2020年高考数学复习讲义一遍过01第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算(解析版)

1、§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会兀素与集合的属于关系2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不冋 的具体问题3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4在具体情境中，了解全集与空集的含义5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集 与交集6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算集合的交、并、补运算 及两集合间的包含关 系是考查的重点，在集 合的运算中经常与不 等式、函数相结合，解 题时常用到数轴和韦 恩（Venn）图.考查学生 的

2、数形结合思想和计 算推理能力.题型以选 择题为主，低档难度1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或?表示.集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN + （或 N*）ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言付号语言Venn 图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素（即若x A,则x B）A? B（或 B? A）真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于AA B（或 B A）集合相等如果集合A中的每一个兀素都是集合B的元素，反过来，集合 B的每一

3、个元素 也都是集合A的元素A = B3集合的基本运算运算自然语言付号语言Venn 图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合An B= x|x A 且 x B并集对于给定的两个集合 A, B，由两 个集合的所有元素构成的集合AU B= x|x A 或 x B补集如果给定集合 A是全集U的一个 子集，由全集U中不属于集合A 的所有元素组成的集合?uA = x|x U 且 x?A概念方法微思1 若一个集合 A 有 n 个元素，则集合 A 有几个子集，几个真子集 提示 2n,2n 1.2 .从A n B= A, AU B= A可以得到集合 A, B有什么关系？提示 An B= A? A? B

4、, AU B= A? B? A.题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.(X )x|y= x2 + 1 = yy= X2+ 1 = (x, y)|y= x2+ 1 ( X )若x2,1 = 0,1，则 x= 0,1.( X )x|x< 1 = t|tw 1 ( V )若 A n B= An C,贝y B= C.( X )题组二教材改编2 .若集合 A = x N|XW 2 020 , a= 2 2，则下列结论正确的是 ()A . a? AB. a? AC. a AD. a?A答案 D3 已知集合 A= (x, y)|x2+

5、y2= 1, B= (x, y)|y= x，贝V A n B 中元素的个数为 .答案 2解析 集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y= x上的点,圆x2 + y2= 1与直线y = x相交于两点 于，孑,-_22,-，贝U A n B中有两个元素.题组三易错自纠4. (2018湖南长郡中学月考)已知集合A = x N|0W x< 4，则下列说法正确的是()A. 0?AB. 1? AD. 3 AC. .2? A答案 D解析 集合 A= x N|OW xw 4 , 0 A,1 A,2?A,3 A,故选 D.5. 已知集合 A=xX2 4x+ 3<0 ,

6、B=x|2<x<4，则(?rA) U B =.答案 x|x< 1 或 x>2解析 由已知可得集合 A= x|1<x<3,又因为 B= x|2<x<4, ?rA= x|x< 1 或 x> 3,所以(?rA)U B= x|x< 1 或 x>2.6. 已知集合 M = x|x a= 0 , N= x|ax 1 = 0，若 MQ N= N,则实数 a 的值是答案 0或1或1解析 易得 M = a . T M Q N= N , N? M ,n= ?或 N= M , a= 0 或 a = ±1.题型一集合的含义1 已知集合

7、A= 0,1,2，则集合B= (x, y)|x> y, x A, y A中元素的个数是()A. 1 B. 3 C. 6 D. 9答案 C解析 当 x= 0 时，y= 0 ;当 x= 1 时，y= 0 或 y= 1 ;当 x = 2 时，y= 0,1,2.故集合 B= (0,0) , (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2)，即集合 B 中有 6 个元素.32 .已知集合A= x x Z,且. Z ，则集合A中的元素个数为()2 xA. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案 C3解析 因为亠 Z,所以2-x的取值有一3, - 1,1,3,又因为x Z,所以x的值分

8、别为5,3,1,2-x1，故集合A中的元素个数为4.3.已知集合 A= m + 2,2m2+ m，若3 A,贝V m的值为.3答案一3解析由题意得m + 2 = 3或2m2+ m= 3,3则 m= 1 或 m= 2当m= 1时，m+ 2= 3且2m2+ m= 3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 m=号时,m+ 2 = ，而 2m2+ m = 3，故 m= 思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条 件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.题型二集合

