中考数学之压轴题精选(共30题人教版含答案)

1、从A点出发向 同时停止运动 以QM；斜边, 假设P点运动到 刻t的值.解：(1):抛物线y=m-1x2+5mxm2-3m+2 经过原点,ni-3m+-2=0,解得 m=1, m=2,由题意知mi,m=2,抛物线的解析式为 y=-1x2+5x,42;点B(2 , n)在抛物线y= 一 1x2+5x上,42n=4,B点的坐标为(2 , 4).(2)设直线OB的解析式为y=kx,求得直线x轴的一个交点,可求得 A点的坐标为(10 , 0),设P点的坐标为(a, 0),那么E点的坐标为(a, 2a),根据题意作等腰直角三角形PCD如图1.可求得点C的坐标为(3a, 2a),由C点在抛!物线上,得2a=

2、 m(3a)M3a,即a a=0,解得a1= ,a2=0(舍去),42429-22OP:.9依题意作等腰直角三角形 QMN设直线AB的解析式为y=kzxW,由点A(10 , 0),点R2 , 4),求得直线 AB的解析式为y= - x5,当P点运动到t秒时,两个等腰直角三2角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况：第一种情况：CD NQ在同一条直线上.如图2所示.可证 DP泌等腰直角三角形.此时 OP DP AQ的长可依次表示为t、4t、1、(2021北京)在平面直角坐标系 xOy中,抛物线y= _ m _1 x2+5m x+n2_3mn2与x轴的交点分别为原点 O和点A,点R2,

3、 n)在这条抛物线上.(1)求点B的坐标；(2)点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过 P点作x轴的垂线,与直线 OB交于点E.延长PE到点D,使得E®PE以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形 PC口当P点运动时, C点、D点也随之运动)当等腰直角三角形 PCM顶点C落在此抛物线上时,求 OP的长；假设P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒 1个单位,同时线段 OA上另一 点QO点作匀速运动,速度为每秒 2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也 ).过Q点作x轴的垂线,与直线 AB交于点F.延长QF到点M使得FM=QF 在QM勺左侧作等腰直角三角形 QMN当Q点运动时,M点

4、,N点也随之运动).求此t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,102t 个单位.PQ=DP=4t , . t Mt 42t =10, . . t =20.7第二种情况：PC与MN同一条直线上.如图3所示.可证 PQM等腰直角三角形.此时 OP AQ的长可依次表示为t、2t个单位.,O=10/t ,F 点在直线 AB上,FQ=t, . MQ2t , . PQ=MQCQ=2t,.t 42t 42t=10, t=2o第三种情况：点 P、Q重合时,PD QMB同一条直线上,如图4所示.此时 OP AQ勺长可依次表示为t、2t个单位.,t+2t =10,. t=10 t - O

5、3综上,符合题意的t八,10值分另IJ为10 , 2,72、 2021 北京问题： ABC4当/BAG90时,请你画出图形,研究 ZDBCW/ABC度数的比彳1是否与1中的结论 相同,写出你的猜测并加以证实., /BAB2/ACB 点 D 是ABC的一点,且 AD=CD BD=BA探究.DBC与.ABCS数的比值.请你完成以下探究过程：先将图形特殊化,得出猜测,再对一般情况进行分析并加以证实.（1） 当/BAG90时,依问题中的条件补全右图. 观察图形,ABWAC的数量关系为 当推出/DAC15可,可进一步推出/DBC勺度数为 ;可得到/DBCf/ABC®数的比值解：1相等；15 1

6、 1: 3.2猜测：ZDBCW/ABC®数的比值与1中结论相同.证实：如图2,作/KC盒/BAC过B点作BK/ AC交CK于点K, 连ZDK NBAC90 口,.四边形 ABKC是等腰梯形, CKAB, DGDA /DCA/DAC NKCA/BAC /KCB/3, .KCK BAD/2=/4, KD=BD,KD=BD=BA=KG = BK/ AC ,/ACB=/6,. /KCA2/ACB,/5=/ACB,/5=/6, . . KGKR . KD=BD=KB /KBB60 0, / ZACB=Z6=60°Z1, /BAG2/AC自120 -2/1, Z1 +(60 21)*1

