2020-2021中考数学圆的综合综合练习题附答案解析

1、2020-2021中考数学圆的综合综合练习题附答案解析一、圆的综合1.如图1,已知扇形 MON的半径为 J2 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结 BM , 作OD, BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.&后图,14 .2x【答案】(1)证明见解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,即可得出

2、结论;x 2 )；(3) x由 1OA OE (3)(2)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE=1(8 x),再判断出BD AE2OC 2DM“，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1) - OD± BM, AB± OM, . . / ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.OB=OMODXBMBD=DM.1.

3、DE/AB,DMBDMEAEAE=EM. OM=V2,AE=1(近 x).21. DE/AB,OAOC2DMOEODODDMOAOD 2OEy xm(0<x我)1 -OC 21X .在 RtAODM 中, 21(3) ( i)当 OA=OC时. DM BM 2OD J'OM 2 DM 2 22 1x2 .1或x瓶八（舍）.22(ii)当 AO=AC时，则 /AOO/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M ,

4、Z M=90° - a, . . a> 90° a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2 .如图，已知 4ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG,AC于G,交BC的延长线于F.（1）求证：AE=BE（2）求证：FE是。的切线；（3）若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.【答案】

5、（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 3【解析】（1）证明：连接CE,如图1所示： BC是直径，/ BEC=90 ； CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示：. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，FE是。的切线.(3)解：.EF是。的切线，FH=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3.CG 2 I63上十"，解得：CG=J .OE/. &quo

6、t;CS CG FCOEFO点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.AC的延长线交于点 D,点E在3 .如图，AB是半圆的直径，过圆心 。作AB的垂线，与弦OD 上 DCE B .(1)求证：CE是半圆的切线；2(2)若CD=10, tanB 2,求半圆的半径.3分析：(1)连接CO,由 DCE B且OC=OB导 DCE判断出/BCO+/ BCE=90,即可得出结论；(2)设AC=2x,由根据题目条件用 x分别表示出OA、AD、 列出等式即可.OCB,利用同角的余角相等AB,通过证明 AODACB,C

7、O./ DCB=180 -°Z ACB=90 : / DCE-+Z BCE=90. °,.OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 : OCX CE OC是半径, .CE是半圆的切线.(2)解：设 AC=2x,_ AC 21 .在 RHACB中，tanB ， BC 3BC=3x.AB 2x 2 3x 2、13x.2 .ODXAB,/ AOD=ZACB=90.°/ A=Z A,3 .AODAACBlAC AO.AB AD1 .13 OA -AB -x,AD=2x+10, 2221 13x2x 2.J13x 2x

8、 10解得x=8.OA -13 8 4 13 . 2则半圆的半径为4.13.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形4.如图，点P是正方形 ABCD内的一点，连接 PA, PB, PC.将 PAB绕点B顺时针旋转 90°到P'CB的位置.(1)设AB的长为a, PB的长为b(b<a),求 PAB旋转到 P'CB的过程中边PA所扫过区域(图 中阴影部分)的面积；(2)若 PA=2, PB=4, /APB=135°,求 PC 的长.t)IT【答案】(1) S阴影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：(1)依题意，将'

9、 CB时针旋转90。可与4PAB重合，此时阴影部分面积 二扇 形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。，可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP；根据旋转的性质可知： BP=BP；旋转角ZPBP'=90°,则4PBP是等腰直角三 角形，/BP'C=/ BPA=135, /PP'C=/ BP'C-Z BP'P=135°-45 =90°,可推出PP'C是直角三角 形，进而可根据勾股定理求出 PC的长.试题解析：(1)二,将4PAB绕点B顺时针旋转90°到AP' C

10、B位置，.PABAP'CB,Sa pae=Sx p'cb,HS阴影=S扇形bac-S扇形bpp =斗(a2-b2);(2)连接PP,根据旋转的性质可知：APBCP BP.BP=BP ' ,=P' C=PA=2 PBP' =90 ° PBP是等腰直角三角形，p'p2=pb2+P'B2=32；又 / BP C= BPA=135,./PP' CBP'-aBP' P=1355°= 90 ；即 APP'是直角三角形.PgPP" P。'.考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；

11、3.旋转的性质.5.如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点 C作AC的垂线交AD 的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5反，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的长.【答案】(1)见解析；(2) 5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90O,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用4ADC4AC耳得出AC2=AD?AE,进而得出答案.详解：(1)连接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC为。的