9、间的基本关系例1集合M = xxZn1+n- 21y y= m+ 2, m Z，则两集合M ,N的关系为（）A.m n n = ?B.M = NC.M? ND.N? M答案 D解析由题意，对于集合 M，当n为偶数时，设n = 2k(k Z)，则x= k+ 1(k Z),当n为奇1数时，设 n= 2k+ 1(k Z)，则 x= k+ 1 + 2(k Z), / N? M，故选 D.已知集合 A= xlx2 2 019x+ 2 018<0 , B = x|x<a，若 A? B，则实数 a的取值范围是答案2 018 ,+s )解析 由 x2 2 019x+ 2 018<0，解得 1

10、<x<2 018 ,故 A= x|1<x<2 018.又 B= x|x<a, A? B，如图所示，可得 a > 2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为x|x> a，其他条件不变，则实数 a的取值范围是 答案 (3 1解析 a = x|1<x<2 018 , B= x|xa, A? B，如图所示，可得 a< 1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则 会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转 化为参数所满足的关系，常用数轴、Ve

11、nn图等来直观解决这类问题.跟踪训练 1 (1)已知集合 A = y|0W y<a, y N , B= x|x2 2x 3< 0, x N，若 A B，则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为 .答案 8解析B = x|x2 2x 3W 0, x N = x| 1 < x< 3, x N = 0,1,2,3，当 a 分别取 1,2,3 时,所得集合A分别为0 ,0,1 ,0,1,2，均满足A B，当a= 4时，A= 0,1,2,3，不满足A B, 同理，当a> 5时均不满足A B所以满足条件的正整数 a所构成的集合为1,2,3，其子集有 8个.已知集合 A =

12、 x| 1<x<3 , B = x| m<x<m.若B? A,贝U m的取值范围为 .答案 （3 1解析当mW 0时，B = ?，显然B? A.当 m>0 时，因为 A= x| 1<x<3 , B? A,所以在数轴上标出两集合，如图，m>0, 所以m > 1, 所以0<mW 1.综上所述，m的取值范围为（3, 1.题型三集合的基本运算多 探维究命题点1集合的运算例 2 （1）（2018 全国 I ）已知集合 A = x|x2 x 2>0，则?ra 等于（）A. x| 1<x<2B . x| 1 w xw 2C. x|

13、x< 1 U x|x>2D. x|xw 1 U x|x> 2答案 B解析 / x2 x 2>0, / (x 2)(x+ 1)>0 , x>2 或 x< 1,即即 A = x|x>2 或 x< 1.在数轴上表示出集合A，如图所示.由图可得？rA= x| 1w xw 2.故选B.已知集合 A = x|x2 2x>0 , B = x| . 5<x<5，则()A . A n B = ?B . A? BC . B? AD . AU B= R答案 D解析/ A= x|x>2 或 x<0 , AU B= R.命题点2利用集合

14、的运算求参数例 3(1)(2018 锦州模拟)已知集合 A = x|x<a, B= x|x2 3x+ 2<0，若 A n B = B,则实数 a的取值范围是()A . a<1 B . aw 1 C . a>2 D . a >2答案 D解析 集合 B= x|x2 3x+ 2<0 = x|1<x<2, 由An B = B可得B? A,作出数轴如图.可知a> 2.1设集合A= 1,0,1, B= a 1, a+- , A门B= 0，则实数a的值为.a答案 11 1解析 0 a 1, a + -，由a + -工0,贝U a 1 = 0，则实数a的值

15、为1.经检验，当a= 1时满aa足题意.(3)设集合 A = 0， 4 , B= xlx2+ 2(a+ 1)x+ a2 1 = 0, x R 若 An B = B，则实数 a 的 取值范围是.答案(一3 1 U 1解析因为An B = B,所以B? A,因为A= 0， 4，所以B? A分以下三种情况： 当B= A时，B= 0， 4，由此可知，0和一4是方程x2+ 2(a+ 1)x+ a2 1 = 0的两个根，由根与系数的关系，得= 4 a+ 1 2 4 a2 1 >0,2 a+ 1 = 4,解得 a= 1;a2 1 = 0, 当 BM ?且 B A 时，B= 0或 B= 4,并且 = 4

