2018届高考数学问题2.2函数中的存在性与恒成立问题提分练习

1、2.2函数中的存在性与恒成立问题、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，故备受高考命题者的青睐，成为高考能力型试题的首选.二、经验分享 设 f (x) =ax2 +bx + c(a = 0) , ( 1) f (x) >0x= R上恒成立 u a>0 且

2、A<0； (2)f (x) < 0在x w R上恒成立仁a < 0且 < 0 .(2)对于一次函数 f (x) = kx+b,x w m, n有：la、 f (m) >0la、 f (m) <0“乂)A0恒成立之，“乂)<0何成立匕3J(n)>0J(n)<0(3)根据方程有解求参数范围，若参数能够分离出来，可把求参数范围转化为求函数值域.(4)利用分离参数法来确定不等式f(x,九)20, ( xw D,九为实参数)恒成立中参数 九的取值范围的基本步骤：将参数与变量分离，即化为g(九)之f (x )(或g(7uf (x )恒成立的形式；求f

3、(x )在xw D上的最大(或最小)值；解不等式g (九心f (x)max (或g (九f (x L ),得九的取值范围.(5)对于参数不能单才放在一侧的，可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.(6)某些含参不等式恒成立问题 ，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制 胜的效果.三、知识拓展(1)恒成立问题.？ xC D,均有 f(x)>A恒

4、成立,则 f (x)min>A; .？ xC D,均有 f(x) < A恒成立,则 f (x)ma<A ； .?xCD,均有 f(x)> g( x)恒成立，则F( x)= f(x)-g(x) >0,F(x)min >0 ; .？ xCD,均有 f(x)<g(x)恒成立，则F(x)= f(x)-g(x) <0,F(x)max<0； .？xi CD?x2 C E,均有 f( xi)>g(x2)恒成立，则 f(x)min> g ( x) max ； .?xiCD?x2C E,均有 f(xi)<g(x2)恒成立，则 f(x)max

5、 < g ( x) min.(2)存在性问题.？XoCD 使彳# ”Xo)>A 成立，则 f(x) max >A； .? XoC D 使彳导 f(Xo) < A 成立，则 f (x) min < A； .？x°CD 使彳#f(xo) > g(Xo)成立，设F(x)= f(x)-g(x),F( x)max >0 ； .?Xo CD 使彳导f (Xo) < g( Xo)成立,设F( x)= f( x)-g(x),F(x)min <0 ； .？X1CD?X2 E, 使得 f (X1) > g( X2)成立，则 f(x) max &

6、gt; g (X) min ； .？X1 CD?X2 CE均使得 f(X1) < g(X2)成立，贝U f(x) min < g( x) max.(3)相等问题若f(x)的值域分别为AB,则.？X1CD ? X2 E 使彳# f (X1)=g(X2)成立，则 A J B ；？ X1CD ?x2CE,使彳# f (X1)=g(X2)成立，则 aP|B 00 .(4)恒成立与存在性的综合性问题？ X1 C D?X2 E,使得 f (X1) >g( X2)成立，贝U f (X) mn > g(x) min ；？ X1 C D?X2 CE,使得 f ( X1) <g( X

7、2)成立，则 f (x) max < g (X) max.四、题型分析解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；分离参数法；主参换位法；数形结合法等.(一)函数性质法【例1】已知函数f (x) =x3ax2+10，若在区间1,2内至少存在一个实数x,使得f (x)<0成立，求实数a的取值范围.【分析】本题实质是存在性问题【解析】解法：加)=3炉-功=34-粉(1*), 当I始1,即母寸汶而在口 N上为增朗数.故用词口=仆)=IL a所以11 - kOQll法与 号盾.2322当19公2即产X3时,当1M铲阳<5当产<回。)>0, j占nj2

8、一所以工二乎时用)取最小值， 因此有岩，<0,即枭3 -1 + 10=-/5 + 10<0.解得d>3 J|逮与|<&4矛盾;90当产Z即应3时JCO如国在口鼻上为城函翻厮认便南0= 18 -他所以18 -缶a解得心市这符合应3.综上所述R的取值范围为 吟X3+1010解法二：由已知得：a>X2= x+xT，设 g(x) =x+10"(1 WxW2), g，(x) = 123, xx1W xW2, . g' (x)<0,所以 g(x)在1,2上是减函数.g(x)mn = g(2),所以 a>9【点评】解法一在处理时，需要用分类

