2020年中考数学必考34个考点专题18：解直角三角形问题

1、专题18解直角三角形问题专题知识回顾一、勾股定理1 .勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。2 .勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2o,那么这个三角形是直角三角形。3 .定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。4 .我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)5 .直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30。角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜

2、边上的中线等于斜边的一半。6 .直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2)两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义(1)正弦：在 ABC中，/ C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做/A的正弦，记作sinA =/ A的对边 斜边(2)余弦：在 ABC中，/C=90° ,把锐角A的邻边与斜边比值的叫做/A的余弦,记作cosA =/ A的邻边 斜边(3) 正切：在 ABC中，/C=90° ,

3、把锐角A的对边与邻边的比值叫做/A的正切，记作tanA =/ A的对边/ A的邻边2.特殊值的三角函数:asin acosatan aCOt a0°010不存在30°12更 2也 3如45°更 2也21160°更 212小390°10不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1 .仰角：视线在水平线上方的角;2 .俯角：视线在水平线下方的角。铅垂线3.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i - l把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角）,tan 。四、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90A)

4、, cosA=sin(90 A)tanA=cot(90A), cotA=tan(90 A)(2)平方关系一 2 一 _ _2 .sin A cos A(3)倒数关系tanA ?tan(90 ° A)=1(4)弦切关系 a sin AtanA=cos A专题典型题考法及解析【例题1】（2019?湖北省鄂州市）如图，已知线段 AB= 4, O是AB的中点，直线l经过点0, 71=60° , P 点是直线l上一点，当 AP明直角三角形时，则 BP=.【答案】2或2/或2【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a, b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.分/

5、 APB= 90°、/ PAB= 90°、/ PBA= 90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可. A0= 0B= 2,当 BP= 2 时，/ APB= 90 ,当/ PAB= 90° 时，. / A0P= 60 ,AP= OAtan / AOP= 2/3,bp=TaiAaP=2当/ PBA= 90° 时，/ AOP= 60 ,BP= OBtan / 1=2%【例题2】（2019?湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔 C的北偏东60°方向，距离次T塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏

6、东45。方向上的B处，这时轮船 B与小岛A的距离是（）B.60nmileC. 120nmileD.(30+30/) nmile【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.过点C作CDL AB则在RtACm易得AD的长，再在直角 BC加求出BD相加可得 AB的长.过C作CDL AB于D点, ./ACD= 30 , / BCD= 45 , AC= 60.在 RtAACD, cos/ACD=CDACCD= ACcos/ACD= 60 x乎二30.在 RtDC冲，/ BCD= / B= 45. CD= BD= 30

7、'.氐AB= ADfBD= 30+30 ：-；.答：此时轮船所在的 B处与次T塔P的距离是（30+36月）nmile .it【例题3】（2019?江苏连云港）如图，海上观察哨所 B位于观察哨所 A正北方向，距离为 25海里.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53。的方向上，位于哨所B南偏东37。的方向上.（1）求观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从 C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜， 并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在 D处成功拦截.（结果保留根号）（参考数据：sin 37

8、° = cos53° 一,cos37° = sin 53° 一,tan 37° 二，tan 76° =4）554【答案】（1）观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为 67万海里/小时时，恰好在 D处成功拦截.【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出/AC& 90。，再解RtAAB（C利用正弦函数定义得出AC即可；在ABC43, Z ACB= 180 -ZB- Z BAC= 180 - 37 - 53 = 90 . nr在 RtAABO, sinB=,AB .AC= ABsin 37°

9、; =25X|=15 （海里）.答：观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离为15海里；（2）过点C作CMLAB于点M 易知，D.C.M在一条直线上.解 RtAMC求出CM AM解RtAMD,求出DM AD得出CD.设缉私艇白速度为 x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶 AD所用的时间列出方程，解方程即可.过点C作CML AB于点M由题意易知，D.C.M在一条直线上.4在 RtAM阱,CM= AC?sin/CAM= 15X = 12,5AM= AC?cosZ CAM= 15x1- = 9.在 RtAM珅，tan Z DAIM=, AJfl .DM= AM?tan 76

10、76; =9X4=36, AD=4小+笳=也随/=9V17,CD= DM CM= 36 12=24.设缉私艇的速度为 x海里/小时，则有 书=至支，解得 x=67iy|.经检验，x= 6'Qf是原方程的解.答：当缉私艇的速度为6-.nr海里/小时时，恰好在d处成功拦截.专题典型训练题、选择题1. （2019?渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A. 1, Vs，2B. 1, 3, 4C. 2, 3, 6D. 4, 5, 6【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.A.12+ （V3） 2=22,故是直角三角形，故此选项