7、20 °-2Z1) +Z2=180口,/2=2/1, /DBCW/ABC®数的比值为 1: 3.3、2021郴州如图1,抛物线y =x2+x4与y轴交于点A, E 0, b为y轴上一动点,过点E的直线y=x+b与抛物线交于点 R C1求点A的坐标；2当b=0时如图2 , |_ABE与|_ACE的面积大小关系如何？当 b>4时,上述 关系还成立吗,为什么？3是否存在这样的b,使得LBOC是以BC为斜边的直角三角形,假设存在,求出b；假设不存在,说明理由.图1图2第26题解：1将x=0,代入抛物线解析式,得点 A的坐标为0, 4y=xx1 = 2x2 = -22当b= 0

8、时,直线为y=x,由！ 2 解得W Wy 二x x-4yi =2 丫2 - -2所以R C的坐标分别为2, 2 , 2, 2c1cc1CSabe =2父4M2=4, Sace=M4M2 = 4所以Sabe =S_ACE 利用同底等高说明面积相等亦可当bY时,仍有Sabe=Sace成立.理由如下y 二 x by = x2 x-4为二、b 4y1 = 一 b 4 by2二- b 4-b 4 b所以 R C的坐标分别为( Vb+4, Jb+4+b) , ( Jb+4 , Jb + 4+b),作BF_Ly轴,CG_Ly轴,垂足分别为 F、G贝U BF =CG = Jb +4 , 而Labe和Lace是

9、同底的两个三角形,所以 S ABE - S ACE .3存在这样的b.由于 BF = CG, BEF = CEG,. BFE = CGE = 90所以VBEF "CEG ,所以BE =CE ,即E为BC的中点所以当OE=CE时,|_OBC为直角三角形,由于 GE = 后而+b b = Jb,4 = GC所以 CE = 2 . £-%,而 OE = b所以短Vb+4 = b ,解得匕=4, b2 = 2 ,所以当b = 4或一2时,A OBCz直角三角形.4、2021滨州如图,四边形 ABC比菱形,点D的坐标是0, J3,以点C为顶点的抛物线y2=ax + bx + c恰好经

10、过x轴上 A B两点.(1)求A B、C三点的坐标;(2)求过A、B C三点的抛物线的解析式;3假设将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位解:解：由抛物线的对称性可知 AM=BM在 RtAAOM RtABMO, < OD=MC AD=BC. .AO国 BMC OA=MB=MA设菱形的边长为 2m,在RtAOD中,m2 +(v3)2 =(2m)2,解得 m=1.DC=2 OA=1, OB=3A、B C三点的坐标分别为1,0、 3, 0、 2, J3设抛物线的解析式为y=a x2 2+j3代入A点坐标可得a=- 73抛物线的解析式为y=J3

11、 x2 2+J3设抛物线的解析式为 y=,3 (x 2) 2+k,代入D (0,4)可得k=5j3所以平移后的抛物线的解析式为y= J3 ( x 2) 2+5仙,平移了 5<3 - 33 =43 个 单位.5、(2021长沙)：二次函数 y =ax2+bx 2的图象经过点(1, 0), 一次函数图象 经过原点和点(1, b),其中abA0且a、b为实数.(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示)；(2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1 x2|的范围.解：(1) 一次函数过原点.设一次函数的解析式为y=kx:一次函数过

12、(1, b)y=- bx(2) y=ax2+bx2 过(1, 0)即 a+b=2y = -bx2由 «得 ax +2(2 -a)x 2 = 0y =(2 -b)x2 bx-2224(2 -a) 8a =4(a -1)12 0方程有两个不相等的实数根,方程组有两组不同的解 ,两函数有两个不同的交点.(3) ,一两交点的横坐标x1、x2分别是方程的解一 "2 =4=2a a2x1 x2 二 ax -x2=J(x1 +x2)2 4x1x2 =4a2-8a 16(1-1)2+3或由求根公式得出.a>b>0, a+b=2,2>a>1人一,4.2.令函数y =(

