数学教案2013-2014下期三角函数

1、数学教案授 课 教 师 ：黄 永 卫 时 间： 年 期 德育教案理想与立志教学目的：通过畅谈理想，使每位同学树立起21世纪主人翁精神，为振兴中华而努力学习。教学形式：问答比赛、化装表演、讨论、小品。教学过程：1、 了解名人立志的故事和警句。主持人甲：各位老师、各位同学，您们好！今天我们的班会课主题是：理想、立志。理想是一个崇高的字眼，它犹如浩翰海洋中的灯塔，为我们指明前进的方向。生活中常常可以发现，在同样艰苦的条件下，有的人萎靡不振，虚度光阴；有的人一愤骥足，勇往直前。这是什么原因呢？就是理想和意志在起作用。主持乙：一个有远大理想和抱负的人，以为人生的意义就在于自己的志向作不懈的努力，一些有理

2、想、有抱负的人在别人叹息、厌世、游荡玩乐的时候却挥汗耕耘。中国有大量歌颂理想和立志的警句。下面我们说一些名人名言，请同学们猜猜作者是谁。猜对的同学会得到一份小小的奖品。    甲：三军可夺帅，匹夫不可夺志。 （孔子）    乙：志当存高远。 （诸葛亮）    甲：老骥伏枥，志在千里，烈士暮年，壮心不已。 （曹操）    乙：青年应立志做大事，不可立志做大官。 （孙中山）    甲：没有抱负的人，他

3、的生活缺乏伟大的动力，自然不能盼望他有杰出成就。 （华罗庚）    乙：有志者事竟成。 （范晔）    甲：古今中外，有不少名人在青年时代就树立了伟大的理想，为他们后来的成功奠定了坚实的基础。下面我们讲几则名人少年立志的故事，请大家猜猜主人是谁，猜中的同学同样得到一份奖品。    乙：有位少年在青年时代就树立了立志报国，献身革命。他在中学读书时，同学称他“身无分文，心忧天下”。1914年他在长沙第一师范读书时，全部的费用只有几块大洋，而三分之一花在订报上，铺盖和衣服非常单薄。

4、他与同学提出三不谈：不谈金钱、不谈身边琐事、在校期间不谈恋爱“。他认为改造世界对学问知识的需要太迫切了，一定要珍惜宝贵的青春，把时间和精力花在有价值的事情上。请问这位少年是谁？ （毛泽东）    甲：20世纪初沈阳一所小学。校长问同学们：“你们为什么读书？”课堂上顿时寂静无声。听了片刻，一个同学毕敬毕恭的站起来回答：“读书为了寻求生路。”话音刚落，另一位同学说：“为了光宗耀祖！“这时，一位同学从座位上站起来。他 ，浓眉大眼，昂首挺胸，大声回答道：“为了中华民族之崛起，腾飞于世界而读书。”当时这位少年年仅12岁。请问这位少年是谁？  &

5、#160;  （周恩来）    乙：歌德巴赫猜想一直被看作数学王冠上的明珠。200多年前，有不少科学家试图征服它，并因此耗费了巨大的精力，却都没有成功。有位中国少年上中学就暗暗立志摘取这颗明珠，他把它当作自己的事业和理想。他拼命积累知识、奋力演算难题，草稿纸装了一麻袋又一麻袋。最后终于用自己的智慧和理想的合力，移动了数学群山，摘取了数学王冠上这一璀璨的明珠，发明了以他的姓氏的定理。请问这位少年是谁？     （陈景润）2、 表演、演说活动 甲：好，听完这几则名人的故事，我们会发现：树立了远大理想

