2020届高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.3函数的奇偶性与周期性练习(含解析)

1、专题2.3函数的奇偶性与周期性【考试要求】1 .结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义;2 .结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义【知识梳理】1 .函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f (x) =f (x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x) = -f(x),那么函数f (x)是奇函数关于原点对称2 .函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使彳导当x取定义域内的任何值时，都有 f(x+ T) =f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数，

2、称 T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1 .(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即 f (0)有意义，那么一定有 f (0) =0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(| x|).2 .奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3 .函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：若 f(x+ a) = f(x),则 T= 2a(a>0).-1 一 _(2)若 f(x+ a),贝U T= 2a(a>0)

3、. f (x)1(3)若 f(x+ a) =-r,贝U T= 2a(a>0).I (x)4 .对称性的三个常用结论 若函数y= f (x+a)是偶函数，则函数 y= f (x)的图象关于直线 x= a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a x)=f(x)或f(x)=f(2a+x),则y= f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y= f (x+b)是奇函数，则函数 丫=穴*)关于点(包0)中心对称.【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)函数y= x2在xC (0,+8)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有 f(0) =0.()若T是函数

4、的一个周期，则nT(nC Z, nw0)也是函数的周期.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数 y=f(x)的图象关于点(b, 0)中心对称.()【答案】(1) X (2) X (3) V (4) V【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y = x2在(0, +8)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在x=0处有意义时才满足f(0) =0, (2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y=f(x+b)的图象关于(0, 0)对称，根据图象平移变换，知y=f(x)的图象关于(b, 0)对称，正确.【教材衍化】2 .(必修1P35

5、例5改编)下列函数中为偶函数的是 ()A. y = x2sin xB.y=x2cos x一一 一xC.y=|ln x|D.y=2【答案】 B【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x) =f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0, +oo),不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数 .3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x C 1 , 1)时，f (x)= 4x2+2, - K x<0,3x, 0< x<1【解析】由题意得，f 2 =f -2 =-4X -2 +2=1.【真题体验】4. (20

6、19 济南调研)下列函数既是偶函数又在区间 (0,+8)上单调递增的是()B.y=xA. y = x20c.y=|x|D.y=|tan x|【答案】 C【解析】对于A, y=x3为奇函数，不符合题意；1对于B, y= x4是非奇非偶函数，不符合题意；对于D, y= |tan x|是偶函数，但在区间(0,+8)上不单调递增.5. (2017 全国H卷)已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数，当 xC(8, 0)时，f(x)=2x3+x1则f (2)【答案】12【解析】x ( -oo, 0)时，f (x) = 2x3+x；且f(x)在R上为奇函数，.f (2) =-f(-2)=-2X( - 2)3

7、+( 2)2 = 12.6. (2019 上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当 xC0, 1时，f(x) = log2(x+1),则当 xC 1 , 2时，f(x) =.【答案】log 2(3 -x)【解析】当 xe 1 , 2时，x-2 1, 0 , 2-x 0, 1,又f(x)在R是上以2为周期的偶函数，.f (x) =f(x-2) =f (2 - x) = log 2(2 -x+1) = log 2(3 x).【考点聚焦】考点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性:(2) f(x) = f(x) =lg (1 - x2)|x-2| 2， x2+x, x&l

8、t;0,x2+x, x>0.【答案】见解析3-x2>0,厂【解析】(1)由2得x2=3,解得x=±43x -3>0,即函数f(x)的定义域为3,国从而 f (x) = 3 - x2+ x2 3= 0.因此 f ( x) = f (x)且 f ( x) = f (x),函数f (x)既是奇函数又是偶函数1 -x2>0,(2)由得定义域为(一1, 0)U(0, 1),关于原点对称.|x 一2| W2,.1 lg(1 -x2) ' x 2<0, | x 2| 2 = - x, - f (x) =*又:" 一 x)=lg1 -(-x)2lg(1

9、 -x2)=f(x),，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(8, 0)U(0, +8),关于原点对称.当 x<0 时，一x>0,则 f( x) = (x)2 x= x2 x= f(x);当 x>0 时，一x<0,则 f( x) = ( -x)2-x=x2-x= - f (x)；综上可知：对于定义域内的任意x,总有f(x) = f(x)成立，函数f(x)为奇函数.【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性