13、-1)2 3 ,在1<a<2时y随a增大而减小.a4<(4-1)2 +3 <12 . . 2 <J(- -1)2 +3 <273. . 2<| -x2 < 2V36、(2021长沏 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC勺两边分别在x轴和y轴上,OA=8j2 cm, OC=8cm现有两动点 P、Q分别从O C同时出发,P在线段OA±?OA方向以每秒 近 cm的速度匀速运动,Q在线段CO±?gCO方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运 动时间为t秒.(1)用t的式子表示 OPQ勺面积S;(2)求证：四边形 OPBQJ面积是一个定

14、值,并求出这个定值；(3)当OPQf PABDaPBlf似时,抛物线 y =1x2+bx+c经过B、P两点,过线段4BP上一动点 M作y轴的平行线交抛物线于 N,当线段 MN的长取最大值时,求直线 MN 把四边形OPB成两局部的面积之比.解：(1) . COt, OP=T2t, CG8.OQ8t Six opq= 1(81)|_万=诋t2+4后(0vtv8) 22(2) S 四边形 OPB* S 矩形 ABCD & PAB- S CBQ=8 m 8 2z8 V2t 5 M 8 父(8 x/2V2t)= 32 V2,四边形OPBQ勺面积为一个定值,且等于 32 . 2(3)当 OPQf

15、PA丽 QPBK似时, QPB5须是一个直角三角形, 依题意只能 是/ QPB= 90°又BQ与AO平行,/QP5可能等于/ PQB /APM可能等于/ PBQ,根据相似三角形的对应关系只能是OP小 PB6 ABP,军得:t=48、2 - 2t 8经检验：t = 4是方程的解且符合题意(从边长关系和速度)此时 P (4.2, 0)B ( 8J2 , 8)且抛物线y =1x2+bx+ c经过B、P两点,4抛物线是 y =1x2 2j2x+8,直线 BP是：y=J2x 84设 M (m)拒m8)、N( m 1m2272m+8)4. M在 BP上运动. . 4 J2 <m <8

16、72必=1x2 -2&x+8与、2 = J2x8交于P、B两点且抛物线的顶点是 P4当 4瓶 <m <872 时,y1 > y2 MN|= y1 -y2 = 1(m6&)2+2 .当 m=6衣时,MM最大值是 24,设 MNW BQ交于 H 点那么 M (6衣,4)、H (672,7)S BH归 (2)8Ace=2 8Abef, 3 2 2 = 3.22. 8a BHM : S五边形QOPMk 372 : (32 点-372) =3:29,当MNX最大值时两局部面积之比是3: 29.1 O7、(2021吊德)如图9,抛物线y= x +bx+“f X轴交于点A

17、(-4, 0)和B (1, 0)2两点,与y轴交于C点.(1)求此抛物线的解析式;(2)设E是线段AB上的动点,作EF/ AC交BC于F,连接CE,当|_CEF的面积是BEF面积的2倍时,求E点的坐标;(3)假设P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过 P作y轴的平行线,交 AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时 P点的坐标.A(Y,0)、B(1,0)两点可得:解：(1)由二次函数y1 2-x +bx+c与x轴父于 2；(£ 一4b c=0,1 2 ,-12 +b +c =0.L 2解得:c = -2.故所求二次函数的解析式为1 2 y =_ x2+3x -2zv

18、 J .2BF 1 BFCF 2' BC 31 万, b = -2.1故直线AC的斛析式为y=x2 一,一,1 2-2 .假设设P点的坐标为.a,5a+ t.2 I2. EF/ AC /BEF =/BAC, /BFE =/BCA , BEF-ABACBE BF 15 2=得BE=,故E点的坐标为(一 ,0).BA BC 3333解法一：由抛物线与 y轴的交点为C ,那么C点的坐标为0, -2.4 ,一,-2=0 b, .假设设直线AC的解析式为y=kx+b,那么有/解得:0 = 4k b.1又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线 AC的交点,那么Q点的坐标为a,-1a-2.那么入1 23

19、11 2有：PQ =-(a2 +a -2) (a2) = a2 -2a222212=a 222即当a=2时,线段PQ取大值,此时P点的坐标为(2, 3)解法二：延长 PQ交x轴于D点,那么PD1AB .要使线段PQ最长,那么只须 APC的 面积取大值时即可.设P点坐标为(x0, y0) ,贝U有： S|_APC = S_ADP ' S梯形 DPCO - S_ ACO11 -1 - AD PD (PD OC) OD OA OC2221c1c1, c=_ x0y012yo2 11y02 i I% _24 22y° x -'41 23-2 2x0 2x0 一2-Xo - 4