9、讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离，由于ax2>x3+ 10中x2e 1,4,所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论.【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数 f (x)=ex(2x1)ax + a,其中a<1,若存在唯一的整数t,使得f (t )<0,则a的取值范围是()A. 一旦 1一 2e,一旦3IL 2e,423IL2e ,4一,1IL2e【答案】D【解析】令g (x )=ex (2x T ),h(x ) = ax-a.由题意知存在唯一整数t，使得g(t)在直线h(x)的下方.g'仅)=ex(2x+1),当x &

10、lt;1时，函数单调递减，当x a 1,函数单调递增，当x = 一,时，函数取得最222J小值为2e 2.当 x =0时，g(0) = T，当 x =1 时，g(1) = e >0 ,直线 h(x )= ax a过定点(1,0 ),斜率为 a ,故a > g(0 叩 g (-1 )= -3e，之a a ,解得 me |,1 I._2e(二)分离参数法【例2】已知函数f(x) =ax+xln x的图象在点x = e (e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若f(x) <kx2对任意x A 0成立，求实数k的取值范围.【分析】(1)由f (x) wnx

11、l 结合条件函数f (x) = ax+ x ln x的图象在点x = e处的切线的斜率为 3,2可知f'(e) =3,可建立关于a的万程：a+lne+1 =3，从而解得a = 1；(2)要使f(x)wkx对任意x>0恒f (x)1 ln x成立，只需k有一Vmax即可，而由(1)可知f (x) =x + xln x, .问题即等价于求函数g(x) =的最xx1x 一(1 1n x) ln x大值，可以通过导数研究函数 g(x)的单调性，从而求得其最值：g '(x)=幺2=-9,令xxg'(x) =0，解得 x =1，当 0 <x <1 时，g '

12、;(x) >0, g(x)在(0,1)上是增函数；当 x>1时，g'(x) <0, g(x)在(1,心)上是减函数，因此g(x)在x = 1处取得最大值g(1) = 1, . k>1即为所求.【解析】(1) = f (x) =ax +x ln x , f'(x) = a+ln x+1,又 f(x)的图象在点x = e处的切线的斜率为 3, . f'(e)=3,即 a +lne +1 =3, a =1 ；(2)由(1)知，f(x)=x+xlnx,2-1 ln x一f(x) <kx对任意xa0成立匕k之对任意x>0成立，x“1 ln x令

13、g(x) = x,则问题转化为求g(x)的最大值，1x-(1 lnx) lnxg'(x)=丛2=-,令 g'(x) =0,解得 x=1,xx当 0 cx <1 时，g'(x) >0 , g(x)在(0,1)上是增函数；当x >1时，g '(x) <0, g(x)在(1,收)上是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1, k之1即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时，常用分离参数法.此

14、类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式f (x,九)20, ( xw D,人为实参数)恒成立中参数 人的取值范围的基本步骤将参数与变量分离,即化为g(九户f (x)(或g(五尸f (xp恒成立的形式；(2)求f (x堆x W D上的最大(或最小)值；解不等式g (九)2 f (x :max (或g(九产f (x Jmin)，得大的取值范围.【牛刀小试】【2017湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数f (x) =loga x, g(x) =2log a(2x +t 2),其中 a>0

15、且 a=1,tWR. 1 (I)若t =4,且x W,2时，F(x) = g(x) f(x)的最小值是2,求实数a的值; 41(2)若0<a<1,且xw,2时，有f(x)之g(x)恒成立，求实数t的取值范围. 4【答案】(1) 1 ； (2) 2,依). 5【解析】=F(x) = g(x) -/(x) = 21oga(2x-h2) - logx =x= logJ4<+-+2)JC易证AW = 4(兀+工十2)在。J上单调递遍在L2上单调递胤且足)> A(2), x 444，当口 >1时,尸(力叩=10gti16,由1。%16 = -2,解得。=?(舍去)4当 0

16、< 口 < 1B1 Eg. = loEd 25,由 loEfl 25 : -2,解得 a =：.综上知实数Q的值是9. 5(2) , f(x)之 g(x)恒成立，即 logax2loga(2x+t2)恒成立, 1-lOga x -lOga(2x t -2). 2又< 0 <a <1, x1 2, Vx 2x +t -2,4,t >-2x + x+2 恒成立, t -(-2X,X 2)max.人 1 2 171令 y = -2x、x 2 = -2(、x )2 (x ,2),484ymax =2 .故实数t的取值范围为2,).(三)主参换位法【例3】已知函数f

17、3 =ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x )=如(x)+sinx是区间口,1上的减函 数,(1)求a的值；(2)若g(x)«+*+1在xW,l上恒成立，求t的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：九及t ,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将九视作自变量，则上述问题即可转化为在(V内关于九的一次函数大于等于0恒成立的问题，问题即可求解.【解析】(1)a=1(2)由(1)知：f (x) =x , j.g(x) =7/4sinx ,7g(x)在 卬 正单调递减,.g (x) =，c