10、的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x) + f ( x) = 0(奇函数)或f (x) f ( x) = 0(偶函数)是否成立.【训练1】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2 xB.y=x2cos xx 12C.y=2+2xD.y=x+sin x,xx 一. .一(2)已知f(x)=2x“，g(x)=2,则下列结论正确的是 ()A. f (x) + g( x)是偶函数B.f (x) + g(x)是奇函数C.f (x) g(x)是奇函数D.f (x)g(x)是偶函数【答案】(1)D(2)A【解析】(1)对于 A,定义域为 R, f ( -

11、 x) = - x + sin 2( x)=(x+sin 2 x) = f (x),为奇函数；对于B,定义域为R,f ( - x) = (-x) 2-cos( -x) =x2-cos x=f(x),为偶函数；对于C,定义域为R,f (x 1 x 12x) = 2 +2-7 = 2+1=f(x),为偶函数；对于 D, y = x+sin x既不是偶函数也不是奇函数 .(2)令 h(x) =f (x)+g(x),一.xx因为 f (x) = 27T7，g(x) = 2,一 ,、 x x x - 2 x+x 所以 h(x) = 2rZ71 +2=2 ( 2x- 1)'定义域为(00, 0)

12、U (0 , + 8).-x - 2 x-x x (1 +2x)因为 h( x) = 2(2f _ 1) = 2 (2x 1) = h( x)，所以h(x) = f(x)+g(x)是偶函数,令 F(x)=f (x)g(x) =2 (2x 1)，定义域为(00, 0) U (0 , + 8).所以F(-x) =(x) 22 (2一x1) =2 (12x)，因为 F(x)wF(x)且 F(x)w F(x),所以F(x) = g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数考点二函数的周期性及其应用【例2】(1)( 一题多解)(2018 全国n卷)已知f(x)是定义域为(巴 +8)的奇函数，满足f。x)=f

13、(l+ x).若 f(1) =2,则 f (1) +f(2) +f(3) + f(50)=()A. 50B.0C.2D.50(2)已知f (x)是R上最小正周期为 2的周期函数，且当0Wx<2时，f (x) = x3- x,则函数y = f(x)的图象在区间0 , 6上与x轴的交点个数为 .【答案】(1)C(2)7【解析】(1)法一 :f(x)在R上是奇函数，且f (1 x) = f (1 +x). . f (x+ 1) = - f(x-1),即 f (x+2) = f(x).因此f(x + 4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的函数，由于 f (1 -x) =f (1 +x) ,

14、f (1) =2,故令 x=1,得 f(0) =f (2) =0令 x=2,得 f(3) =f( 1)=f(1) =-2,令 x=3,得 f(4) =f( 2)=f(2) =0,故 f(1) +f (2) +f(3) +f (4) =2+0 2+0=0,所以 f(1) +f(2) +f(3) + f(50) =12X0+ f(1) +f(2) =2. 一 Ttx 一一，一 .* 一. .一.法二取一个符合题意的函数f(x) = 2sin2一,则结合该函数的图象易知数列f(n)( nCN)是以4为周期的周期数列.故 f (1) +f (2) +f(3) + f(50) =12X f(1) +f

15、(2) +f (3) +f(4) +f(1) + f (2) = 12X 2 + 0+( 2) + 0 + 2+0=2.(2)因为当0Wx<2时，f(x)=x3x.又f(x)是R上最小正周期为 2的周期函数，且f (0) =0,则 f(6) =f (4) =f(2) =f (0) = 0.又 f(1) =0, . f(3) =f(5) =f(1) =0,故函数y = f(x)的图象在区间0, 6上与x轴的交点有7个.【规律方法】1 .根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转 化到已知区间2 .若f(x+a) = f(x)( a是常数，且a

16、w0),则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程9【训练2】(1)(2019 南充二模)设耳刈是周期为4的奇函数，当0WxWl时，f(x)=x(1+x),则f 5=()1C.41B.一4(2)(2017 山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4) =f(x 2).若当xC 3, 0时，f(x) =6:则 f(919)=【答案】(1)A(2)6【解析】(1) ;“*)是周期为4的奇函数,912 = f 2又0w xwi时,f (x) = x(1 + x)11132 -2 1 + 2 = - 4.(2) . f(x + 4)=f(x

17、2), .f ( x+2) + 4 =f( x+2)2,即 f(x+6) = f(x),.f (919) =f (153X6+ 1) =f(1),又f (x)在R上是偶函数，.f (1) =f( 1) = 6 (1)=6,即 f (919) =6.考点三函数性质的综合运用 角度1函数单调性与奇偶性【例31】 (2019 石家庄模拟)设f(x)是定义在2b, 3+b上的偶函数，且在 2b, 0上为增函数，则f(x-1)>f (3)的解集为()A. -3, 3B. -2, 4C. -1, 5D.0 , 6【答案】 B【解析】 因为f(x)是定义在2b, 3+b上的偶函数，所以有一2b+3+b

