(完整版)高中数学竞赛知识点

1、均值不等式数学被称为均值不等式。 ·即调和平均数不超过几何平均数，几何调几算方 ”。平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为其中：，被称为调和平均数。，被称为几何平均数。，被称为算术平均数。，被称为平方平均数。般形式设函数时），有 时， 。当 r 不等于 0 时）； （当r=0可以注意到， HnGnAnQn 仅是上述不等式的特殊情形，即特例对实数 a,b，有 （当且仅当 a=b 时取“ =号”），（当且仅 当 a=-b 时取 “ =号”） 对非负实数 a,b，有，即 对非负实数 a,b，有对实数 a,b ，有 对非负实数 a,b，有对实数 a,b ，有对实数 a,b

2、,c ，有 对非负数 a,b ，有对非负数 a,b,c ，有在几个特例中，最著名的当属算术 几何均值不等式（ AM-GM 不等式）：当 n=2 时，上式即：当且仅当 时，等号成立。根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即排序不等式基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 根据基本不等式 只需证 原结论正确棣莫弗定理设两个复数 （用三角形式表示） ，则： 复数乘方公式： .圆排列定义从 n 个不同元素中不重复地取出 m （ 1 mn）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同 元素的圆排列。 如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个 m-圆排列， 则认为这两个圆排列相 同。计算公式n 个不同元素的

3、m- 圆排列个数 N 为：特别地，当 m=n 时， n 个不同元素作成的圆排列总数 N 为： 。费马小定理费马小定理 (Fermat Theory) 是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如 p 是质数，且 (a,p)=1 ，那么 a(p- 1) 1( mod p )。即：假如 a 是整数， p 是质数，且 a,p 互质 (即两者只 有一个公约数 1)，那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。 组合恒等式组合数 C(k,n) 的定义：从 n 个不同元素中选取 k 个进行组合的个数。 基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k

4、-m,n-m) C(i,n)=2n (-1)i*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) (这个性质叫组合的【聚合性】)C(k,n)+C(k,n+1)+ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n) 韦达定理 逆定理如果两数 和 满足如下关系： += ， ·=，那么这两个数 和 是方程的根。通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。 5推广定理韦达定理不仅可

5、以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元 n 次方程 根与系数的关系。定理：设 (i=1 、2、3、n)是方程：的 n 个根，记k 为整数)，则有：。 实系数方程虚根成对定理：无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设 X 为最小的解。从 X 推出一个更小的解 Y 。从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。中国剩余定理说明： 假设整数 m1,m2, . ,mn 两两互质， 则对任意的整数： a1,a2, . ,an ，方程组 有解，并且

6、通解可以用如下方式构造得到：设是整数 m1,m2, . ,mn 的乘积，并设是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。设 为 模 的数论倒数 ：方程组 的通解在模 的意义下，方程组 只有一个解同余公式也有许多我们常见的定律 ,比如相等律 ,结合律 ,交换律 ,传递律 .如下面的表示:1) a a(mod d)2) a b(mod d) b a(mod d)3) (a b(mod d),b c(mod d) a c(mod d) 如果 a x(mod d),b m(mod d),则4) a+b x+m (mod d )其中 ax (mod d) ， bm(mod d)5) a- bx-m (

7、mod d)其中 a x (mod d),b m (mod d)6) a*b x*m (mod d )其中 a x (mod d),b m (mod d)7) ab( mod d )则 a-b 整除 d欧拉函数 函数的值 通式： (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4) .(1-1/pn), 其中 p1,p2 pn为 x的所有质因数， x是不为 0的整数。 (1)=1 (唯一和 1互质的数 (小于等于 1)就是 1 本身)。 (注意：每种质因数只一个。比如 12=2*2*3 那么( 12 ) =12* ( 1-1/2 ) *(1-1/3)=4若 n 是质数 p

8、 的 k 次幂， (n)=pk -p(k-1)=(p-1)p(k-1) ，因为除了 p 的倍数外，其他 数都跟 n 互质。设 n 为正整数，以 (n)表示不超过 n 且与 n 互 素的正整数的个数，称为 n 的欧拉函数值，这里函数 ：NN ，n (n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数 若 m,n 互质， (mn)=(m) (n。) 特殊性质：当 n 为奇数时， (2n)= (n), 证明与上述类似。 若 n 为质数则 (n)=n-1 。格点 定义 数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点 (lattice point) 或整点。 性质1、格点多边形的面积必为整数或半整数(奇数的一

9、半)。2、格点关于格点的对称点为格点。3、格点多边形面积公式(坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也 有格点多边形的概念。)设某格点多边形内部有格点 a 个，格点多边形的边上有格点 b 个， 该格点多边形面积为 S ，则根据皮克公式有 S=a+b/2-1 。 4，格点正多边形只能是正方形。 5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。 三面角 定义三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作 O-ABC 。 特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。三面角的补三面角： 由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射 线组成

10、的三面角叫做已知三面角的补三面角。性质1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于 540°。三面角相关定理设三面角 O-ABC 的三个面角 AOB 、BOC 、AOC 所对的二面角依次为 OC ， OA ，OB。1、三面角正弦定理：sin OA/sin BOC=sin OB/sin AOC=sin OC/sin AOB 。 2、三面角第一余弦定理：cos BOC=cos OA× sin AOB× sin AOC+cos AOB× cos AOC 。3、三面角第二余弦定理：cos OA=cos BOC