20、、/x 0 一 4x022=-x 0 24即=2时, APC的面积取大值,此时线段 PQ最长,那么P点坐标为-2, -38、2021常德如图10,假设四边形ABCD四边形CFECO是正方形,显然图中有 AG=CEAGL CE.1当正方形 GFEEg D旋转到如图11的位置时,AG=CE!否成立？假设成立,请给出证实;假设不成立,请说明理由2当正方形 GFEDg D旋转到如图12的位置时,延长 CE交AG于H,交AD于M.求证：AGL CH;当AD=4 DG=.,2时,求 CH的长.8即也;_3一44 103410 AH =5解：1 AG=CE 成立.丁四边形 ABCD、四边形 DEFG是正方形

21、, GD=DE,AD=DC, Z GDE =Z ADC =90©./ GDA=90 -/ ADE=/ EDC .AGD aA CED . . AG =CE .2类似1可得 AGD 三 CED,/1 = /2又HMA = /DMC. AHM =/ ADC = 90,即 AG _CH.解法一：过G作GP _L AD于P,由题意有 GP =PD =J2xsin45* = 1 ,AP =3 ,那么 tan / 1= GP =-AP 3.而/ 1 = Z 2,tan / 2= DM- = tan Z 1 = 1.DC348DM =-,即 AM =AD -DM =-.33在 Rt ADMC 中,

22、CM = JCD2 +DM 2 = ；42 +0 ； = 4M ,33AH AM而 MMH s ACMD , =再连接AC ,显然有AC =4好,CH =依中=,4旄2一屈=等.所求CH的长为殳蛆.5解法二：研究四边形ACD弼面积,过G作GP_LAD于P, 由题意有 GP =PD =J2xsin45O =1 , AP=3,AG =屈.而以CD为底边的三角形 CDG勺高=PD=1,S|_AGD S_ACD = SI边形 ACDG = S_ ACG DC CM_ CGD,.-4X 1+4X4=710 X CH+4 X 1. CH =8门° .59、2021丹东如图,等边三角形 ABC4点

23、D, E, F分别为边AB, ACBC的中点,M为直线BC上一动点, DMM等边三角形点 M的位置改变时,4DMN也随之整体移动1如图,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MFW怎样的数量关系？点 F是否在直 线NE上？邢阿直, 写出结论,不必证实或说明理由；2如图,当点 M在BC上时,其它条件不变,1的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？假设成立,请利用图证实；假设不成立,请说明理由；3假设点M在点C右侧时,请你在图中画出相应的图形,并判断1的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立 ？假设成立？请直接写出结论,不必证实或说明理由.图图D-图解：1判断：EN MF相等 2成立.证实：法一：连

24、结DE DF.ABB等边三角形,或EN=MF,点F在直线NE±,.ABAGBC又 D, E, F是三边的中点,第25题图.DE DF, EF为三角形的中位线.DE=DF=EF, / FD心60.又/ MDF/ FDN=60 ,/NDE/FDN=60 ,MDFZ NDE在4DM群口 DNE, DF=DE DMDN / MDE/NDE . DM屋 DNEMF=NEA法二：延长EN那么EN±点F.又. . D, E, F是三边的中点, ABB等边三用形,MAAGBC cEF=DF=BF. / BDM/MD=60 , /FDM/MDF60 , / BDM/FDN 又 DMDN Z

25、ABIMZ DFN=60 ,.DB陲 DFfN . . BM=FN . BF=EF,. .MF：EN法三：连结DF NF . ABB等边三角形, . AOBOAC1 _1又. D, E, F是三边的中点,DF为三角形的中位线,DF=-AO-AB=DB2 2又/BDM/MDF60 , ZNDF+Z MDF60 , / BDIMZ FDN 在 DBM口 DFN43, DF=DBDMDN /BDM/NDF . .DB阵 DFN.Z B=Z DFI460 .又DEF是 ABC边中点所构成的三角形,./DFE=60° . .可得点 N在 EF上, .MF=EN(3)画出图形(连出线段 NE ,