16、(a+ 1)2 4(a2 1) = 0, 解得a= 1，此时B = 0满足题意; 当 B= ?时，= 4(a + I)2 4(a2 1)<0,解得 a<1.综上所述，所求实数a的取值范围是(0 1 U1.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化跟踪训练 2 (1)(2018 葫芦岛检测)已知集合 A = x| 2<x<4 , B= x|y= lg(x 2),则 A n (?rB) 等于 ( )A(2,4)B (

17、 2,4)C(2,2)D(2,2答案 D解析 由题意得 B = x|y= lg(x 2) = (2, + 0), ?rB = (0, 2, An (?rB) = ( 2,2.已知集合 A = x|x2 x 12W 0, B= x|2m 1<x<m+ 1,且 A n B = B,则实数 m 的取值范 围为 ()A. 1,2)B. 1,3C. 2,0 ) D. 1,0 )答案 D解析 由 x2 x 12W 0,得(x+ 3)(x 4) w 0,即一3w xw 4,所以 A = x| 3w x< 4.又 An B = B，所以 B? A. 当B= ?时，有 m+ 1w 2m 1，解

18、得m2; 3w 2m 1, 当BM ?时，有 m + 1 w 4,2m 1<m1 ,解得 1 w m<2.综上, m 的取值范围为 1,0).题型四集合的新定义问题例4 （1）（2018沈阳模拟）已知集合 A = x N|x11 长度为3= 2x 3< 0, B= 1,3，定义集合 A, B之间 的运算"* ”： A*B= x|x= Xi+ x2, xi A, X2 B，贝U A* B中的所有元素数字之和为（）A. 15 B. 16 C. 20 D. 21答案 D解析 由 x2 2x 3< 0,得（x+ 1）（x 3）w 0,得 A = 0,1,2,3.因为

19、A*B = xx = X1 + x2, X1 A, X2 B,所以 A*B 中的元素有：0+ 1 = 1,0 + 3= 3,1 + 1 = 2,1 + 3 = 4,2 + 1 = 3（舍去）,2 + 3= 5,3 + 1 = 4（舍去），3+ 3 = 6，所以A*B= 123,4,5,6，所以A* B中的所有元素数字之和为 21.31、（2）设数集 M = x mW x< m+ 4 , N= x n 3W x< n ，且 M , N 都是集合 U = x|0w xw 1的子集，定义b a为集合x|aw xw b的“长度”，则集合M n N的长度的最小值为 .答案1解析在数轴上表示出

20、集合M与N（图略）,1 3可知当m = 0且n = 1或n 3= 0且m+ 4= 1时，M n N的“长度”最小.2 3当 m= 0 且 n= 1 时，M n N = x 3w xw4,3 21长度为4 3 = 121 1 1 1当 n = 3且 m= 4时，M n N = x 4w xw 3,1综上，mn n的长度的最小值为 .思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的C A > C B ,C A <C B .性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一

21、些因素.跟踪训练3用C(A)表示非空集合 A中元素的个数，定义A*B = 若A= 1,2 , B =x|(x2+ ax)(x2+ ax+ 2) = 0，且A*B= 1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,贝U C(S)=.答案 3 解析 因为 C(A)= 2, A*B= 1，所以 C(B)= 1 或 C(B)= 3.由 x2+ ax= 0,得 X1= 0, x2= a.关于x的方程x2 + ax+ 2 = 0，当= 0,即卩a =i2 2时，易知 C(B) = 3，符合题意；当 A>0, 即a< 2 2或a>2 2时，易知0, a均不是方程x2+ ax+ 2= 0的根，故C

22、(B) = 4,不符合题 意；当 A<0,即一2 2<a<2 ,2时，方程 x2+ ax+ 2 = 0 无实数解，当 a= 0 时，B = 0 , C(B) =1，符合题意，当2 ,2<a<0或0<a<2 2时，C(B) = 2,不符合题意. 综上，S= 0 , 2 .2, 2 ,2，故 C(S)= 3.1.已知集合 A= yy =凶一1, x R, B= x|x>2，则下列结论正确的是 （）A . - 3 A B. 3?B C. AA B= B D . AU B = B答案 C解析由题意知 A = y|y>- 1，因此A A B = x|