12、直径， / ADO/ EDC=90 °.点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°.,DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, -Ab = ?c，-BC=AB=5V2 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又. AC，CE . ./ACE=90。，AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD： DE=4： 1,，AD=4x, A

13、E=5x,.-100=4x?5x,，x=75, .DE=T5.点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.6.如图，在RtAAB的，/ABC=90°, AB=CB,以AB为直径的。交AC于点D,点E是 AB边上一点(点 E不与点A、B重合)，DE的延长线交。于点G, DF± DG,且交BC于 点F.(1)求证：AE=BF;(2)连接 EF,求证：/FEB=Z GDA；(3)连接GF若AE=2, EB=4,求 A GFD勺面积.【答案】（1） （2）见解析；（3） 9【解析】分析：（1）连接BD,由三角形ABC为等腰直角三

14、角形，求出 / A与/C的度数，根据 AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到/ADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边1上的中线等于斜边的一半，得到 AD=DC=BD=bAC,进而确定出/A=/FBD,再利用同角的 余角相等得到一对角相等，利用 ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形 对应边相等即可得证；（2）连接EF, BG,由三角形 AED与三角形BFD全等，得到ED=FD,进而得到三角形 DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利 用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结 论；（3）由全等

15、三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据 三角形的面积公式计算即可.详解：（1）连接 BD.在 Rt ABC 中，ZABC=90°, AB=BC, . . / A=/C=45°.1. AB为圆 O 的直径，Z ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC=BD=AC, Z CBD=Z C=45 ,2/ A=/ FBD.DF± DG, ./FDG=90 ： ZF

16、DB+Z BDG=90 °.A FBD ZEDA+Z BDG=90 °, . . / EDA=/FDB.在 AED和 4BFD 中，AD BD ,EDA FDB2 .AEDABFD (ASA) , . AE=BF；(2)连接 EF, BG.3 AAEDABFD, . DE=DF.4 ZEDF=90°,AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45°.5 ZG=Z A=45 °,ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / FEB=/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA；(3) AE=BF, AE=2, .BF=2 .在 RR EBF

17、 中，Z EBF=90 °,根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2. EB=4, BF=2,EF=742 22 =245. 4DEF为等腰直角三角形,DE/EDF=90 ,cosZ DEF=EF- EF=2V5, DE=2 ZG=Z A, ZGEB=ZAED,.GEBAAED, . . GE =空，即 GE?ED=AE?EB,AE EDM?GE=8,即 gE=40 ,5贝U GD=GE+ED=9 - 10 .51S GD DF GD219、10DE 2510 2点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判

18、定与性质，熟练掌握判定与性质是解答 本题的关键.7.如图，在以点 。为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线.与大圆交于点B,点D在大圆上，BD与小圆相切于点 F, AF的延长线与大圆相交于点 C,且CE! BD.找出图中相等的线段并证明.【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小。的直径，可得 OA=OE,连接OF,根据切线的性质，可得OF± BD,然后由垂径定理，可证得 DF=BF,易证得OF/ CE,根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形 ABCD是平行四边形，则可得 AD=BC, AB=CD然后连接 OD、OC,可证得 AAOD2则可得 BC=AD=C

19、E=AE试题解析：图中相等的线段有： OA=OE DF=BR AF=CR AB=CQ BC=AD=CE=AE 证明如下：.AE是小。的直径，OA=OE.连接OF,BD与小O O相切于点F, .OFIBD. BD是大圆O的弦， DF=BF. - CE± BD,.CE/ OF, .AF=CE二四边形ABCD是平行四边形. .AD=BC, AB=CD.,. CE： AE=OF： AO, OF=AO, .".AE=EC连接OD、OC,-.OD=OC,Z ODC=Z OCD. - Z AOD=Z ODC, /EOC"OEC, Z AOC=Z EOQ.AO* EOG.AD=C

20、EBC=AD=CE=AE【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与 性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思 想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解.8.阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一 条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 先构造 辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。解决问题：如图，点 A与点B的坐标分别是(1,0), (5, 0),点P是该直角坐标系内 的一个动点.(1)使/APB=30的点P有 个；(2)若点P在y轴正半轴上，且/A

