur uuur3AG MBuur2 uur2CA CBuuur uuur 八,则AG AC等于（）A. 2B. ,5d.8【答案】D【解析】【分析】选取BA, BC为基底，其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意G是ABC的重心,uuur

11、uuir 2 _ 1 3AG MB 3 AN ( BM ) 2(BN BA) - (BC 32一21 -21 -11 -BA BC BA BC 5 BA BC2222uur2 uuuu222CA CB (BA BC)2 1 BA 2BA BC BC1 -T-T-BA) (BA - BC) (BC BA)215 2BA BC 1 1 ，9 1 - - BA BC 7 2BA BC , BA BC 1 , 2 2mr rurAG AC2/1 3一(3 2 22 -AN AC35)3'2 1 -(-BC BA) (BC BA) 3 22 1 2 3-2-(-BC -BC BA BA ) 3

12、22故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与 运算，这样做目标明确，易于操作.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.13.在空间直角坐标系 O xyz中，A 72,0,0 , B 0,3,0 , C 0,0,5 , D 衣,3,5 ,则四面体ABCD 的外接球的体积为.【答案】36 ;【解析】【分析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD外接球的直径.【详解】取 E(J2,0,5), F (72,3,0), G(0,3,5), O(0,0,0),则O

13、AFB CEDG是长方体，其对角线长为3.l1(2)232/ 6，二四面体 ABCD外接球半径为r33 36故答案为：36【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知.14.直线 mx ny 2 0( m2220, n 0)过圆C ： x y 2x 2y 1 0的圆心，则一 m的最小值【答案】3 2版；【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得m,n的关系，再由基本不等式求得题中最小值.【详解】圆C ： x2 y2 2x2y 10的标准方程为(x 1)2 (y 1)2 3,圆心为C(1,1),由题意mm 2( 2故答案

14、为:(-m1),n2)(m n2(23 2.2n)3 2m n3 2J2m 3 2收，当且仅当 n m2m的代换【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，" 法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”. 一 .一1 .15.若函数f x sin 2 x 在区间0, 上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是62-4-【答案】4,2 ； 3【解析】0,上，第四个零点在区间0,外即可.1 一 _/x = 0,得 2 x k ( 1)k , k Z ,6266,k Z,【详解】由x sin1x=k21)k 6求出函数f x的零点，让正数零点从小

15、到大排列，第三个正数零点落在区间f(0) 01F(31 小4故答案为:4二，2).【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间 0, 上.由此可得 的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题.16.关于函数f x ln 2 x In 4 x有下列四个命题：函数y f x在 2,4上是增函数；函数y f x的图象关于1,0中心对称；一 2不存在斜率小于 一且与函数y f x的图象相切的直线；3函数y f x的导函数y f x不存在极小值.其中正确的命题有.（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分

16、析】由单调性、对称性概念、导数几何意义、导数与极值的关系进行判断.【详解】函数f x ln 2 x In 4 x的定义域是（2,4）,-2 x6由于 f x In 2 x In 4 x In ln（ 1 ）,4 x4 x在(2,4)上递增，函数y f x在 2,4上是递增，正确;f(2 x) ln(4 x) ln(2 x)f x的图象关于1,0中心对称，正确;f,(x)116T -Z !22 x 4 x 8 2x x66(x 1)2 9 92一 一a,x 1时取等号，正确;3f'(x)-6，设 g(x) f '(x),贝U g'(x)x2 2x 812(x1)2_ 2

17、1(x2 2x 8)2显然x 1是g(x)即f '(x)的极小值点，错误.故答案为：.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断 即可，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列an是公比为正数的等比数列，其前n项和为Sn,满足a1 2,且a2,2S2,a3成等差数列.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn10g 2 an,求b2b2b；b42b；b；b9b00 的值.2n 1【答案】(1) an 2 n N(2) 20000【解析】【分析】(1)由公比q表示出a

18、2,a3,S2,由a2,2S2,a3成等差数列可求得 q,从而数列的通项公式；(2)求(1)得bn,然后对和式b2b；b；b2b；b：b99b00两两并项后利用等差数列的前n项和公式可求解.【详解】(1) an是等比数列，且a2,2S2,a3成等差数列2 4s2 a2 a?,即 4 4 a1q“q a1q2 - 4 4q q q ,解得：q 1 或 q 4a122 n 1 c2 n 142 nN(2) bnlog 2 an 2n 112 32 52 721972 19921 3 1 35 7 5 7197 199 197 1992 1 3 5 71991 19910020000【点睛】本题考查

19、等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的 n项和公式.本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法.数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组(并项)求和法等等.18.如图，三棱柱 ABC ABC的侧棱 人垂直于底面ABC,且 ACB 90 ,BAC 30 , BC 1 ,AA V6, M是棱CC的中点.(1)证明：AB AM ;(2)求二面角 A MB A的余弦值.2【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】【分析】(1)由侧棱 AA垂直于底面 ABC,且 ACB 90 ,得可侧面与底面垂直，从而 BC与侧面AACC垂直，因此有BC AM ,即有BC AM，于是只

