高一数学函数、函数与方程知识点总结

1、函数三要素函数的表示方法 单调性函数函数的根本性质y1=y, x1-a=x= y=f (x +a) y 1=y , x 1+a=x=, y=f x - a x1=x, y1-a=y= y-b=f x x1=x , y1-b=y= y+b=f x近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射定义域值域对应法那么解析法列表法图象法传统定义：在区间a, b上,假设a& x1 <x 2 < b,如果f(x1 )< f (x2 ),那么 f(x )在a, b上递增,a, b是递增区间；如果f (x)> f (x2), 那么f (x )在a, b上递减,a, b是递减区间.导

2、数定义：在区间a, b上,假设f (x )> 0,那么f(x )在a, b上递增,a, b 是递增区间；假设f (x )<0,那么f(x )在a, b上递减,a, b是递 减区间.A最大值：设函数y=f (x )的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意的曰x W |,都有f仅产M ;存在x0 W I,使得f(x0 )=M ,那么称M是J <函数y=f (x "勺最大值.最小值：设函数y=f(X )的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意 的xW I,都有f (x )>M ;存在x0 W |,使得f(x0 )=M ,那么称 M是函数y=f(x)的最大值.奇(

3、-X )= -f (x ), xW定义域D,那么f(x )叫做奇函数,其图像关于原点对称.性f(-x)= f(x),x W定义域D,那么f(x )叫做偶函数,其图像关于y轴对称.周期性：在函数f(x )的定义域上恒有f(x +T卜f (x ) (TW0的常数)那么f(x ) 叫做周期函数,T为周期；T的最小正值叫做f(x )的最小正周期,简称 周期.描点连线法：列表、描点、连线向左平移a个单位: 向右平移a个单位: 向上平移b个单位: 向下平移b个单位:函数图像的画法变换法对称变换横坐标变换:横坐标变换:2于点(关于直线关于直线把各点的横坐标X1缩短(当w>1时)或伸长(当0<w

4、<1时)到原来的1/w倍(纵坐标不变),即x1=wx = y=f (wx )把各点的纵坐标y1伸长(当A >1时)或缩短(当0VA <1时)到原来的A倍(横坐标不变),即y1=y/A= y=f (x ) x+x 1 =2x x0,y0)对叫y+y 1 =2yx=x 0对称x=x 0对称关于直线y=x对称x+xy=yx=xy+y1 =2x 0 -x_1=2y2-y0-y =f 2x0 -x x 1 =2x0 -x y1=y = y=f 2x0 -xx 1 =xy1=2>lj题精2娜尸仪)x=x 1<y=y 1y=f-1 x例 1. (1)设 A=a,b,c,B=-1

5、,0,1, 映射 f :2B假设映射f满足f(a)>f(b) >f(c),那么映射f的个数为. ( 4)解： 列表法：: f(a)>f(b) >f(c) f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察：f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合条件的映射是4个.例 2. (1) f(x)=x 2+2x-1(x>2),求 f(2x+1)的解析式;(2)五+1)=1+2«求f(x + 1)的解析式.解：(1) -. f(x)=x 2+2x-1 (x>2):以2x+1替代上式

6、中的x得f(2x+1)=(2x+1) 2+2(2x+1)-1 (2x+1>2) .f(2x+1)=4x 2+8x+2 (x>1/2 )(2)由得 f L及+1)=(7+ D -1+ l 之 1)Mx替代上式中的 MX+1得f(x)=x 2-1 (x >1) .f(x+1)=(x + 1)2-1 (x+1 >1) 即 f(x+1)=x 2+2x (x >0)3一+ Jr例3.(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f( 2)=-f(x),又f(2)=1 ,f(1)=a,那么a=<(2)函数f(x)的最小正周期为2T,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数

7、x都成立,那么对f(x)的奇偶性的判定是？3 “解：(1)由f( 3 “户-f(x)知f(x)是周期函数,且 3是f(x)的一个周期,又 f(x)为偶函数Q f(-x)=f(x)(x R R),在此根底上,寻觅条件中的f(2)与f(1)的联系： f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1)而 f(1)=a , f(2)=1 ,：a=1(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) 又这里f(x+T)=f(T-x)为了靠拢,在中以(x+T)替彳x的位置得f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x);由, 得f(-x)=f(x)：f(x)为偶函数.易错题例4.函数f(x)= -,

8、y=g(x)的图象与y=/ (芯 + D的图象关于直线y=x对称,求1 xg 1- 1的值.2典型错解:由题设知g(x)与 广91) 互为反函数 (IQ学优教育= 一 D 朋友式相处快乐式学习134g(x)=f(x+1) 由此得 g( 2)=f(2)=-工错因分析：上面正确,由导出出现错误.在这里g" 的反函数是 g(x),但J (X+1)的反函数却不是f(x+1).认知：由求反函数的"三部曲"易知 y=f(x+1)的反函数不是 y=rM ,而是 yjT-1 =尸.+ 1) 的反函数不是y=f(x+1),而是y=f(x)-1.正确解法：(着力于寻求 /2I) 的解