11、正确；B.12+32W42,故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+32W62,故不是直角三角形，故此选项错误；D.42+52W62,故不是直角三角形，故此选项错误.2. （2019?巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（A ¥ T iB- 3；52C.收，近D. 0.3 , 0,4 , 0,5【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可.A. （） 2+ （丁）2w （-F）2,即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；345B. （ 32） 2+ （42）之手（52） 2,即三角形不是直角三角形，故本选项不

12、符合题意;C.(6)2+ (E) 2wD.0.03 2+0.04 2= 0.05 2,即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。3. （2019广西省贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB,重叠部分为 ABCACB45 ,则重叠部分的面积为（）（图中阴影部分），若A. 2 2cm2 B, 2 .3cm2 C.4cm2 D. 4.2cm2【解析】 过B作BD AC于D ,则 BDC 90 ,依据勾股定理得出BC的长，进而得到重叠部分的面积.如图，过B作BD AC于D ,则 BDC 90 ,Q ACB 45 ,CBD 45 , BDCD2cm, Rt BCD 中，BC 、2

13、2 2222(cm),1重叠部分的面积为2 2V2(cm),故选：A.如图，点E在正方形ABCD勺边AB上，若EB= 1, EC= 2,那么正方形 ABCD勺面4. （2019贵州省毕节市）A. .3B. 3C. .5D. 5（、"）2,即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意;【答案】B.【解析】勾股定理.四边形 ABC麋正方形，./ B= 90° ,BC=EC EB=22- 12=3,.正方形 ABCD勺面积=BC=3.故选：B.5. （2019?南岸区）如图，在Rt ABC,/A=90° , /C=30° ,BC的垂直平分线交AC于点D,并交BC

14、于点E,若EA 3,则AC的长为（）A 3 ：;B. 3C. 6D. 9【答案】D.【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DC= DB DEL BC求出BD= DC= 2DE= 3,根据直角三角形的性质计算即可. .DE是线段BC的垂直平分线，. DC= DB DEL BC, . / C= 30° ,. BD= DC= 2DE= 3,DBC= / C= 30 ,在ABC43, / A= 90 , / C= 30 , ./ ABC= 60 , ./ ABD= 60° - 30° = 30° , . AD= yB> 3, .AC= DGAD= 9.6.

15、（2019?西藏）如图，在。O中，半径OB等于（）OC垂直弦AB于D,点E在。0上，/ E= 22,5 , AB= 2,则半径A. 1B.二C. 2D. 2；【答案】B【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出OD国等腰直角三角形，进而得出答案. 半径OCL弦AB于点D,AC=喝. / E=BOC 22.5 , .Z BOD= 45 , . ODB等腰直角三角形，AB= 2,DB= OD= 1,则半径O曲于： Vl2+12 = '-7. （2019?江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪 CD竖直放置在与教学楼水平距离为18褥m的地面上，若测角仪的高度为 1.

16、5 m,测得教学楼的顶部 A处的仰角为30°,则教学楼的高度是（）A. 55.5 mB. 54mC. 19.5 mD. 18mAD.CB-【答案】C【解析】考察30°角的三角函数值，中等偏易题目过D作DE AB交AB于E ,AE在 RtVADE 中，tan30oDE3AE 18 318m3AB 18 1.5 19.5 mD30C则CDBD的最小值是（）58. （2019?湖南长沙）如图，ABC中，AB= AO 10, tanA = 2, BE±AC于点E, D是线段BE上的一个动点,A. 2 .月B. 4 KC. 5. 一；D. 10【答案】B.BE【解析】如图，

17、作 DHL AB于H, CML AB于Ml由tanA= = 2,设AE= a, BE= 2a,利用勾股定理构建方AE程求出a,再证明DH= -y-BE）推出CDBD= Ct+DH由垂线段最短即可解决问题.如图，作 DHL AB于H, CML AB于M. BEX AC ./ ABE= 90 ,tanA = -= 2,设 AE= a, BE= 2a, AE则有：100=a2+4a2,2a = 20, a=2亚或-2、后（舍弃），BE= 2a = 4、J ：、. AB=AC BE! AG CML AC .CM B&4叵（等腰三角形两腰上的高相等）坦=匹AB. / DBH= / ABE / B

18、HD= / BEA .sin / DBH= BD:.DH=BD5 . CDhBD= CDDH 5.CDfDH> cmCDbB>4相5 cdhWEbd的最小值为烟.5二、填空题9. （2019 贵州安顺） 如图，在 RtAABO, / BAC= 90° ,且BA= 3, AC= 4,点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DML AB于点M DNL AC于点N,连接MN则线段MN的最小值为 .【解析】/ BAC= 90° ,且 BA= 3, AC= 4,bc=Jba，ac2=5,. DML AB DNL AC, / DMA / DNA= / BAG= 90四边形D