21、PB=30,求满足条件的点 P的坐标；(3)设sin/APB=m,若点P在y轴上移动时，满足条件的点P有4个，求m的取值范 围.【答案】(1)无数；(2) (0, 23 、7)或(0, 2出；(3) 0<m< 23【解析】试题分析：(1)已知点A、点B是定点，要使/APB=30°,只需点P在过点A、点B的圆 上，且弧AB所对的圆心角为 60。即可，显然符合条件的点 P有无数个.(2)结合(1)中的分析可知：当点 P在y轴的正半轴上时，点 P是(1)中的圆与y轴的 交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标.(3)由三角形外角的性质可

22、证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要/APB最大，只需构造过点 A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得 /APB最 大的点P,由此即可求出 m的范围.试题解析：解：(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC,以点C为圆心，AC为半径作OC,交y轴于点P1、P2.在优弧 AP1B 上任取一点 P,如图 1,则/APB=1 / ACB=1 X 60=30°, .使 / APB=30 ° 的点 P 22有无数个.故答案为：无数.(2)点P在y轴的正半轴上，过点 C作CGJ±AB,垂足为 G,如图1.点 A (1, 0)，点 B (5, 0

23、) , .OA=1, OB=5,，AB=4.点 C 为圆心，CG± AB, /.AG=BG=-AB=2 . . OG=OA+AG=3 2 ABC 是等边三角形，AC=BC=AB=4,CG=；AC2""AG2=42 22=2j3,点 C 的坐标为(3, 2J3).过点C作CD，y轴，垂足为D,连接CP2,如图1 .二点C的坐标为(3, 2，3), .CD=3, OD=273 .Pi、巳是。C与 y 轴的交点，/ ARB=/AP2B=30°. CP2=CA=4, CD=3, ，DP2=432' = ".点 C 为圆心，CD)± P

24、1P2,PiD=P2D=V7 ,Pi (0, 273+77) , P2 (0, 2瓜-币).(3)当过点A、B的。E与y轴相切于点P时，/APB最大.理由：可证： /APB=/AEH,当/APB最大时，/AEH最大.由sinZAEHk 得当 AEAE最小即PE最小时，/AEH最大.所以当圆与 y轴相切时，/APB最大./APB为锐角， .sin/APB随/ APB增大而增大，.连接EA,彳EHI±x轴，垂足为H,如图2. OE与y轴相切于点P,. PE±OP. EHXAB, OPXOH, . / EPO=/POH=/EHO=90 ； . .四边形 OPEH是矩形，. . O

25、P=EH,2 2PE=OH=3,EA=3. sinZ APB=sinZAEH= ,，m 的取值氾围是 0m.3 3T 卡 / - f fJ小图1-图2点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与 性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强.同时也考查了创造性思维，有一 定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.9.如图，在 RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上，OO经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.(1)求证：BC是。的切线；(2)若。O的半径是2cm, E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留兀和根号)【解析

26、】 【分析】(1)连接(2)连接 【详解】(1)连接1)证明见解析OD,只要证明OD/AC即可解决问题；OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA.OE, OE交AD于K.只要证明4AOE是等边三角形即可解决问题. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； . . OD,BC, . BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.Ae De，ad./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等边三角形，ZAOE=60°,.SmS 扇形 oae-

27、 Sa aoe 602- - 22 V3 .36043【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.10.已知：如图，在四边形 ABCD中，AD/BC.点E为CD边上一点，AE与BE分别为 /DAB和/CBA的平分线.(1)请你添加一个适当的条件 ,使得四边形 ABCD是平行四边形，并证明你的结 论；(2)作线段AB的垂直平分线交 AB于点O,并以AB为直径作OO (要求：尺规作图，保 留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，。交边AD于

28、点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,2）作出相应的【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析;图形见解析；（3）圆O的半径为2.5.【解析】分析：（1）添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出 AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到/AGF=/ AEB,根据sin/AGF的值，确定出sin/AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的

29、半径.详解：（1）当AD=BC时，四边形 ABCD是平行四边形，理由为：证明：AD/ BC, AD=BG四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC;（2）作出相应的图形，如图所示；(3) .AD/BC, / DAB+/ CBA=180 ；.AE与BE分另1J为/ DAB与/CBA的平分线, / EAB+Z EBA=90 ,°/ AEB=90 ； AB为圆O的直径，点F在圆。上，/ AFB=90 ,° / FAG+Z FGA=90 ,° . AE 平分 / DAB,Z FAG=Z EAB,/ AGF=Z ABE,- sin Z ABE=sinZ AGF=,5