18、 = 0,解得b=3,由函数f(x)在 6, 0上为增函数，得f(x)在(0 , 6上为减函数.故f(x - 1) >f(3) ? f(|x 1|) >f(3) ? |x -1| <3,故2WxW4.【规律方法】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f(x)=f(| x|),避免了不必要的讨论，简化了解题过程角度2函数的奇偶性与周期性【例32】 (1)(2019 山东省实验中学检测)已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x+5) =f(x),且当xe 0, 5 时，f(x)=x33x,则 f (2

19、018)=()A.2B. -18C.18D. -2(2)(2019 洛阳模拟)已知函数y=f(x)满足兀y=f(x)和 y=f(x+2)是偶函数，且 f(1)=,设 F(x)=3f(x)+f(-x),则 F(3)=()A 兀A. 一3B.23C.兀4兀D.3【答案】(1)D(2)B【解析】(1) .f(x)满足 f(x+5)=f(x),，f(x)是周期为5的函数, .f (2 018) =f (403X5+ 3) = f (3) =f(5 -2) =f( -2)53f(x)是奇函数，且当 xC 0, 2 时，f (x) = x - 3x,.f ( - 2) = -f (2) =一(2 33X2

20、) = 2,故 f(2 018) =- 2.(2)由 y = f ( x)和 y=f (x+ 2)是偶函数知 f ( -x) =f (x),且 f (x+2) = f ( x+2),则 f (x + 2) = f (x 2). . f (x+4) = f (x),则 y=f(x)的周期为 4.2兀所以 F(3) =f(3) +f( 3) = 2f (3) =2f( 1) =2f(1)=-【规律方法】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的

21、区间，然后利用奇偶性和单调性求解【训练3】(1)(2019 重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线 x=3对称，当xC0, 3时，f(x) = -x,则 f( 16)=.(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0, +8)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t) +1f lnFw 2 f (1),那么t的取值范围是 .【答案】(1)2(2) -, ee【解析】(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线 x= 3对称，则有f(x) =f(6 x),又由函数为奇函数，则 f(-x)=-f(x),则有 f (x) = - f(6 -x) =f(x- 12),则f(x)的最小正

22、周期是12,故 f( 16) =f ( 4) = f(4) = f (2) = - (-2) = 2.(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，1所以 f(ln t) =f ln -,1由 f (ln t) +f In f <2 f(1),得 f(ln t)<f (1).又函数f (x)在区间0 , + °°)上是单调递增函数，所以 11n t|w1 即一1W|n t < 1,故Iwtwe. e【反思与感悟】1 .判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2 .利用函数奇偶性可以解决以下问

23、题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值； (4)画函数图象，确定函数单调性 .3 .在解决具体问题时，要注意结论“若 T是函数的周期，则 kT(kCZ且kw0)也是函数的周期”的应用 .【易错防范】1 .f(0) =0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.f(x)满足的关系f(a+x) =2 .函数f(x)满足的关系f(a+x) = f(b x)表明的是函数图象的对称性，函数f (b+x)( aw b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【核心素养提升】【数学运算】一一活用函数性质中“三个二级”结论 类型1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定

24、义在区间D上的奇函数，则对任意的xCR都有f(x)+f(x) = 0.特别地，若奇函数f(x)在 D 上有最值，则 f(x)max+ f(x)min=0,且若 0 C D,则 f (0) = 0.(x+ 1) 24 sin x【例1】 设函数f(x) = -x2的最大值为 M最小值为m则 超m=【解析】显然函数f(x)的定义域为R,f (x)=(x+ 1) 2+ sinx2+ 12x+ sinx2+ 1设 g(x) =2x：i：X,则 g(x)= g(x),x i 11 g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x) max+ g(x) min= 0,MH m= g( x) + 1 max+

25、 g( x) + 1 min = 2 + g( x) max+ g( x) min = 2.类型2抽象函数的周期性如果f(x+a) = f (x)( aw0),那么f(x)是周期函数，其中一个周期T= 2a.,1(2)如果f(x+a) =7VV( a* °)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T= 2a.f ix;(3)如果f(x+a)+f(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T= 2a.【例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，有f(x+ 3) = f(x),且当xC (0, 3)时，f (x)= x+1,则 f(2 017) +f

26、(2 018)=()A.3B.2C.1D.0【答案】 C【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以 f (-2 017) =-f (2 017),因为当 x>0 时，有 f (x+3) =- f (x),所以f (x + 6) =f(x+3) = f (x),即当x>0时，自变量的值每增加6,对应函数值重复出现一次又当 xC (0, 3)时,f(x) =x+ 1,，f(2 017) =f (336X6+ 1) = f (1) =2,f(2 018) =f (336X6+ 2) =f(2) = 3.故 f(2 017) +f(2 018) =- f(2 017) +3=1.