6、的人，就意味着事业成功了一半。无志之人，不可能激起生活的浪花；无志之人，不可能享受事业的种种辉煌。当今世界以步入知识经济时代，没有知识必将被社会洪流无情淘汰，更谈不上在21世纪立足。回过头来，看看自己，作为世纪之交的中学生，21世纪祖国建设的主力军，我们今天有什么理想和抱负呢？不知20年后的你是什么样子的呢？现在我们想象20年后大家见面的情景。    记者（脖子上挂相机，手拿摄影刊物）：我从小就喜爱采访、摄影艺术，希望自己成为一流的记者，采访各国的领导。现在，我成功了。我手上的这本杂志中有好几篇我的作品。我还在世界的新闻报道比赛中多次获奖，并得到国家主席

7、的接见。老师，感谢你在读中学时对我的鼓励。    乙：让我们为他取得的成绩而鼓掌。     运动员（运动员进行曲响起，胸前四枚金牌，手执鲜花，绕场跑）：老师、同学们，一直以来我的身体都特别棒。小时侯我曾暗暗发过誓，一定要向邓亚萍、李小双一样当一名出色的运动员，为国争光。20年过去了，我在第33、34届奥运会夺得了四枚金牌，为祖国争得了荣誉。每当五星红旗在异国他乡体育馆上空升起时，我常常情不自禁地流下热泪想起20年前当优秀运动员的美好愿望实现了。    甲：真不简单！ 

8、;   水稻专家（头带草帽，挽起裤脚，赤着脚，手拿水稻）：上学时，地理老师告诉我们，我国人口逐年增多，人均耕地却逐年减少，人民的吃饭问题面临挑战。是啊，民以食为天。于是，从那时侯我立志要为12亿人的吃饭问题贡献一点力量。经过10年多的研究、实验，现已培育出亩产1500公斤“世纪号”优良品种。看，我给你们带来了我的专利。    乙：你的贡献真大啊！祖国人民感谢你。     大公司总裁（西装革履，手持大哥大）：大家还记得20年前用毛毛虫吓哭了许多女同学的的捣蛋鬼吗？我现在没有时间捣蛋了。大

9、学毕业后经过十年的艰苦创业，创办了一家计算机公司。由于讲信誉、重质量，业务往来越来越多。现总公司设在广州，分公司遍及全国各大城市，国外也有许多业务联系，经济效益十分好。今天我专程为母校新建的网络中心捐款来了。（打开大哥大，告诉秘书把100万支票赶快送来）甲：感谢你对母校的支持！     清洁工（身穿工装，手拿扫把）：尊敬的老师，亲爱的同学们，大家好！20年过去了，我可没有象前面几位同学那样干出了了不起的业绩。我的工作太平凡了，只是清洁工。但是我热爱自己的职业，因为我用苦和累换来了大家的清洁卫生和舒适。我同样感到骄傲和自豪。  

10、0; 乙：社会的发展需要科学家、文学家、世界冠军同时离不开清洁工，你的工作是平凡的，但是高尚的，我们向你表示深深的敬意。    将军（军乐响起，身穿军装，向大家行礼）：20年前，我的理想是当一名军人。于是，我18岁参军，一年后考入军事学院，练就了一身过硬的本领，在保卫祖国的岗位上屡立战功。去年，中央军委授予我中将军衔。今天我回母校报喜来了。    甲：祖国的繁荣昌盛需要建设者，也不可缺少忠诚的卫士。我建议，全体起立，为保卫祖国的人民英雄鼓掌。    乙：20年后，我

11、们还有白衣天使、演员、老师、工程师（演员陆续出场）引导学生立足现实，为实现自己的理想而努力奋斗。甲：你的理想是什么呢？（每个学生都说出自己的理想）乙：千里之行，始于足下。此时此刻，我们来探讨几个问题：        （1） 如何实现自己的理想？（2） 现实生活哪些事情最容易影响我们的意志，原因是什么？该如何处理？      （学生交流自己的看法，畅所欲言）3、 小品他   甲：20年前，我们和他是同班同学，不知20年后他是怎样