18、osx _0., < -cosx在1-1 , 1 1上恒成立，. M“g(x) lax =g(-D -sin1 ,二只需-Zsin1 <t2 +Zi -+1,j.(t+)九+t2 +sin1十之0 (其中 九=)恒成立，由上述结论：可令 f -(t 1)' t2 sin1 1 _0( _-1),则 £- -0,I t1 t sin1，1 .:0,二 tJ 一, t2 -t +sin1 为，而"t +sin1 如恒成立，t MT.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中，当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量但函数的最值却难以求出时，可考虑变

19、换思维角度.即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于 】的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以期为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数X应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了【牛刀小试】若不等式 2x -1 >m（x2 -1网任意mW -1,1恒成立,求实数x的取值范围.【答案】.3 -1 ：x 2【解析】2x 1 >m（x2 -1 ）可转化为 m（x2 -1） 2x+1 <0,设 f（m）=m（x21）2x + 1<0,则 f（m）2是关

20、于m的一次型函数，要使f（m）<0恒成立，只需I f=x2-2x<0，解得、3 一 1 ：二 x :二 2.f -1 - -x2 -2x 2 :二 0（四）数形结合法【例4】已知函数f （x）=x2 _2kx+2,在x >1恒有f（x）”，求实数k的取值范围.【分析】为了使题中的条件f（xk在xwU丑）恒成立，应能想到构造出一个新的函数尸0尸£?）-人则可把原题转化成所构造新的函数在区间口,也方恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，即可使问题得到圆满解决.【解折】令F（工片/-於-七则F（“R 0对女Te卜恒成立而方（工）是开口向上的抛物线当图象

21、与乂轴无交点满足“ 0即&,4肥-年-巧（ 0.解得Tdl.当图象与X轴有交息且在工H-L2）时/冽,则由二次心数根与系数的分布失触及图象可得：A>0/(-1)> 02解得故由知一【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围.解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.常见的a .022有两类函数：若二次函数y=ax +bx+c("°氏于0恒成立，则有心父0,同理，若二次

22、函数y=ax +bx+c(a*0)a ：二0小于0恒成立，则有 也<0.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R上的奇函数£(乂)满足：当乂至0时，f(x)=x3,若不等式f (Mt )> f (2m+mt2 p寸任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A.(°°, y/2 )B. ( V2,0 )C. (*,0 上(&,F)D. (-00,-72 )(72,+)【答案】A【解析】当乂父0时，£(乂)=“乂)=乂3= f (

23、x) = x3(xw R)= f (x)在R上是增函数22二-4t >2m +mt对任意实数t恒成立二-4t >mt +4t+2m对任意实数t恒成立，结合二次函数图象可得I m ： 0一=42= m w (3,一 J2 ),故选 A.16-8m2 ：0(五)存在性之常用模型及方法1 a【例5】设函数f (x) = aln x+-x2 -bx, a= R且a#1.曲线y= f (x )在点(1, f(1)处的切线的斜率 为0.(1)求b的值；(2)若存在xw 1,收),使彳导f(x)c-a-,求a的取值范围.a -1【分析】(1)根据条件曲线y = f(x )在点(1,f (1 )处

24、的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a, b的方程，a进而求付 b 的值：f (x )= +(1a )xb, f (1 )=0= a + (1a)b=0= b = 1 ； (2)根据题意分析 x可得若存在x1,+=c),使得不等式f (x )<a成立，只需一aA f(x)min即可，因此可通过探求 f(x)的 a -1a T单调性进而求得 f(x)的最小值，进而得到关于a的不等式即可，而由(1)可知f (xalnx+Ux2-x, 2一 . x -1 卷 1 -a x -a则f (x) ='",因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断f (x)的单调性，从而可以解得a的取值

25、范围是(_J2_1,J2_1 *J(1,ya【斛析】(1) f'(x )=+(1 a )x b, x由曲线y = f (x )在点(1,f (1 )处的切线的斜率为 0,得f'(1 )=0,即 a+(1 a )b=0, b=1 ； 4 分(2)由(1)可得，f (x) = alnx +a1 - a x2f x=-1-ax-1=-x a x-1ii：1-ax-a令 f '(x )=0,得 x =1 , x2 =a 甫 a /,而-12a -11 -a_ ,1当a w时, 2a- -1,1 -a在 1, ,二)±, f x 户 0, f(x )为增函数,(f (x