27、类型3抽象函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数.，八 -, a+ b , , 4(1)右f(a+x) =f(bx)恒成立,则y=f (x)的图象关于直线 x = -2一对称，特另J地，右f(a+ x) = f(a x) 恒成立，则y=f (x)的图象关于直线 x= a对称.(2)若函数 y=f(x)满足 f(a+x) + f(a x)=0,即 f (x) = - f (2 a - x),则 f(x)的图象关于点(a, 0)对称.【例3】(2019 日照调研)函数y = f(x)对任意xC R都有f(x + 2) =f (x)成立，且函数 y=f(x1)的图 象关于点(1, 0)对称

28、，f(1) =4,则 f(2 016) +f(2 017) +f(2 018)的值为.【答案】4【解析】因为函数y=f(x1)的图象关于点(1, 0)对称，所以函数y = f(x)的图象关于(0, 0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，f (x+2) = f(x),所以 f(x+4) = f (x+2) = f (x),故 f (x)的周期为 4.所以 f(2 017) =f(504X4+ 1) =f(1) =4,所以 f(2 016) +f(2 018) =- f(2 014) +f(2 014+4)=-f(2 014) +f(2 014) =0,所以 f(2 016) +f(2 017)

29、+f(2 018) =4.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019 玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在 (0, 1)上单调递增的函数是()3A. y= 110g 3x|B.y=xC.y=e|x|D.y=cos | x|【答案】C【解析】对于A选项，函数定义域是(0, +oo),故是非奇非偶函数，显然 B项中，y=x3是奇函数.对于C选项，函数的定义域是R,是偶函数，且当 xC(0, +8)时，函数是增函数，故在 (0, 1)上单调递增，正确 对于D选项，y=cos | x|在(0 , 1)上单调递减.2 .( 一题多解)(2019 河北“五个一”名校联盟二

30、模 )设函数f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x) =则 g(8)=(log 3 (x+ 1) , x> 0,g( x)，x<0，A. 2B. 3C.2D.3【解析】法一 当x<0时，一x>0,且f(x)为奇函数, 则 f ( - x) = log 3(1 -x),所以 f(x) = - log 3(1 x).因此 g(x) = log 3(1 x) , x<0,故 g( 8) = log 39= 一 2.法二由题意知，g( - 8) = f(-8) = -f(8) =一log 39= 2.3 .已知f (x)在R上是奇函数，且满足 f(x+4)=f(x),

31、当xC(2, 0)时，f(x)=2x：则f(2 019)等于()A. 2B.2C. 98D.98【答案】 B【解析】 由f(x+4) =f(x)知，f (x)是周期为4的函数，f (2 019) =f (504X4+ 3) =f(3),又 f(x+4)=f(x), f(3) =f(-1),由一1C ( 2, 0)得 f( 1) = 2,.f (2 019) =2.4 .( 一题多解)(2017 天津卷)已知奇函数 f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a = g( log 25.1) , b= g(20.8), c=g(3),则 a, b, c 的大小关系为()A. a<b&l

32、t;cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a【答案】 C【解析】法一 易知g(x) = xf(x)在R上为偶函数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f (0) = 0. g(x)在(0 , +8)上是增函数.又 3>log 25.1>2>2 0.8,且 a= g( log 25.1) = g(log 25.1),，g(3)> g(log 25.1)> g(2 0.8),则 c>a>b.法二 (特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x 【答案】",1 为偶函数且在(0, +8)上单调递增，又 3>

33、log25.1>2°.8, 从而可得c>a>b.5.(2019 山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在1 , +8)上单调递减，且f(x+ 1)是偶函数，不等式f(mH 2)>f(x-1)对任意的xC1, 0恒成立，则实数 m的取值范围是()A. 3, 1B. 4, 2C.(巴3 U 1 , +oo)D.(巴4 U 2 , i)【答案】 A【解析】因为f(x+1)是偶函数，所以f ( x+1) =f (x+1),所以f(x)的图象关于x= 1对称，由f(m2 ) > f(x1)得 |( m+ 2) -1| <|( x-1)-1|