12、的呢？请看小品他 （内容主要围绕“他”胸有大志，却只是做一天和尚撞一天钟）乙：我想，大家必能从中得到些启示吧！下面由班主任总结。4、 班主任总结，画龙点睛5、 主题班会结束乙：好，让我们的“记者”为我们全体跨世纪的建设者摄个影，作为我们走好人生20年的一个见证。（全体摄影）。 第一章第一节 函数的概念教学目标：1、熟悉函数的概念和表示方法2、理解函数的定义域和值域3、能熟练求解函数的定义域重难点：函数概念及其定义域的求解 一、旧知回顾，导入新课1、集合元素的三个特性2、集合运算的性质二、函数及其表示1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意

13、一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数 记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域举例： y=x2+2x+4; y=log2(x-2);注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方

14、根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完

15、全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。2. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐

16、标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 。图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。3. 了解区间的概念（1）区

17、间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：A

18、B来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点： 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 解析法：必须注明函数的定义域； 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值小结：1、函数的概念 2、函数的定义域和值

19、域 3、函数定义域求解作业：课后习题1、2、3题课后反馈： 函数的概念是一个很抽象的知识点，今年上课时采用了具体化、熟悉的知识点引入，效果比以前要好些；再求定义域的问题上，同学们掌握较好。 第一章第二节 反函数教学目标：1、使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.2、通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.3、通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.教学重点,难点：重点是反函数概念的形成与认识.难点是掌握求反函数的方法.教学方法：自主学习与启发结合法一、教学过程揭示课题：今天我们将学习函数中一个重要的概念-反函数.反函数(板书)(一)反函数的

20、概念(板书)二.讲解新课 教师首先提出这样一个问题:在函数 中,如果把 当作因变量,把 当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在 的允许取值范围内的任一值,按照法则 都有唯一的 与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一 对唯一 ”)学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即 有反函数,而且把这个函数称为 的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?由学生回答出应为 .教师再提出 它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用 表示自变量,用 表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和 是同一

21、函数吗?由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把 叫做 的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数?学生很快会意识到 是 的反函数,教师可再引申为 与 是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象 这样的函数,若将 当自变量, 当作因变量,在 允许取值范围内一个 可能对两个 (可画图辅助说明,当 时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数.通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对 的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽

22、象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.反函数的定义:(板书)为了帮助学生理解,还可以把定义中的 换成某个具体简单的函数如 解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究.2.对概念得理解(板书)教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以 与 为例来说)学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把 与 的位置换位了,教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: 的定义域和值域分别由 的值域和定义域决定的.再把结论从特

23、殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.(1)“三定”(板书)然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中 与 的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.(2)“三反”(板书)此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数

24、,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.例1. 求 的反函数.(板书) (由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评) y= 3x+5例2. 求y= , 的反函数.(板书)求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为 , .教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是 和 ,所以它们是不同的函数.再追问 从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.在此基础上,教师最后

25、明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整)最后让学生一起概括求反函数的步骤.3.求反函数的步骤(板书)反解:互换改写:对以上环节教师可

26、稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了。四.小结对反函数概念的认识:求反函数的基本步骤:五.作业 课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.六.板书设计 教案点评：教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论

27、作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的第二章 第一节 任意角的概念教学目标：1、熟识任意角的概念2、弧度制的概念3、扇形的弧长和面积公式及其计算重难点： 扇形的弧长和面积大的计算教学过程：在初中数学里，角可看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。如图6 -5所示，射线的端点O称为角的顶点，射线旋转的初始位置OA叫做角的始边，射线旋转的终止位置OB叫做角的终边。 图6- 5 体操比赛中，“转体7200”、“转体10800”指的是什么意思？你能举出生活中超出00到3600范围的角的例子吗？ 过去

28、我们只学习了00到3600范围的角，但在日常生活中我们还会遇到许多超出这个范围的角，比如在日常生活中，经常需要把螺母拧紧或拧松，并且紧或松的过程往往不只旋转一周，而且拧的方向不同。这说明，既需要研究角的方向，又需要研究大于360°的角。所以将角的概念进行推广很有必要。我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。当射线没有旋转时，我们也把它看作一个角，叫做零角。例如，图6-6中，以射线OA为始边、射线OB为终边的角是一个正角。图5-7中，以射线OC为始边、射线OD为终边的角是一个负角。在图6 - 6中，以OA为始边，OB为终边的正角可以有多少个？在图6