11、× sin OB× sin OC-cos OB× cos OC 。直线方程 一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向 式，点向式。点斜式已知直线一点 （x1,y1,） 并且存在直线的斜率 k，则直线可表示为： y-y1=k（x-x1） 。适用范存在的直线。两点式两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（X1，Y1），（X2 ，Y2）时，将直线的斜率公式 k=（y2-y1）/（x2-x1） 代入点斜式时，得到两点式（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1） 。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线

12、。截距式已知与坐标轴的交点（ a，0），（ 0， b）时，截距式的一般形式： x/a+y/b=1 （a0且 b0）。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。一般式ax+by+c=0 （A 、B 不同时为 0）。斜率： -A/B 截距： -C/B 。两直线平行时：A1/A2=B1/B2 C1/C2 ，则无解。两直线相交时： A1/A2B1/B2；两直线垂直时： A1A2+B1B2=0 A1/B1 ×A2/B2=-1 ，都只有一个交点。两直线重合时： A1/A2=B1/B2=C1/C2 ，则有无数解。 适用范围：所有直线均可适用。法线式过原点向直线做一条的垂线段

13、，该垂线段所在直线的倾斜角为，p 是该线段的长度。x·cos +y sin- p=0。法向式知道直线上一点（ x0 ，y0 ）和与之垂直的向量（ a， b），则 a（ x-x0 ）+b（y-y0）=0， 法向量 n=（a， b ）方向向量 d= （ b ， -a ） k=a/b 。点向式知道直线上一点 （x0,y0） 和方向向量（ u,v ）， （x-x0）/u=（y- y0）/v （u 0,v 。0）极坐标系极坐标系( polar coordinates )是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平 面上取定一点 O，称为极点。从 O 出发引一条射线 Ox ，称为极轴。再取定

14、一个长度单位， 通常规定角度取逆时针方向为正。 这样，平面上任一点 P的位置就可以用线段 OP的长度 以及从 Ox 到 OP 的角度来确定，有序数对( ，)就称为 P 点的极坐标，记为 P(， )； 称为 P 点的极径， 称为 P 点的极角。极坐标方程于极点( 90°/270 °)对称，如果 r( -) = r( ，则)曲线相当于从极点顺时针方向旋转 °。 圆方程为 r( ) = 1的圆。在极坐标系中，圆心在 (r0, 半) 径为 a 的圆的方程为 r2- 2rr0cos( -)+r02=a2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r( )=a表

15、示一个以极点为中心半径为 a 的圆。直线经过极点的射线由如下方程表示=,其中为射线的倾斜角度，若 k 为直角坐标系的射线的斜率，则有 = arctan k。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点(r0, )处的直线与射线 = 垂 直，其方程为r( )=r0sec( -) 圆幂点到圆的幂：设 P为O所在平面上任意一点， PO=d ， O的半径为 r，则 d2r2三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴 )所在直线交于一点1定义从一点 A 作一圆周的任一割线，从 A 起到和圆相交为止

16、的两段之积，称为点A 于这圆周的幂2圆幂定理已知 (O, r) ，通过一定点 P，作 O的任一割线交圆于 A, B，则 PA，PB 为 P 对于 O 的幂，记为 k，则当 P 在圆外时， k=PO2-r2 ；当 P 在圆内时， k= r2-PO2 ；当 P 在圆上时， k=0.图：相交弦定理。如图，AB、CD 为圆 O 的两条任意弦。相交于点 P，连接 AD、BC， 由于B与D同为弧 AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知： B=D，同理A=C， 所以 。所以有： ，即： 。图：割线定理。如图，连接 AD、BC。可知B=D，又因为 P 为公共角，所以有 ，同上证得 。图：切割线定理。如图，连接

17、AC、 AD。PAC 为切线 PA 与弦 AC 组成的弦切角， 因此有 PBC= D，又因为 P 为公共角， 所以有，易图 ：PA 、PC 均为切线， 则PAO= PCO=9°0 ，在直角三角形中： OC=OA=R ，PO 为公共边，因此 。所以 PA=PC ，所以 。综上可知， 是普遍成立的。 根轴 定义在 平面上任给两不同心的圆，则对两圆 圆幂相等的点的 集合是一条直线，这条线称为这 两个圆的根轴。另一角度也可以称两不 同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。根轴方程设两圆 O1,O2 的方程分别为：(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0(1)(x-a2)2+(y-b

18、2)2-(r2)2=0(2)由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点 (x,y), 有(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圆幂 =(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2两式相减，得根轴的方程(即 x,y 的方程 )为2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中 f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2,f2解的不同可能类似。(1)(2) 连立的解，是两圆的公共点 M(x1,y1),N(x2,y2) 如果是两组不等实数解， MN 不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。 如果是相等实数解， MN 重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。 如果是共轭虚数解，两圆相

19、离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称 M,N 是 共轭虚点。尺规作图相交 ,相切时 根轴为两圆交点的连线内含时 ,作一适当的圆与两园相交 ,这圆与两圆的根轴的交点在根轴上 . 同理再作一点 ,两点所在的直线即为根轴 （等幂轴 ）相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线； 2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； 3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线； 4，若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。 5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交 于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行； 6， 反演后的圆和反演圆和被反演的圆3 个圆共根轴。容斥原理也可表示为：设 S 为有限集 , 则两个集合的容斥关系公式： AB =|A B| = |A|+|B| - |AB |（ ：重合的部分） 三个集合的容斥关系公式： |ABC| = |A|+|B|+|C| - |AB| - |BC| - |CA| + |A BC|抽屉原理第一抽屉原理原理 1： 把多于 n+k 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两 件。证明（反证法）：如果每个