九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案)(215)

1、九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.图(二)图(三)(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边 A3c的重心为点。，求O8C与ABC的面积.OD S nur(2)性质探究：如图(二)，已知4?。的重心为点。，请判断77T. 产OA - 18c是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由.(3 )性质应用：如图(三)，在正方形A8CQ中，点E是的中点，连接席交对角线AC于点M.若正方形A3。的边长为4 ,求EM的长度；若凡门仕=1 ,求正方形A8CQ的面积.【答案X 1 )4 / ( 2鹿是定值，黑=

2、:，泮W I 3=|V5 ;3OA ZJ312 .【分析】(1)连接DE ,利用相似三角形证明*，运用勾股定理求出AD的长，AO 2运用三角形面积公式求解即可；(2 )根据(1)的证明可求解；(3 )证明回CME瓯ABM得？7 =不，再运用勾股定理求出BE的长即可 BM 2分别求出S0BMC和S0ABM即可.【详解】(1)连接DE ,如图，团点0是 A3c的重心，：.AD . BE是BC , AC边上的中线，.D E为BC , AC边上的中点，二。七为aABC的中位线，:.DE/AB , DE = -AB , '2'. .ODE OAB ,OD DE 1 ：.AB = 2 r

3、BD = ：.AD = y/3 , OD =,S obc = _ xBCxOD = -x2x=e 2233Sz=*BC.AD = gx2x6 = 6 ；(2)由(1)可知，黑二是定值;SOBC = OABCODAD-BCOD 2-BCAD 2(3 )回四边形ABCD是正方形,CD/AB , AB-rBC = CD = 4 t/.CME AMBEM CE.E为CD的中点,:.CE = -CD = 2 2:.BE = ylBC2+CE2 =275EM 1 . 丽一 5,即EM =2" ;BE 3 13'Sc”£=l ,且丝 = 1团 S®c=2 ,ME 1 &

4、#171; ， Sjmb = 4 s“：”£ = 4 ,=2+4=6又 S aadc = S.'abc c =6 ADC - u回正方形ABCD的面积为:6+6=12 .【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质,解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质.77 .在平面直角坐标系入g中，点A(1,O)在抛物线)，= -4m+c(>0)上.(1)如图1 ,若抛物线经过点8(4,3).求抛物线的解析式；设抛物线与)轴交于点。，连接8C , AC , A3 ,若点。在抛物线上， 且与C48的面积相等，求点P的坐标；(2 )如

5、图2 ,若抛物线与丁轴交于点。过点。作i轴的平行线交抛物线于 另一点七,点厂为抛物线的对称轴与i轴的交点，"为线段8上一动点.若以 M, D, £为顶点的三角形与有。尸相似,并且符合条件的点M恰有2个，请 直接写出抛物线的解析式及相应的点M的坐标.【答案】(1)产犬-©+3 ;尸(5,8)；(2)当抛物线的解析式为 产里 W-邙x + 43时，点M的坐标为(。，2&)或(0,坐)；当抛物线)，=2/一网+ 6的解析式为时，点的坐标为(0,2)或(0,4)【分析】(1 )利用待定系数法直接求抛物线的解析式；先求解CAB的面积为6,分情况讨论：当。在A8的下方

6、时，过点尸作 夕。/小轴交A3于。,设点尸(九产-4/ + 3),利用PM的面积为6 ,建立方程求 解即可,当。在A3的上方时,过点。作A8的平行线，与抛物线的另一交点即 为点P,利用函数的交点可得答案；(2 )先求解抛物线的解析式为：好一一而人心*得至IJ。(0,3a),E(4,3。)1(2,0).设”(。，?)，利用相似三角形的性质建立方程，由方程解的情况讨论得出结 论.【详解】解：.抛物线过点A 1,0和点8(4,3) a-4a + c = 04 c = 3a = 1解得I 2c=3抛物线的解析式为y = ？-4x+3在 y = f 一 ©+3 中，令 x =。,得 y = 3