26、MF与EN相等的结论仍然成立(或 MF:NE成立).10、(2021丹东)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形 b OMNH点H的坐标C (8, 0),点 N 的坐标为(6, -4).(1)画出直角梯形 OMNH点O旋转180°的图形OABC并写出顶点 A, B, C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为.；(2)求出过A, B, C三点的抛物线的表达式；(3)截取CE=OF=AG3且E, F, G分别在线段 CO OA AB上,求四边形 BEFG勺面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围；面积 S是否存在最小值？假设存在,请求出这个最小值；假设不存在,

27、请说明理由；(4)在(3)的情况下,四边形 BEFG1否存在邻边相等的情况,假设存在,请直接 写出此时m的值,并指出相等的邻边；假设不存在,说明理由.解：(1)利用中央对称性质,画出梯形. A, B, C三点与 M N, H分别关于点OABCO中央对称,H一 8 .A (0, 4) , B (6, 4) , C (8, 0)(2)设过A, B C三点的抛物线关系式为y=ax2+bx + c,2y = ax + bx + 4 .;抛物线过点 A (0, 4) , c=4.那么抛物线关系式为将B (6, 4) , C (8, 0)两点坐标代入关系式,得36a 6b 4 =4心,解得64a 8b 4

28、=0.a4 ,所求抛物线关系式为:biy =x2/x + 4.42- S/x EOF - SA BEC(3) . OA=4, Q(=8,AF=4-m一§3边形 EFGB = S梯形abcO - SAAGF1111=OA(AB-OQ -AF- AG-OEE- OF-CEE- OA 22221.-1,、 1 _、 1.=_ x4 x(6 +8) m(4 -m) m(8 -m) 一一 乂 4m 2222=m2 -8m +28( 0 v m v 4)2 S =(m4)2+12 . 当 m = 4时,S的取最小值.又0v rk4,不存在 m值,使S的取得最小值.(4)当 m = 2+2*时,G

29、B=GF 当 m = 2 时,BE=BG11、(2021德化)如图1,抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCM顶点A与点O重合,AR AB分另在x轴、y轴上,且AD=2, AB=3. (1)求该抛物线的函数关系式；(2)将矩形ABCDa每秒1个单位长度的速度从图 1所示的位置沿x轴的正方向匀速平 行移动,同时一动点P也以相同的速度 从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时 间为t秒(0W t w 3),直线AB与该抛物线的交点为 N (如图2所示). 当t=5时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由； 2设以P、Z C、D为顶点的多边形面积为 S,试问S是否存

30、在最大值？假设存在, 求出这个最大值；假设不存在,请说明理由.解：(1) y - -x2 4x(2)点P不在直线MEh;依题意可知：P(t,t), N (t, _t2+4t)当0vtv3时,以P、N C、D为顶点的多边形是四边形 PNCD依题意可得:S = S；pcd - S；pnc11c. 2= -CD OD + lpN BC= 3 2+ t 4t-1 2=-t 3t 32222= -(t-3)224抛物线的开口方向：向下,当t=3,且0vtvE <3时,S最大=21224当t =3或0时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形1 一 1 一一依也忌可信,S = 2

31、 s矩形abcd=2 2 3=321综上所述,以 P N、C D为顶点的多边形面积 S存在最大值 21 .412、( 2021德州)二次函数y =ax2 +bx +c的图象经过点 A(3 , 0) , R2 , -3) , C(0 , -3).(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段 BC向C点运动,点Q从O点出发以 相同的速度沿线段 OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设 运动时间为t秒.当t为何值时,四边形 ABPCM；等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为 M过M点作x轴的平行线交 AB于点N,设四边形ANPQJ面 积为

32、S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出 t的取值范围；当t为何值时,S有最 大值或最小值.解：(1),二次函数 y = ax2 +bx +c 的图象经过点 C(0 , -3) ,c =-3 .2将点 A(3 , 0) , B(2 , -3)代入 y =ax + bx + c 得0 =9a +3b-3, -3=4a+2b-3.解得:a=1, b=-2.y =x2 -2x -3 .配方得：y = (x-1)2 -4,所以对称轴为 x=1.(2)由题意可知：BP= OQ=0.1t.点B,点C的纵坐标相等,BC OA过点B,点P作BDL OA P红OA垂足分别为 D, E.要使四边形ABPQ;等腰