29、 -7中，以OC始边，OD为终边的负角可以有多少个？这样，我们就可将角的概念推广到任意大小的正角、负角和零角，突破了过去00到3600的范围限制。 角可用小写的希腊字母、来记.例如，图6 8中，=450，= 1350。一、弧度制的概念我们知道，周角的为1度的角，记作10角（即把一圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度角）.这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制。 图69角度制下，弧长的计算公式是：L(其中L是度数为的圆心角所对的弧长，是圆的半径，. 下面我们来介绍在数学和其他科学研究中常用的另一种度量角的方法弧度制(如图6 9)。定义 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1r

30、ad，读作1弧度。如图6 9所示，用弧度作单位来度量角的制度称为弧度制。由于角有正负，所以规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。于是，任意一个已知角的弧度数的绝对值为 = L =·r其中，L是角所对的圆狐长，r是圆的半径我们把长度等于半径长的弧所对圆心角的大小叫做1弧度，记作1rad 或1弧度。在图610中，弧的长等于半径r，弧所对圆心角AOB的大小就是1弧度。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。图6 10 图6 11在图611中，弧的长L=2 r，弧所对圆心角AOC的大小就是 2 弧度。于是从弧度的定义知，在半径为的圆中，长度为L的圆弧所对的圆心角的

31、大小等于弧度即 由此得出 即在弧度制中，弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。这一弧长公式比采用角度制时的相应公式（L）简单。想一想 公式L = r中，为什么要对角加上绝对值符号？问 题一个角，既可用角度表示，又可用弧度表示，那么角度与弧度之间存在什么样的关系呢？分 析 圆周长=r，代入公式=，得圆周角=2rad；又因为圆周角等于360°，所以360°=2rad。于是，180°=rad。由此可得： rad = 3600 rad = 1800,1 ,10 . 例1 把下列各角的度数化为弧度数： 37030;（2）15.6°（精确到0.001

32、rad）.解： 37030= （37）0 = 37×rad= rad ; 2 15.6°0.01745rad×15.60.272rad.例2 把下列各角的弧度数化为度数：（1）rad； （2）-1.3826rad（精确到1）. 解：（1）rad=°×2880；（2）-1.3826 rad 57°1745×- (1.3826) -79°13.今后用弧度表示角时，我们规定：“rad”可以省略不写，而只写这个角对应的弧度数。例如 = 1 rad，可以写成= 1；= rad，可以写成= .例2 在半径为120cm的圆中，求

33、600的圆心角所对的弧的长度。解：因为，所以即60°的圆心角所对的弧的长度近似为。二、弧长公式和扇形面积公式我们知道，在角度制下，弧长公式=，扇形面积公式S=。现在我们来推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。根据弧度制下的公式=，即可得弧长公式：=.这说明，圆弧的长等于半径与圆心角的弧度数的绝对值之积。其中，角的单位必须是rad。在角度制下的扇形面积公式S=中，由于n是扇形所含圆心角的角度数，所以就是所含圆心角的弧度数，即=，代入S=，得弧度制下的扇形面积公式： S=.其中，角的单位必须是rad。例3 设电动机的转子直径d=10cm，其转速n=1470。求： 转子每秒钟转过的圆心角；

34、 转子每秒钟转过的圆弧长； 转子旋转一周需要的时间t 。解：（1）所求圆心角=49； 所求圆弧长=49=245245×3.14=769.3（cm ）；（3）所求时间T =0.04（s） .例4 如图612所示，田径运动场的弯道为圆弧。设其中一道宽为1.15m，内弧半径为32m，这段弧所对的圆心角为150°，求这段跑道的面积。 图612解：设所求跑道的面积为S，则S=大扇形面积小扇形面积 = =() 3.14×74.998（）.课堂小结：1、 弧度制的概念2、 扇形的弧长和面积3、 弧度制与度的互算课堂练习：教材113页 练习题 1至6题作业：114页习题 1、2、