23、x> 2 = B,故选C.12 .设集合M = 1,1 , N = x -<2 ，则下列结论中正确的是（）xA . N M B . M N C. NA M = ? D. M U N= R答案 B、 1 1解析由题意得，集合N = x -<2= x x<0或x> ，所以M N.故选B. 23 设集合 A = x Z|x" 3x 4<0 , B= x|2x> 4，则 A A B 等于（）A. 2,4） B. 2,4 C. 3 D. 2,3答案 D解析 由 x2 3x 4<0，得一1<x<4，因为 x Z，所以 A= 0,1,2,

24、3，由 2x> 4，得 x> 2，即B = x|x>2，所以 AA B= 2,3.4. （2018全国n ）已知集合A= （x，y）|x2 + y2< 3，x Z，y Z，则A中元素的个数为（）A. 9 B. 8 C. 5 D. 4答案 A解析 将满足x2+ y2<3的整数x，y全部列举出来，即（ 1， 1），（ 1,0），（ 1,1），（0， 1），（0,0），（0,1），（1， 1），（1,0），（1,1），共有 9 个.故选A.5. 设集合 A = x Z|x2 2x 3W 0 , B= 0,1，则?aB 等于（）A 3， 2， 1B 1,2,3D. 0,1

25、C. 1,0,1,2,3答案 B 解析 由题意可知 A= 1,0,1,2,3，贝U ?aB = 1,2,3.故选 B.6. （2018 呼和浩特联考）已知全集 U =x N|x2 5x 6<0，集合 A= x N| 2<x< 2, B =1,2,3,5，则（？uA） A B 等于（）A. 3,5B. 2,3,5C. 2,3,4,5D. 3,4,5答案 A解析由题意知，U = 0,123,4,5 , A = 0,1,2，则（?uA） A B= 3,5.故选 A.7. （2017 全国 II ）设集合 A= 1,2,4 , B= xlx2 4x + m = 0 若 AA B= 1

26、，则 B 等于（）A1 ， 3B1,0C1,3D1,5答案 C解析/ AA B = 1 , 1 B.1 4+ m= 0,即卩 m= 3. B=x|x24x3=0=1,3 故选 C.8. 已知集合 A= x| 1<x<0, B= x|xw a，若A? B，贝U a的取值范围为（）A. （ a, 0B. 0,+ ）C. （ a, 0）D. （0,+ ）答案 B解析用数轴表示集合 A, B（如图），由A? B，得a>0.9 .已知集合 P=xy = . - x2+ X+ 2, x N , Q = x|ln x<1，贝V P n Q=.答案1,2解析 由一x2+ x+ 2>

27、; 0，得一1< xw 2,因为 x N,所以 P= 0,1,2.因为 In x<1 ,所以 0<x<e,所以 Q= (0, e),贝U P n Q = 1,2.10. 若全集 U= R，集合 A= xlx2-x- 2> 0, B = x|log3(2 x)w 1，则 An (?uB) =. 答案x|x< 1 或 x > 2解析 集合 A= x|x2 x 2> 0 = x|x< 1 或 x>2,log3(2 x)< 1 = log33, / 0<2 x< 3, 1w x<2, B = x| 1 w x<2

28、,二?uB = x|x< 1 或 x> 2,二 An (?uB) = x|x< 1 或 x> 2.11. 设集合 A = 1,1,2, B= a + 1, a2 2，若 An B = 1,2，则 a 的值为.答案 2或1a + 1 = 1,解析集合 A = 1,1,2 , B= a + 1 , a2 2 , An B = 1,2 , 或a2 2 = 2a+ 1 = 2,解得a = 2或a = 1.a2 2= 1,经检验，a= 2和a= 1均满足题意.12. 已知集合A = x|y= lg(x x2) , B= xf cx<0, c>0,若A? B,则实数c的取值范围是答案 1 ,+s