7、 ,，点。的坐标为(。，3)BC = 4,点A到BC的距离为3,S6 ABe =x4x3 = 6设直线AB的解析式为3?=收+ bk+b = O4k + b = 3解得，k = b =l-直线AB的解析式为y = X -1(I)如图，若点P在直线AB下方的抛物线上，过点。作PQ/ /y轴交AB于则点。(UT)13, S丽=S“pq + SLBPQ =-PQx3 = -(t-t2 +4r-3)= 6.,./一5/ + 8 = 0公0,无解此时点。不存在(II)若点P在直线AB上方的抛物线上，过点C作AB的平行线，与抛物线的另一交点即为点。,则具68=5/收则可设直线pc的解析式为y=X+将C(0

8、,3)代入，得 =3,.直线PC的解析式为y = x+3,令/ 一 4x + 3 = x + 3,解得x = 0或5(舍去。)P(5,8)当抛物线的解析式为)，=嗜 V X + 4加时，点M的坐标为当抛物线的解析式为了 = 2犬8X + 6时，点”的坐标为(0,2)或(0,4) 理由如下：由点A 1，。在抛物线=以2-u + c(>0)上，得c = 3抛物线的解析式为>'=axl痴X + 3。.£>(0,3),E(4,3),尸(2,0)设 M(0,?)dm DF当OMEs.ofm 时，OF OM3。一加 4即一；一=2 mm2 - 3am + 8 = 0DM

9、 DF当gmesmf时，词=而即4Vm 2m = a 当方程有两个相等实数根时，=9/-32 = 0,解得”浮（负值舍去）此时，方程有两个相等实数根见=牝=2应方程有一个实数根机=弋，符合题意此时抛物线的解析式为产次I / _ 9 + 4 3 x点M的坐标为（0,2无）或卜，殍（II）当方程有两个不相等的实数根时，把代入,解得 =2（负值舍去）此时，方程有两个不相等的实数根町=2, =4方程有一个实数根7 = 2 ,符合题意；此时抛物线的解析式为y = 2x2-8x + 6,点M的坐标为（0,2）或（0,4）综上所述，当抛物线的解析式为产军/ -处 + 4点3 x点M的坐标为（。，26）或|

10、0,殍j ；当抛物线的解析式为y = 2/ - 8x + 6时z点M的坐标为(0,2)或(0,4)【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积问 题，一元二次方程的解法及根的判别式，同时考查三角形相似的判定与性质，掌 握以上知识是解题的关键.78 .如图，在心A48。中，ZACB = 90° ,过点C任作一直线/ ,过点A作 4)_L/于点。，过点4作8EL于点石.(1)指出图中的一对相似三角形并证明;(2 )当MBC ACBEK ,需添加一个条件，这个条件可以是(只要求写 出一种情况即可)【答案】(1) MCD"CBE ,证明见解析；(2 )

11、ZBAC = ZBCE (答案不 唯一)【分析】(1)根据相似三角形的判定定理即可证明；(2)根据相似三角形的判定定理，已知一组对应角相等，需要再添加另一 组对应角相等或者夹这组角的两边对应成比例，即可得到两三角形相似.【详解】解：MCD ACBE证明：.AO_L/于点。,8七口于点e. ZADC = ZCEB = 90° ZACB = 90°ZDAC + ZDCA = Z.BCE + ZDCA = 90°/DAC = /ECB.MCDs'CBE.(2)ABAC = ZBCE Z/WC = NC8E,U =竺答案不唯 CE BE团BE团DE团司BEC=90

12、°=回ACB ,再添力口 NBA。= NBCE根据两角对应相等的两个三角形相似，得到A48CACBE ;国BEC=90°二回ACB ,再添力口与=装CE BE根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到A48CACBE【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关 键.79 .已知：如图，AB= AC,田DAE二国6,求证：ABDCA .【答案】见解析【解析】【分析】由AB=AC ,可证得团B二团C ,又由团BAE二团BAD+团DAE，团CDE二团BAD+国B , 团DAEFB ,即可证得EBAE二团CDA ,然后根据有两角对应相等的三角形相似, 即可证得MBE瓯DCA .【详解】团AB = AC ,函B二回C,国BAE 二团BAD+团DAE ,回CDA =回BAD十国B ,又函DAE = (UB ,国 BAE二团CDA,国ABE瓯DCA .【点睛】此题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的，性质以及三角形外角的性 质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.