34、 ,即 | m+1| < | x-2| 在 x -1, 0恒成立，所以 | m+1| < | x- 2| min,所以 | m+1| <2,解得一3W me 1.二、填空题6 .若函数f (x) =xln( x + 4a+x2)为偶函数，则a=.【答案】1【解析】f(x)为偶函数，则y=ln( x+-'a+xj为奇函数,所以 ln( x+ a+ x2) + ln( -x+ y a + xj = 0, 则 ln( a+x2x2) = 0,a= 1.v57 .若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0Vx<1时，f(x)=4,则f -2 +f(2) =.【答

35、案】2【解析】:“*)是定义在R上的奇函数，f(0) =0,又f(x)在R上的周期为2,.f (2) =f(0) =0.5111又 f 2=f _2=_f2= _ 42=2,5. .f -2 +f (2) =- 2.8.设函数f(x)=ln(1 +|x|)不,则使得f (x) >f (2x1)成立的x的取值范围是1+x【解析】f (x) > f (2 x - 1)即为 f (| x|) >由f(x)=ln(1 +|x|) 1 2,知f(x)为R上的偶函数，于是 1 I xf(|2 x-1|).当 x>0 时，f(x) = ln(1 + x) - J 2,所以 f (x)

36、为0 , +8)上的增函数，则由 f(| x|) >f (|2 x - 1|)得| x| 1 x>|2x1,两边平方得 3x2 4x+1v0,解得1vx1.3三、解答题x2 + 2x, x>0,9 .已知函数f(x)= 0, x=0,是奇函数.x2+ mx, x<0(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1, a 2上单调递增，求实数 a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设x<0,贝U x>0,所以 f ( x) = ( -x) 2+ 2( -x) = - x2-2x.又f(x)为奇函数，所以f ( - x) =- f (x).于是 x<0

37、 时，f (x) =x2+ 2x = x2+ mx所以m= 2.(2)要使f(x)在1, a2上单调递增，a 2> 1,结合f(x)的图象知所以1<aw3,a-2<1,故实数a的取值范围是(1 , 3.3310 .设函数f(x)是定义在R上的奇函数，又任意实数x都有f 2 + x =-f 2-x成立.(1)证明V= f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1) =2,求 f (2) +f(3)的值；(3)若g(x) = x2+ax+ 3,且y= | f (x)| g(x)是偶函数，求实数 a的值.【答案】见解析一一 .33【解析】(1)由f 2+x =f 2x ,33

38、且 f( x) = f(x),知 f (3 + x) = f 2+ 2+x =33-f 2 2+ x = f( x) =f (x),所以y=f(x)是周期函数，且 T= 3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f (0) =0,且 f( 1) = f(1) = 2,又 T= 3 是 y = f (x)的一个周期，所以 f (2) + f (3) =f( -1) +f (0) =- 2+0=-2.(3)因为y= | f (x)| g(x)是偶函数,且|f(x)| =| f(x)| =|f(x)| ,所以 |f(x)| 为偶函数.故g(x) =x2+ax+3为偶函数,即g( x

39、) =g(x)恒成立,于是(x) + a( x) + 3= x + ax+ 3 恒成立.于是2ax=0恒成立，所以a= 0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11. (2019 石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0, +8)上单调递增，且 f(i) =0,若f(x1)>0,则x的取值范围为()A. x|0< x<1 或 x>2B. x| x<0 或 x>2C. x| x<0或 x>3D. x| x<1 或 x>1【答案】 A【解析】由题意知函数f(x)在(8, 0)上单调递增，且f( 1)=0,不等式 f (x1)>0? f

40、 (x-1)>f (1)或 f(x 1)>f ( 1).1. x- 1>1 或 0>x 1>- 1,解之得x>2或0<x<1.12.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+ 2) =-f(x),且在0 , 1上是减函数，则有()3A.f 2 <f1-4<f1B.f 二 <f414<fC.f<f14<fD.f-<f - <f -424【解析】由题设知：f (x) =f (x2) = f (2 x),所以函数f(x)的图象关于直线 x= 1对称；函数f (x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在0, 1上是减函数，所以f(x)在1, 0上也是减函数，综上函数 f (x)在1, 1上是减函数;331又 f 2 =f 2 2 =f