33、梯形,只需 PQ=AB即 QEAD=1 .又 QE=OE- OQ(2-0.1 t )-0.1 t =2-0.2 t . 2-0.2 t =1.解得t=5.即t=5秒时,四边形 ABPQ等腰梯形.设对称轴与BC x轴的交点分别为 F, G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,BF=CF=OG=1.又 BP=OQ PF=QG 又PMF/QMG ./ MF匡 MGQ .Mf=MG,点 M为 FG的中点,S=Sg边形 ABPQ - S作PN,1A- 9二S 四边形 ABFG - SBPN ,由 S 四边形 ABFG (BF AG)FG = -2c 11S bpn bp FG =223 一 93 一一t

34、.S=t ,又 BO2, O禽3,402 40点P运动到点C时停止运动,需要 20秒.0<tW20.当t=20秒时,面积 S有最小值3.13、(2021东阳)如图,P为正方形 ABCD的对称中央, A (0, 3) , B(1, 0),直线 OP交AB于N, DC于M点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点R从O出发沿OMT向以、吃个单位每秒速度运动,运动时间为 t o求:(1) C的坐标为(2)当t为何值时, ANOW DM符目似?(3) HCR1积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值.解：(1) C (4 , 1

35、 );(2)当/ MDR= 45°时,t= 2,点H (2, 0)当/ DRIM= 45° 时,t = 3,点H ( 3, 0)1, 1,(3) S = - t +2t (0vtW4) ; (1 分)S= t - 2t (t>4)1339当 CR/AB 时,t= 4 , S= 32当 AR / B C 时,t =11当 BR/AC 时,t =3,1814、 (2021恩施)如图11,在平面直角坐标系中,二次函数y =x2+bx+ c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C(0, -3) 点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点

36、.(1)求这个二次函数的表达式./(2)连结PO PC并把 POg CCO折,得到四边形 POPC,那么是否存在点 P,使/四边形POP C为菱形？假设存在,请求出此时点P的坐标；假设不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC勺面积最大并求出此时 P点的坐标和四边形ABPC勺最大面积.解：(1)将B、C两点的坐标代入得 13b c =0解得:c - -3b = 2c - -3所以二次函数的表达式为：y =x2 -2x-3/(2)存在点P,使四边形POP C为菱形.设P点坐标为(x, x 2x3),PP/交CO于E,假设四边形POP C是菱形,那么有 PC= P0./.3c

37、连结 PP 贝U PE!COT E, OE=EC万y = _3 .2-l x2 - 2x - 3 = _322102 - 10解得x1=20, x2=2以(不合题意,舍去)22.P点的坐标为(A'10 , _3) 22(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q与OB交于点F,设P (x,x2 - 2x-3),易得,直线BC的解析式为y=x-3 那么Q点的坐标为(x, x3)Sra边形 ABPC = S . ABCS . BPQScpq1_1 _1 _二AB OC QP OE QPEB11= -4 3(222-x 3x) 322375x - -3当*=一时,四边形ABPC勺面积最大 2此时

38、P点的坐标为 -；,四边形ABPC勺 2,4面积的最大值为75.815、(2021广安)如图,直线 y = -x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点 A(-1, 0)、B(3, -4). (1)求抛物线的解析式；(2)动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于 点E,求线段PE长度的最大值；(3)当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q使 PCQ是以PC为直角边的直角三角形 ？假设存在,请求出Q 点的坐标；假设不存在.请说明理由.一,一,a b 4 =0解：(1)由题知3,解得a=1, b= -3,9a +3b 4 =T,抛物线解析式为 y=x2-3x-4(2)设点

39、P 坐标(m,-m-1),那么 E 点坐标(m, m 2-3m-4) .线段 PE 的长度为：-m-1-(m 2-3m-4)= -m 2+2m+3 = -(m-1) 2+4由二次函数性质知当m=1时,函数有最大值 4,所以线段PE长度的最大值为4.(3)由(2)知 P(1, -2)过P作PC的垂线与x轴交于F,与抛物线交于 Q,设AC与y轴交于G那么G(0, -1) , OG=1又可知A(-1, 0)那么OA=1,. OA%等腰直角三角形,二./ OAG=45. PAF是等腰直角三角形,由对称性知F(3, 0)设直线PF的解析式为y=k1x+b1,那么" 0 ,解之得 k1=1, b