35、3题第二章第二节 锐角三角函数教学目标：1、 熟识锐角三角函数的概念2、 熟记并能灵活应用特殊角的三角函数值惊醒阶梯3、 理解同角三角函数的关系式4、 理解诱导公式（一），并能用其求值重难点： 解锐角三角函数及其应用教学过程： 回顾直角三角形角和边的关系。一、锐角三角函数AbCaBc在直角三角形ABC中如下图，C是直角,A、B、C所对的边长分别是、b、c，当锐角A确定之后，三条边、b、c所组成的六个比也就完全确定了，我们把这六个比分别称为角A的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，记为: sinA=, cosA= tanA=, cotA= secA=, cscA=它们统称为锐角的三角函数。显然，

36、锐角三角函数都不可能取负值。由于正割和余割用得比较少，今后求三角函数值时，我们只求前面四个值。二、诱导公式（一）： sinA=cos（90°A），cosA=sin（90°A），tanA=cot（90°A），cotA=tan（90°A）. 在0° 90°间（即0 ）的角所对应的任何三角函数值都是正数，在90° 180°（即 ）间的角所对应的三角函数的值仅有正弦函数的值是正的，其余都是负值。例1求下列各式的值：（1）2sin30°+ (3tan30°)2+cot 45°；（2）解：（1）2

37、sin30°+ (3tan30°)2 + cot45°.=2× + (3×)2 +1= 4；（2）=+=+=2.例2（1）已知sin A = ，且B=90°A，求cosB；（2）已知cos 47°6=0.6807，求sin42°54；(3) 已知tan49°5437=1.1880，求cot40°523解：（1）cosB = cos（90°A ）= sinA = ；(2) sin42°54= sin（90°47°6）= cos47°6=0.6807

38、；(3) cot40°523= cot (90°49°5437)= tan49°5437=1.1880.同角三角函数的基本关系式平方关系 商的关系 倒数关系 利用这些基本关系，我们就可以根据已知角的正弦、余弦、正切、余切中的一个值求出其余三个值。做一做下面的结论对吗？sin2 + cos2 = 1 ; sin22 + cos22 = 1; (tan·cot) 2 = 1 ; tan3·cot = 1 ; tan3· cot 3 = 1; tan2·cot2 = 1 .这两个关系式是三角函数中最基本的关系式。利用它们

39、，可由一个角的正弦、余弦、正切中的某一个值，求出其余两个值。例3设(,)，求和。解：由得因为( )，0，所以 例4设tan = - ,求和（在0 范围内讨论）。解：由，得，即 代入 ，得 ，解之得 0，(,) 即cos 0 ； 课堂小结：1、 锐角三角函数的概念2、 特殊角的三角函数值3、 同角三角函数的基本关系式课堂练习： 课本119页练习 1、3、4、5作业：121页1、2、3、5第三节 解直角三角形教学目标：1、 解直角三角形的概念2、 直线和圆相切转化为解直角三角形的求解3、 直角三角形的求解重难点：利用锐角三角函数解直角三角形。教学过程：回顾锐角三角函数的概念，找出边与角的关系。一、

40、解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。我们知道，如果ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为、b、c，那么除直角C外，其余的5个元素之间有以下关系：（1）三边之间的关系 （勾股定理）； （2）锐角之间的关系 A+B=90°；cotA（3）边角之间的关系 利用这些关系，知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 想一想 上述边角关系的角A若换成的是角B，那么对应的三角函数的边与边比还一样吗？例1 如图6-14，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞

41、行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角=16°31，求飞机A到控制点B的距离（精确到1米）。分析:由图6-14可见,在RtABC中,已知AC,B=,所以可以用锐角三角函数求出AB。解：在RtABC中 图614 图615答：飞机A到控制点B的距离约为4221米。注 如图5-15，当进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。例2 如图5-16，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，A=26°，求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长（精确到0.01米）。 图6 -16分析：由题意可知,ABC为直角三角形,其中

42、C=90°，A=26°，AC=5米，可利用解RtABC的方法求出BC和AB。解： 答：中柱BC约长2.44米，上弦AB约长5.56米。在例2中，求出中柱BC长为2.44米后，也可利用正弦计算上弦AB的长，即由，得这个结果与例2中所得的结果相比较,出现了0.01米的差异。这两个结果都可认为是正确的。例3 燕尾槽的横断面是等腰梯形。图6-17是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°,外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm。求它的里口宽BC（精确到1毫米）。 图 617分析：连结AD，并分别作AE、DF垂直于BC，则AD=EF，BE=FC。又BC=BE+EF+F

43、C=2BE+AD。由于AD已知，只要求出BE，这个问题就解决了。解：作AEBC，DFBC。那么在RtABE中，答：燕尾槽的里口宽BC约为278毫米。在筑坝、开渠、挖河和修路时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。如图6-18，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比）,用字母i表示，即坡度一般写成1：m的形式,如i=1：5（即）。 图 618 如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么显然，坡度越大（于是角越大），坡面就越陡。例4 如图619，为了测量树高MP，先在地面上距数（M）15m的地方选一点N，在点N处放一高为1.5m的测量仪ON，测得仰角为22.50，求树高MP

44、 ? (精确到0.01m) 分析：过点O作OQ垂直于PM于点Q，则MNOQ为一矩形，所以OQ = MN = 15 m，MQ = NO , 又因为PM = PQ + MQ ，在RtOPQ中，把PQ求出即可。解：过点O作OQ PM，垂足为Q，则四边形MNOQ是矩形，所以MN = OQ = 15m，那么在RtOPQ中 tan = 图619 PQ = tan·OQ = tan 22.50×15 0.4142×15 6.21 (m) PM = PQ + MQ = PQ + ON = 1.5 + 6.21 = 7.71(m) 答： 树高为7.71 米。 图 620例5 如图6

45、-20，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB的坡度i=1：3，斜坡CD的坡度。求斜坡AB的坡角，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1米）。解：作BEAD，CFAD。在RtABE和RtCDF中， 因为斜坡AB的坡度， 18°26 答：斜坡AB的坡角约为18°26,坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米。在例5中，也可由，得，求得图521例6 如图621，在机械制图中，锉制 25 × 25 的方铁，需领多大直径的圆钢？（注意：在机械制图中，在图纸上不标出的长度单位是mm）.分析：图中正方形的对角线，就是圆钢的直径D。 解：方法一、

46、sin450 = D = 35.36 (mm)方法二、 由勾股定理得： D2 = 252 + 252 = 625 + 625 = 1250 D = 35.36 (mm) 答：需要直径约为35.36 mm的圆钢。 图 622 上面讲的知识全部都是直接在直角三角形中解题，下面加辅助线等方法间接转化为解直角三角形的情况。二、直线与圆的位置关系做一做 请用量角器测量下图622中的角，那些角相等？通过这些图522数据你能找出什么规律？ 观察图623，你能得出什么规律？图623 在同圆或等圆中，同弧或等狐所对的圆周角相等。 一条狐所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角，900的圆周

47、角所对的弦是直径。直线和圆的位置关系： 观察图624可以发现，直线和圆有三种位置关系：相交、相切、相离。 相交：直线和圆有两个公共点。图624相切：直线和圆只有唯一公共点，这时这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫切点。 相离：直线和圆没有公共点。如图625，AB是过圆心O的直径，CD与圆只有唯一的一个交点，所以直线CD与圆相切，CD是圆的切线切点就是A .又因为ABCD, 所以我们得到以下规律： 图625过切点的直径（或半径）与切线垂直。 经过直径（或半径）的一端，并且垂直于这条直线的直径（或半径）的直线就是圆的切线。 例7 如图626，点P为O外一点，过点P作圆的切线PA和圆相切一点A，