9、析式)：由得(X)= (x,-2)2 x' '.-I'=-上x 3又由题设知 g(x)的反函数为j (1+ 1)g%) /(加)总x 3令g( )=b ,那么g (")=一 ：由得 =,解得 b=-1 ,22b 32g( )=-1.2当堂检测x-3,(x -10)1.设函数f (x)=, 八 ),那么 f (5) f (x 5),(x < 10)22 .f(x)的定义域为2, 2,求f(x 1)的定义域3 . f(x)+2f(1 )=3x,求 f(x)的解析式.x4 .设f(x)是在(-oo,+oo)上以4为周期的函数,口 f(x)是偶函数,在区I可2,

10、3上时,f(x)=-2(x-3)2+4,求当 x 1,2时 f(x)的解析式,、-1-5.函数 f (x) = 2ax - -, x = (0,1, x(1)假设f (x)在x(0,1是增函数,求a的取值范围；(2)求f(x)在区间(0,1上的最大值.直击高考第3页共6页1.函数(x00)的反函数是(B )2.(2004北京卷)函数f(x)=D. y=(x>0)X2 -2ax-3在区间1 , 2上存在反函数的充分必要条件是(D )A. a G (- 8, 1B. a G 2 , ) C. a G 1 , 2 D. a (- g, 1 U2 ,3.设函数f(x)的图象关于点(1 , 2)对

11、称,且存在反函数f(X), f(4)=0 ,那么f (4) =_-25.函数y=f(x)是奇函数,当x?0时,f(x)= j -1.设f(x)的反函数是y=g(x),那么g(-8)= _-26.假设存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px - )( x G R),那么f(x)的一个正周期为p/2_知识梳理零点与根的关系函数与方程二分法求方程的近似解零点：对于函数y=f (x ),我们把使f(x )=0的实数x叫做函数y=f (x )的零点定理：如果函数y=f (x堆区间a, b上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有f(a) f(b)<0,那么,函数y=f (x )在

12、区间a, b内有零点.即存在cW (a, b),使得f(c)=0.这个c也是方程f (x卜0的根.关系：方程f (x>0有实数根u 函数y=f(x再零点u 函数y=f (x )的图像与x轴有交点确定区间a, b,验证f(a) f(b) <0,给定精确度Z ;求区间a, b的中点c；计算f c ； 假设f(c卜.,那么c就是函数的零点； 假设 f (a ) f (b ) <.,那么令b=c (此时零点 x0W (a,b)； 假设 f (c>f(b)<0,那么令a=c (此时零点 x0W (c,b);判断是否到达精确度 "即假设a-b?a,那么得到零点的近似

13、值 a(或b)；否那么重复以上步骤.例题精讲学优教育朋友式相处快乐式学习221.函数f(x) = x十(a 1)x + a 2的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围22解：设万程x +(a 1)x+a-2 =0的两根分别为x1,x2(x1cx2),那么(x1 -1)(x2 -1)<0,所以 x1 x2 -(x1 +x2) +1 <0由韦达定理得a-2+(a2 -1)+1 <0,2即 a +a 2 <0,所以一2 <a 父122 3 ,2 .判断函数f (x) =4x+x2 -x3在区间1,1上零点的个数,并说明理由. 3.一,一27-2 13解：由于

14、 f(1)=T+1+ = <0, f (1 =4 + 1>03333所以f(x声区间1,1上有零点又 f' x =4 2x -2x2 =,9当一1 <x <1 时,0 E f x)<9 2所以在一1,1上单调递增函数,所以 f (x声1,1上有且只有一个零点易错题3 .设Mx )=3x +3x8,用二分法求方程3x +3x8 = 0在xW (1,2)内近似解的过程中得f(1)<0, f (1.5 )>0, f (1.25 )父0,那么方程的根落在区间(b )A. (1,1.25) B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D,不能确定当堂检

15、测21 .如果二次函数 y=x +mx + (m + 3)有两个不同的零点,那么 m的取值范围是()A. -2,6 B. 1-2,61C. *-2,6)D. -二,-2 U 6,二22 .函数f(x)=x 1,那么函数f(x1)的零点是3 .假设方程ax-x-a=0有两个实数解,那么 a的取值范围是()A. (1,二) B. (0,1) C. (0,2) D. (0,二)54 .函数f(x) = x +x-3的实数解洛在的区间是()第5页共6页A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,45 .求函数f (x) =2x33x+1零点的个数为 ()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4直击高考21.设二次函数f (x) = x+ax十a ,万程f (x) x = 0的两根x1和x2满足0cxic x2 < 1 ；(D求实数a的取值范围； 1 1,(2)试比拟f (0 )f (1 )f (0户行的大小,并说明理由.解：令 g(x) = f (x) x = x2+(a-1)x + a那么由题意可得：飞>01 -aa > 02 21 仁-1： a ：1= 0 ：a<3-2、2的1)>0a <3-2&,或a3+2