40、 1= -3,直线 PF为 y=x-3R +0 = -2由；y=x13解得产=2：«产=2一,5y =x2 -3x -4y1 =V5 -1y =-* -1. .Q(2+、5 ,.5 -1) Q 2(2- .5 , - , 5-1)7k2 +b2 =0 -3k2 +b2 =Y过点C作PC的垂线与x轴交于H,与抛物线交点为 Q,由/HAC=45,知ACH是等腰直角 三角形,由对称性知 H坐标为(7, 0),设直线CH的解析式为y=k2x+b2,那么,解之得k2=1, b 2= -7,直线CH的解析式为y=x-7X1 =1 X2 =3 y1 = -61 y2 =u解方程组3y =X17得y

41、 =x 3x -4当Q(3,-4)时,Q与C重合, PQ5存在,所以 Q点坐标为(1, -6)综上所述在抛物线上存在点Q(2+<5, 卢-1)、Q(2-V5,- /-1)、Q(1,-6) 使得 PCQ是以PC为直角边的直角三角形.16、(2021广州)如图,O O的半径为1,点P是.O上一点,弦 AB垂直平分线段 OP点D 是AB上任一点(与端点 A、B不重合),DH AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径 作.D,分别过点 A B作.D的切线,两条切线相交于点 C.(1)求弦AB的长；(2)判断/ AC盟否为定值,假设是,求出/ ACB勺大小；否那么,请说明理由；(3)记 ABC勺面积

42、为S,假设 E =473 ,求 ABC勺周长.DE解：(1)连接 OA取OP与AB的交点为F,那么有OA= 1. .弦 AB垂直平分线段 OP OF= 1 OP= 1 , AF= BF. 22在 RtAOAF, , AF= JOA2 -OF 2 = / 一；2 = , ：. AB= 2AF= 33 .2 / AC配定值.理由：由1易知,/ AO屋120° ,由于点D为 ABM内心,所以,连结 AD BD那么/ CAB= 2/DAE / CBA= 2/DBA1由于/ DAEF / DBA= - Z AOB= 60 ,所以/ CABF / CBA= 120 ,所以/ ACB= 60 ;

43、2(3)记 ABC勺周长为l ,取AC BC与O D的切点分别为 G H,连接DG DC DH那么有 DG= DH= DE DG_ ACDHL BCS - S ABD . S ACD=Iab?2DG= 1 (AB+ BC+ AC ? DE= 1 l ?DEl = 873 DE. S =4币,DE1 l|_DE _-2 = 4 .3 ,DE2. CQ CHOD的切线,GC吩ZACB30 ,在 RtACGD, CG= -DGtan 30DE = 73 DECH= CG >/3 DE3317、又由切线长定理可知 AG= AE, BH= BE.l =AB+ BO AC 2 73+ 2J3DE=

44、8 质 DE 解得 DE= 1 ,3.ABC勺周长为8£ .32021广州如下图,四边形 OABO矩形,点 A C的坐标分别为点D是线段BC上的动点与端点B、C不重合,过点D作直线y3, 0) , (0,=-x + b交2折线(1)(2)OABF点 E.记 ODE勺面积为S,求S与b的函数关系式;当点E在线段OA上时,假设矩形OABCi于直线DE的对称图形为四边形 OABC,试探究OABC与矩形OABC勺重叠局部的面积是否发生变化,假设不变,求出该重叠 局部的面积；假设改变,请说明理由 .1 < b< -,如图 25-a, 2解：1由题意得B 3, 1.假设直线经过点A

45、(3, 0)时,那么b=-假设直线经过点B (3, 1)时,那么b=-假设直线经过点C 0,1时,那么b=1假设直线与折线OAB勺交点在OA上时,即 V此时 E (2b, 0)- 11 , . S= - OE, CO= x 2bx 1 = b22C-DBXbE-o图2_3此时 E (3, b ) , D (2b2, 1)2 S= S 矩(SaocdF Sxoae + Sxdbe)=3 1 (2b 1) X 1 + 1 X (5 2b) ( 5 b) + 2221b1心| S =(|5.23.5b-b <b<_1222(2)如图3,设OA与CB相交于点 M OA与C1B相交十点1 的