20、要证 AM AC即可有线面垂直，从而证AB AM ,这个AM AC在矩形ACC A由相似三角形可得证;(2)以分别以CA, CB, CC为x, y, z轴建立空间直角坐标系，求出平面 MA B和平面MAB法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值(注意确定二面角是锐角还是钝角) 【详解】(1)证明：AA 平面ABC 四边形ACCA是矩形 M CC 中点，且 AA CC J6C M -62 BC 1 , BAC 30 , ACB 90AC AC连接AC , MC ACAM CM ACB AC AACAA, MCA 与 CAA相似A AC , A AC AAM 90AM AC. ACB 90

21、，.一 BC，平面 ACCA . BC 平面 ACCA AM 平面 ACCA , BC AM AM 平面 ABC ,，AM AB .x(2)解：如图，分别以 CA, CB, CC为x, y, z轴建立空间直角坐标系，则A 73,0,而,M 0,0, , B 0,1,76 , A 73,0,0 ,2uuuu. MA,6 uur0,1, , MA 2,3,0,设平面MABIT的法向量为n1”, yi,4uuuu MALTn1uurMB n2 0解得:ITn1,2.6 d一,一,122同理，平面UUMAB的法向量n2设二面角MBcos即二面角cosLT UU”2MBA的大小为,则3【点睛】本题考查线

22、面垂直的证明，考查空间向量法求二面角.证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和 性质定理.立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平 面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解.19.已知bcsin 2A 20cos B CABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A ,且满足2(1)求ABC的面积S;c b4S ,求一的最大值.b c(1) 5 (2) 272(1)由诱导公式和二倍角公式可得bcsin A,从而得三角形面积;(2)由余弦定理得b2 c2 2b

23、ccosA a2 2bcsinA，从而可把b2 c2b一J用角A表示出来, bc由三角函数性质求得最大值.【详解】解:(1)在 ABC 中，ABC , . B C. bcsin2A 20cos B C 01- 2bcsin A cos A 20cos A 0A ，.二 cos A 0 2-1 . . S bcsin A 52(2)a2 4s22b c 2bccosA 2bcsinA22b2bcb c 2bcsin A 2bccosA2sin A 2cos A 2.2sin A 4，.一c b一. .当A 时，取取大值2 J2 . 4 b c【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦

24、公式，余弦定理.本题关键是c、一、,.r c bb c 2bccosA a 2bcsinA,这样可把一 一 b c.22b cbc表不为角A的函数，从而求得最值.20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区 500本图书的分类归还情况，数据统计如下(单位：本) 文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书1004010科普类图书3020030其他图书201060(1)根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率R ;(2)根据统计数据估计图书分类错误的概率p2；(3)假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专

25、栏”的数目分别为a , b, c,其中a 0, a b 100, c 50,当a, b, c的方差s2最大时，求a, b的值，并求出此时方差 s2的值.【答案】(1) 2 (2)(3)当a 100, b 0时，s2取最大值5000 3253【解析】【分析】(1)文学类图书共有150本，其中正确分类的有 100本，由此可计算概率;(2)图书分类错误的共有 140本，图书总共有500本，易得概率;(3)计算平均值，再计算方差 s2,转化为a的函数后可得最大值.【详解】解:(1)由题意可知，文学类图书共有100 40 10 150本，其中正确分类的有 100本所以文学类图书分类正确的概率100 21

26、50 3(2)图书分类错误的共有30 20 40 10 1030 140本，因为图书共有 500本,所以图书分类错误的概率P230 20 40 10 10 305007251.(3) a , b, c 的平均数 x a b c350o 122所以方差 s2 - a 50 b 5050 5031 a2 b2 5000 100 a b3b2125000 1 a21003a 0, b0,当 a 100, ba 2 50001 2a2 200a 50003250000时，s2取最大值.3【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算.考查了学生的数据处理能力.属于中档题.21.设函数 f x ln x a

27、Vx 1 .(1)若函数y f x在1,是单调递减的函数，求实数 a的取值范围；(2)若 n m 0,证明：2 ln n 2 ln m. m【答案】(1) a 2 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)求出导函数f (x),由f x 0在1,上恒成立，采用分离参数法求解;(2)观察函数f(x),不等式凑配后知，利用a 2时f ° f 1可证结论.【详解】(1)因为y f x在1,上单调递减,1a 一2所以尸 0 ,即a =在1, 上恒成立x 2,xx因为2、x在1,上是单调递减的，所以-2=0,2 ,所以 a 2(2)因为n m由(1)知,2时，y f x 在 1,上单调递减所以f即In m所以2ln nIn m. m【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明.322.已知A 2,0 , B 2,0 ,动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为一，设点P的轨迹为曲线C.4(1)求曲线C的方程;(2)若过点F 1,0的直线l与曲线C交于M , N两点，过点F且与直线l垂直的直线与x 4相交于点T ,求巨£的最小值及此时直线i的方程.| MN |(1)2 (2) 1F'的最小值为1,此时直线l： x 1'| MN |(1)用直接法求轨迹方程，即设动点为P(x