30、AB.AE=4,.AB=5,则圆O的半径为2.5.点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平 分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.11.如图，PA切。于点A,射线PC交。于C、B两点，半径ODLBC于E,连接BD、DC和OA, DA交BP于点F;(1)求证：/ ADC+-Z CBD= - / AOD.2，(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析;【解析】【分析】1根据垂径定理得到 ",根据等腰三角形的性质得到BD CD11ODA 180o AOD 90&#

31、176; AOD ,即可得到结论； 222根据垂径定理得到 BE CE , BD CD ,根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ,根据切线的性质得到PAO 900,求得 OAD DAP 900,推出 PAFPFA,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】1 证明：QOD BC, n n BD CD，CBD DCB,Q DFE EDF 900,EDF 90o DFE ，QOD OA,1 oo 1ODA 180 AOD 90 AOD ，22oo 190 DFE 90 AOD ，21DEF AOD,2Q DFE ADC DCB ADC CBD ,_1 分ADCCBD AOD ；22 解：QO

32、D BC,BE CE，BD CD，BD CD ,QOA OD ,ADO OAD,Q PA切e O于点A,PAO 900,OAD DAP 900,Q PFA DFE ,PFA ADO 900,PAF PFA ,PA PF .【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别 图形是解题的关键.12.如图1,等腰直角 ABC中，Z ACB=90°, AC=BQ过点A, C的圆交 AB于点D,交BC 于点E,连结DE(1)若AD=7, BD=1,分别求 DE, CE的长(2)如图2,连结CD,若CE=3, 4ACD的面积为10,求tan / BCD(3)

33、如图3,在圆上取点 P使得/PCD=Z BCD (点P与点E不重合)，连结 PD,且点D是4CPF的内心请你画出CPE说明画图过程并求 /CDF的度数 设PC=a, PF由 PD=c,若(a-J2c) (b-J2c) =8,求 CPF的内切圆半径长.Bi02图3【答案】(1) DE=1, CE=3应；(2) tan/BCD=； ；(3) 135。；2.【解析】【分析】(1)由A、C、E、D四点共圆对角互补为突破口求解；(2)找/ BDF与/ ODA为对顶角，在 0O中，Z COD=2Z CAD,证明OCD为等腰直角三 角形，从而得到 Z EDC+Z ODA=45 ,即可证明/CDF=135;(

34、3)过点D做DH CB于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点 P做eD切线PF 交CB的延长线于点F,结合圆周角定理得出 / CPD=Z CAD=45 ,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出/CPF=90,然后根据角平分线性质得出_1_DCF CFD PCF2【详解】由勾股定理得:出c值，即求出4CPF的内切圆半径长为 巨 c21 _PFC 45 ,最后再根据三角形内角和定理即可求 2解；证明/DCF+Z CFD=45,从而证明/CPF是直角，再求证四边形 PKDN是正方形，最后以4PCF面积不变性建立等量关系，结合已知(a-J2c) (b-J2c) =8,消去字母a, b求A

35、C2+BC2=AB2, . AB=AD+BD, AD=7, BD=1, .x2+x2=82, 解得：x=4、/2 . O O内接四边形，/ ACD=90 ,° / ADE=90 ;/ EDB=90 ； / B=45 ； .BDE是等腰直角三形.DE=DB,又DB=1,.DE=1,又 CE=BC-BE-CE=472 72 3<2又.<£=3, ，BC=3+y,1/ Saacb=SAcd+Sdcb,1-114.2 4'.;2 103 y y222解得：y=2或y=-11 (舍去).，EM=1,CM=CE+ME=1+3=4又 / BCD=Z MCD,tanZ

36、BCD=tanZ MCD,在 RtDCM 中，tanZ MCD=-DM- = 1 ,CM 4 .tan / BCD=1 .4(3)如下图所示：过点D做DH CB于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点 P做eD切线PF交CB的延长线于点F. Z CAD=45 ；c C CPD=Z CAD=45又.点D是 CPF的内心，.PD、CD DF都是角平分线，/ FPD=Z CPD =45, / PCD叱 DCF, / PFD=Z CFD/ CPF=90 ° / PC% PFC=90 °一 一 1-1-DCF CFD PCF PFC 45 22/ CDF=180-Z DCF-/ CF