46、重叠局部的面积即为四边形DNEMJ面积.此题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ n y TC1J、H N EA.xO/ A1 ' ,图3B：x135. . 2x3(b ) = - b b222N,那么矩形OABC与矩形OABC假设直线与折线 OAB勺交点在BA上时,即3vbv5,如图222AV由题意知,DM/ NE DIN/ ME,四边形DNE如平行四边形根据轴对称知,/ MED= /NED又/ MD£ / NED -'/ MED= / MDE,MD= ME,平行四边形 DNEM?菱形.过点D作DHL OA垂足为H,1由题易知,tan/DEN=°, D

47、H= 1,HE= 2,2设菱形DNEM勺边长为a,5那么在 RtADHMfr,由勾股定理知：a2 =(2 -a)2 +12 ,a = 545 S 四边形 DNEM= NE- DH=4, 5.矩形OABC与矩形OABC勺重叠局部的面积不发生变化,面积始终为 -.418、(2021桂林)如图,过A(8, 0)、B (0, 873)两点的直线与直线 y = J3x交于点C.平行于y轴的直线l从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿 x轴向右平移,到 C点时停止；l分别交线段BC O什点D E,以DE为边向左侧作等边 DEF设 DEF与 BCOt叠局部的面积为 S (平方单位),直线l的运动时间为t

48、(秒)(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;(2)求S与t的函数关系式；(3)设直线l与x轴交于点P,是否存在这样的点 P,使彳导以P、O F为顶点的三角形,DE=的+8百-有t = 8逐一2曲 等边 DEF勺DE&上的高为：12-3t当点 F在 BOi上日12-3t=t,t=3 当0W t<3时,重叠局部为等腰梯形,可求梯形上底为:8 ,3 -2 ,3t-3t3一 t 一 2,3S=-(8'3 -2 .3t 8 .3-2 .3t -3 t)23= -(16 3 -14 一3t) = - 73t2 8、3t233当3W t w 4时,重叠局部为等边三角形S=1(8.3-2

49、,3t)(12-3t)= 3.3t2 -24 3t 48.3,_ 24(3)存在,P ( M , 0)7说明：: FO 4/3 , FP> 4,3 , O内 4以P, O F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO FP假设 FO=FP时,t=2 (12-3 t) , t = 24 , p P ( 24 , 0)771 o19、(2021杭州)在平面直角坐标系 xOy中,抛物线的解析式是 y = x2+1,4点C的坐标为(-4, 0),平行四边形 OABC勺顶点A, B在抛物线上,AB与y轴交于点M点 Qx, y)在抛物线上,点P(t, 0)在x轴上.(1) 写出点M的坐标；(2)当四边形C

50、MQPL以MQ PC为腰的梯形时. 求t关于x的函数解析式和自变量 x的取值范围；当梯形CMQ的两底的长度之比为 1: 2时,求t的值.(第24题)解：(1) .OABC1 平行四边形,AB/ OC 且 AB = OC = 4 ,.A, B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴, A, B的横坐标分别是2和1 2代入 y = 1 x +1 得,A(2, 2 ) , B( - 2 , 2) ,M(0 , 2),(2) 过点Q作QH_Lx轴,设垂足为 H, 那么HQ= y , HP = x t ,由HQZAOMC得： '=,即：t = x - 2y ,241 2 . ,.1 2_ Q(x, y)

51、在 y = - x +1 ±, . . t =-1 x + x - 2,当点P与点C重合时,梯形不存在,此时, t = - 4,解得x = 1 ±7'5 ,当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x的取值范围是x丰1±J5,且x心2的所有实数.分两种情况讨论：1)当 CM> PQ时,那么点 P在线段 OC上,: CM/ PQ CM= 2 PQ ,1 2,点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2 = 2( - x +1),解得x = 0 ,.,1 2 ' t = - - 0 + 0 -2 = -2212)当CM< PQ时,那么点P在OCW延长线上,: CM/ PQ CM= PQ2,点Q纵坐标为点 M纵坐标的2倍,