48、连接OP，已知点P到圆心O的距离为6cm，P = 30°,求点P到点A的距离和圆的面积。图626 分析：我们连接OA，OA为半径，它就应该垂直于过切点A的切线PA，从而就转化成解RtPOA了。解：连接OA，所以OA是圆的半径，因为PA和圆相切，所以PAO是直角。在RtPOA中 cosP = PA = OP ·cosP = 6×cos 30° = 6 × = 3 (cm) tan P = OA = PA ·tanP OA = 3× tan 30° = 3× = 3 (cm)圆的面积为 ： S圆 =·

49、; r2= 32×= 9（cm2） 答，圆的面积为9cm2，点P到A的距离为3 cm。 例8 如图627，BC是圆O的直径，P是CB延长线上的一点，PA切O于点A，APC =图627.30°，PA = ，求PB的长？分析：因为点A是O的切点，连接OA，OA =OB，则半径OA垂直过切点A的切线PA，即PAO是直角，PAO是Rt，只要求得直角三角形的斜边PO，利用PB = PO OB就可以解决PB的长了。解：来；连接OA，则半径OA就垂直于过切点A的切线PA，PAO为直角.在RtPAO中， tan P = OA = tan P·PA = tan 30°&#

50、215; = × = 1又sinP = PO = = = = 2 PB = PO OB = 2 1= 1 答：PB长为 1 。 小结：1、 解直角三角形的概念2、 利用锐角三角函数求解直角三角形3、 直线和圆的位置关系，直线和圆相切形成的直角三角形的解题课堂练习： 课本132页 练习 1、2、3、4、5、6课后作业： 课本133页 习题 1、2、3、4、5第四节 解斜三角形教学目标：1、 熟识正弦定理和余弦定理的概念2、 能熟练应用正、余弦定理解斜三角形3、 正、余弦定理在现实生活中的应用重难点： 利用正余弦定理求解任意三角形的边和角的问题教学过程：三角形除了前面讲的直角三角形，在现

51、实生活中，还有很多是结构形状类似任意三角形的形状：如伟大古代建筑金字塔，广播电视发射台和手机移动信号发射台，在车间加工出的许多表面呈三角形的零件，一些学习用具形状等。掌握住了直角三角形和任意三角形的求解方法后，将对我们以后在测量、建筑（如上图）、力学工程等学习和工作上打下坚实基础。在上一节我们已会解直角三角形,即已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角。那么，如何来解斜三角形呢？即根据斜三角形中的已知的边与角如何求出未知的边与角呢？为此，我们先来学习两个重要的定理正弦定理和余弦定理。一、正弦定理正弦定理 在任意三角形中，各边与它所对角的正弦之比相等，并且都等于三角形外接圆的直径，即 图62

52、8利用正弦定理求三角形的未知元素，主要有以下两种情形：（1）已知两角和一边，求其他元素；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他元素。例1 在中，已知求分析，知道的是A、C两角和A的对边a，满足用正弦定理的条件来解题（已知两角，第三角可用三角形内角和公式，即A+B+C=180°求出B）。解： 因为A + B + C = 180°,所以.由正弦定理得，所以同理由正弦定理得，所以想一想 在例1中，如已知，能求出吗？如果已知，能求出吗 ？例2 如图6-29所示，在ABC中，已知b=10，c=6，B=60°,求C.分析：已知a、b两边及边a的对角，满足正弦定理条件解题。解: 由正弦定理得 sinC0.51960,C可以是锐角,也可以是钝角,C31°18或 C180°31°18=148°42. 图629148°42+60°=208°42180°,C148°42应舍去.C31°18.例3 在ABC中，已知a=,b=2,A = 30°求B、C、。解：在ABC