37、D F=90+45 = 135 ；即/CDF的度数为135°.如下图所示2N三点,过点D分别作 DK, PC, DM ± CF, DNPF于直线PC, CF和PF于点K, M , 设 PCF内切圆的半径为 m,则DN=m, 点D是 PCF的内心，.DM=DN=DK,又/ DCF+Z CFD+Z FDC=180 , / FDC=45 , / DCFtZ CFD=45 ,°又 DC, DF分别是/ PCF和/ PFC的角平分线，/ PCF=2Z DCF, / PFC=2Z DFC, / PCF吆 PFC=90, °/ CPF=90.°在四边形 PK

38、DN 中，Z PND=Z NPK=Z PKD=90 ,四边形PKDN是矩形,又 KD=ND,四边形PKDN是正方形.又 / MBD=Z BDM=45 , / BDM= / KDP,/ KDP=45 .° . PC=a, PF=b, PD=c, ，PN=PK=&CK=a2.NF=b又. CKmCM, FM=FN, CF=CM+FM CF=a b V2c，又 S PCF=S PDF+S PDC+S DCF,2 ab1a 2 1b 3 1(a b22222化简彳导：ab=72 a b c c2 ( i ),又若(a- J2 c) ( b- J2 c) =8化简彳导:ab V2c a

39、 b 2c2 8 ( n ),将（i ）代入（n ）得：c2=8,解得：c 2亚，或c 2V2 （舍去），.m=2c : 2近 2, 22即 CPF的内切圆半径长为 2.【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求4CPF的内切圆半径长.13.如图，AB是e O的直径，弦CD AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点 F ,连接DF .（1）求证：DF是e O的切线；（2）连接 BC,若 BCF 30, B

40、F 2,求 CD 的长.【答案】（1）见解析；（2） 273【解析】【分析】（1）连接OD,由垂径定理证 OF为CD的垂直平分线，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/ OCD,再证 ZCDO +/ CDB=Z OCD+Z DCF=90,° 可得 ODDF,结论成立.（2）由/OCF=90°, /BCF=30°,得/OCB=60°,再证 A OC的等边三角形，得 /COB=60°,可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【详解】（

41、1）证明：连接OD .CF是。的切线/ OCF=90 ° / OCD+/ DCF=90 ° 直径AB，弦CD .CE=ER即OF为CD的垂直平分线.CF=DF / CDF玄 DCF .OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 ODXDF .DF是。O的切线(2)解：连接OD Z OCF=90, °Z BCF=30 °/ OCB=60 °.OC=OBA OC囱等边三角形，/ COB=60 °/ CFO=30 °FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/

42、 CEO=90 / COE=60sin COE .CF、3.CD=2 CFCE 3OC 22.3【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形.解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有 30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形.14.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD ;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.【答案】(1)见

43、解析；(八 一 -142)成立.；(3(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长CG交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出a即可. 【详解】(1)证明：.AB为直径,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;A ，1OBC - 18021BOC 1

44、802 A 90 A ,2(2)成立，ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFEDFA ,BCDBAH , 根据圆周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形内角和定理得：CHE CFE,. CH CF, EH EF,同理DF DK ,DE 3, HK 2DE 6 ,6,在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90

45、,延长KO交。O于N,连接CN、AN,则 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG , 四边形CGAN是平行四边形，AG CN 6,作OT CK于T, 则T为CK的中点， .O为KN的中点，1. OT CN 3, 2OTC 90 , OC 5, 由勾股定理得：CT 4,CK 2CT 8,作直径HS,连接KS,HK 6, HS 10, 由勾股定理得：KS 8, tan HSK - tan HAK , 41，tan EAB tan BCD , 3设 BD a, CD 3a,1. AD BD 2ED a 6, DK -AD 3. CD DK CK ,八r9解得：a 9,DK135CF CK 2DKc 26148 本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识 点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.15.对于平面内的OC和。C外一点Q,给出如下定义：若过点 Q的直线与OC存在公共 点，记为点A, B,设k与萨'则称点A (或点B)是。C的加关依附点工特别,一 一， 一 ，一2