19、MA%矩形, .MN= AD 当ADL BC时，AD的值最小，此时， ABC勺面积=AB< AC= BCx AD 22 八 AD,BC 5MN的最小值为1二5。C在FD的10. （2019贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点延长线上，点 B 在 ED±, AB/ CR/F=/ACB= 90° , / E= 45° , / A= 60 , AC= 10,则 CD勺长度是【答案】15-5 73.【解析】考查 含30度角的直角三角形；勾股定理.过点B作BML FD于点M在ACB43, Z ACB= 90 , / A= 60 ,

20、AC= 10,，/ABC= 30。，BC= 10Xtan60。= 10 底, . AB/ CF, .BM= BCx sin30 ° = 10 J3 x - =573 , 2CM= BCx cos30 = 15,在 EFD中，/ F=90 , E E= 45° , ./ EDF= 45 , M氏 BM= 5 B .CD= CM- MD= 15-5 百.故答案是：15-5弗.11. （2019 海南）如图,将RHABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（0 ° < <90° ）得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转 (0 ° < <9

21、0° )得到AF,连接EF,若AB= 3,AC=2,且 + = / B,则EF=【答案】.13【解析】+=/B,，/EAF= / BAC吆 B= 90° .AEF 是直角三角形，且 AE= AB= 3,AF = AC= 2, . EF =AE2 AF2 = 1312. （2019黑龙江哈尔滨）如图将 ABC绕点C逆时针旋转得到 A' B' C,其中点A'与A是对应点，点B'与B是对应点，点B'落在边 AC上，连接A' B,若/ ACB=45 ,AC=3,BC=2,则A' B的长为.3A【答案】：炳【解析】二将4AB砥点

22、C逆时针旋车t得到 A' B' C,. AC= A C= 3, Z ACB= /ACA=45 ./ A CB= 90°.A' B= 'BC2 AC2 = 71313. （2019山东东营）已知等腰三角形的底角是 30 ,腰长为2，3,则它的周长是 【答案】6+ 4 3【解析】 如图，过 A作ADL BC于D,则/ ADB= Z ADC= 90. AB= AC= 2 向 Z B= 30 , . AD= 1 AB=串, 2由勾股定理得：BD=（2石2 （遍2 = 3,同理 CD= 3,BC= 6,.ABCW周长为 B（+ABfAC= 6+2 73+2褥=6

23、+4 73.14. （2019?浙江宁波）如图，某海防哨所 O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60。方向的 B处，则此时这艘船与哨所的距离艘船向正东OB约为米.（精确到1米，参考数据： 6=1.414,近=1.732 ）【解析】考查了解直角三角形的应用-方向角的问题.此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.通过解直角 OACR彳导OC勺长度，然后通过解直角 OBCt彳导OB勺长度即可. 如图，设线段AB交y轴于C,在直角 OAW, / ACO= /CAO= 45°

24、,则 AC= OC. . OA= 400 米， .OC= OAcos45° = 400X2=200%伤（米）. 2 在直角 OBOK / COB 60 , OC= 2006米,. OB=0CcosBOfl=400456 （米）故答案是：456 .北15. (2019?海南省)如图，将 RtABC勺斜边AB绕点A顺时针旋转a (0° V a<90° )得到 AE直角边AC绕点A逆时针旋转3 (0° < B <90° )得到AF,连结EF.若AB= 3, AO 2,且a + § = / B,则EF=.【答案】I?；【解析

25、】由旋转的性质可得 AE= AB= 3, AC= AF= 2,由勾股定理可求 EF的长.由旋转的性质可得 AE= AB= 3, AC= AF= 2,/ 削/ BAC= 90 ,且 a + B = / B,/ BAG a + § = 90./ EAF= 90°EF= JaeJaf?=16. （2019?山东临沂） 如图，在 ABC中，Z ACB=120 , BC=4, D为AB的中点，DC! BC则 ABC勺面【答案】8 .：-；.【解析】根据垂直的定义得到/BCD= 90° ,得到长CD到H使DH= CD由线段中点白定义得到 AD= BD根据全等三角形的性质得到

26、AH= BC= 4, / H= / BCD= 90° ,求得CD=于是得到结论. DC! BC ./ BCD= 90° ,. / ACB= 120° , ./ AC注 30° ,延长C辱U H使DH= cq.D为AB的中点，AD= BDrCD=DH在ADHWABCD,，/ADH=/BDC，M 二 BDADH2 BCD( SAS, . AH= BC= 4, / H= Z BCD= 90° ,CH= V3AH= 4 73, CD=昭,2S bcd= 2 X-2x 4x2/3= 8,故答案为：8 . ；.三、解答题17. (2019黑龙江省龙东地区)

27、 如图，在 ABC中，AB= BC ADL BC于点D, BE! AC于点E, AD与BE交于 点F, BHLAB于点B,点M是BC的中点，连接 FM延长交BH于点H.(1)如图所示，若/ ABC= 30° ,求证：D曰BH= ® BD；3(2)如图所示，若/ ABC= 45。，如图所示，若/ ABC= 60° (点M与点D重合)，猜想线段DF, BH, BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.图图图【答案】见解析。【解析】条件中有等腰三角形 ABG故考虑用等腰三角形的性质；条件中有 30。角，且有 AEL BC,故可以 找到与BD有关的当的数量

28、关系，即 A&乎BE条件中有中点，故考虑构造全等三角形 .结合以上信息， 再结合问题中的 DF,BH两条线段，因此连接 CF,问题可解.对于图和图，可仿照（1）的思路求解.（1）证明：连接 CF, . AB=BC / ABC=30 , . . / BACW ACB=75 .AD± BC,，/ADB=90 , . . / BAD=60 , . . / DAC=15 AB=BQ BE, AC, . BE垂直平分 AC, . AF=CF Z ACF=Z DAC=15 ,/ BCF=75 -15° =60° ,BHI± AB, /ABC=30 , . .

29、 / CBH=60 , . . / CBHW BCF=60 .在 BHMCFM中，/ CBHh BCF, BM=CM / BMHW CMF， BH阵 CFM . BH=CF,，BH=AF ，AD=DF+AF=DF+BHE RtADB中，/ ABC=30 , . . AD4BD,3DF+ BH= -3 BD（2）图猜想结论： DF+ BH= BQ图猜想结论：DF+ BH= 3 BD18. （2019厂西池河）如图，在河对岸有一棵大树A,在?R岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到 0.1参考数据：可运=1.4

30、14，次。1.732 .【答案】见解析。【解析】过点 A作ADL直线BC垂足为点D,在RtAABDH RtAACD,通过解直角三角形可求出BD CD的长，结合 BC= B> CD= 120,即可求出 AD的长.过点A作ADL直线BC垂足为点D,如图所示.在 RtAABD, tan/BAD= AD，BD= AD?tan 60° = VAD;在 RtAACD, tan/CAD= AD. CD= ADtan30。=返心3BC= BD- CD= 2/ AD= 120, 3AD= 103.9 .，河的宽度为103.9米.19. （2019?湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河

31、面宽度，小明在南岸一棵柳树位于北偏东 60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达B处测得对岸A处C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.【答案】这条河的宽度为 306米.【解析】如图，作 ADL于BC于D.由题意可知：BC= 1.5 X40=60 米，Z ABD= 30° , Z ACD= 60° ,/ BAC= / ACb / ABC 30° , / ABC= / BACBC= AC= 60 米.在 RtAACD, AD= AC?sin 60 = 60x = 306 （米）.答：这条河的宽度为 30的

32、米.20. （2019四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路 AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在 A处测得点D位于南偏东65° 方向，另测得 BC= 414m AB= 300ml 求出点 D至U AB的距离.（参考数据 sin 65° =0.91 ,cos65° =0.42, tan 65° =2.14 ）【答案】点D到AB的距离是214ml【解析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题 的关键.如图，过点 D作DEEL AB

33、于E,过D作DU BC于F,则四边形 EBFD矩形， tan / DAE=DEAE设 DE= x在 RtAADE, / AED= 90 ,BE= 300 2.14tan/DAE又 BF= DE= xCF= 414 - x在 RtACDF, / DF已 90 , / DCP 45.DF= CF 414-x,又 BE= CF即：300基= 414- x,2.14解得：x=21421. (2019?湖北省荆门市) 如图，已知平行四边形 ABC由，AB= 5, BO 3, AO 2/13.(1)求平行四边形 ABCD勺面积；(2)求证：BDL BC.【答案】见解析。【解析】本题主要考查了平行四边形的性

34、质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强.(1)作CEL AB交AB的延长线于点 E,如图:设 BE= x, CE= h在 RtA CE珅：x2+h2= 9在 RtA CEA中：(5+x) 2+h2= 52联立解得：x=，平行四边形 ABCD勺面积=八印卜=12;(2)作DUAB垂足为F ./ DFA= / CEB= 90°平行四边形ABCDAD= BC AD/ BC ./ DAF= / CBE又. /DF%/CEB= 90 , AD= BC. AD匿 BCE(AA§ . AF= BE=-1, BF= 5一卷=图 DF= CE=-在 RtDFB中：BD= DF+BF=(")2+ (匹)2=1655BD= 4. BC= 3, DC= 5 . cD= dB+bCBD± BC.22. （2019广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道