26、)min1-1令 a1 <-,即 a2 +2a -1 <0,解得一721 <a <721. 2 a -1f x = f min 1-a=a In aa a+>1。a2 1 -aa -1a 7x1 -a a5 "<1 -a1f'(x)0+f (x)L极小值La1,1 -a一. 1当一< a父1时, 2不合题意，无解,10分当a >1时，显然有f (x) <0, a>0, 不等式f(x) <a恒成立，符合题意，a -1a -1综上，a的取值范围是(J51,J21 U(1,+g).,先求其否定【点评】解决函数中存在性

27、问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法(恒成立)，再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为"Vx= M , P(x)"的否定为"三x w MP(x)"；原命题为"三xw M , P(x)"的否定为" Vx M ,P(x)".处理的原则就是：不熟系问题 转化为熟悉问题1 o【牛刀小试】已知 f (x) = 1 x2 x, g(x) = ln( x 1) _ a , 2(1)若存在xi，x2 w0,2,使得f(xi)>g(x2),求实数a的取值范围；(2)若存在“2 w0,2,使得f(x

28、1)=g(x2),求实数a的取值范围.t解析】了刃,烈司在62上都是墙便颜,所以八句的值域卫=94,式工)的值域8 =HMn3一句. 若存在西,已口的,使得/(再)>田8上则_/(幻皿 >6>%即4>-/所以曰二-4一若存在三天使得了缶) =如力则4。月#"，-白M4且E3口之0二支数门的取值围是TJn3 一 五、迁移运用1.12018届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式3x2 - log： <0对任意xw 0l恒成立，则实,3数a的取值范围为A.工,1)B.271八一,1 C. 27D.10,一,27【解析】构造函数f (x) =3x2,g(x

29、) =-lOg ax,八10,3不等式3x2-log ax0对任意x三f0,- i恒成立 ,3.f (1)311. aw g ( ) 3?log a < 0.0<a< 11 1 、，且a> ,，实数a的取值范围为',1),故选A27272.12018届广西贵港市高三上学期121 32x1 -a 3月联考】若不等式lnx- x-1 ln3对任意的3xe (-°°,1】值成立，则a的取值范围是(A.一二笆B.笆二,3一3,C.2 二 D. -二,21【解析】由题意结合对数的运算法则有:1 32x1 - a 3xln3x>ln ,由对数函数的

30、单调性有: 31 32x 1 -a3x3x之一，整理可得： 3.13a < ，由恒成立的条件有： a< 3x1 32x3xmin1 +32Xfl 'Xv , , , r,-1 +32Xy1 I +3x22,当且仅当x=0时等号成立.即x=0时，函数y = 取得最小值2.3x 33x综上可得：aw2.本题选择D选项.3.2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数f (x)=«2-x2x, x , 02x -2x,x 二 0若关于工的不等式f2(x )l+af (x)<0恰有1个整数解，则实数。的最大值是()A. B. C. 5 D.【答案】D【解析】函数了(

31、力的图象加图所示，关于K的不等式(时+ /(兀)<0,当日 > 0时，一口< /(X)< 5由于关于X的不等式/(力+旷(引< 0恰有1个整数解,因此其整数解为3汉3) = -9+ 6 = T,所以一。< 3 <。. 一n/(4)= -8, 则8之口 > 3，所以实数0的最大值为8力攵选D.14.12018届甘肃省局台局二上学期第五次模拟】已知函数 f (x) = x+x,若对任意xe R, f(x)ax恒成立，则实数a的取值范围是()A. :；：t、1 -eb.1 e,11 C.1,e-1 i d. 1-,二【答案】B 1.11【斛析】函数 f

32、 (x )= x+-x，对任息x匚R, f (x )>ax恒成立，x + x Aax恒成立，即一x >(a-1 )x x eee，如图所示;且过g(x)图象上点(刈，y0)的切线方程为y _y0=_e (x -x0),且该切线方程过原点(0,0),则 y0=-e受 % ,即 e*5 =e*5 x。，解得 x0 = 1 ；切线斜率为 k =-e。=-e, .应满足 a-1>-e,即a>1-e；又a-1? 0,a? 1,实数a的取值范围是(1 -e,1.故选B.5.12018届广东省五校高三 12月联考】已知函数 f (x )=lnx + (a-2 )x 2a + 4(a&

33、gt; 0),若有且只有两个整数为，x2使得f (x )>0,且f优)>0,则a的取值范围是()A. ln3,2 B. l2-ln3,2 C. 0,2 -ln31 D. 0,2 - ln3由题意可知，f (x)A0,即 lnx+(a2)x2a+4A0,(a>0), ，ax 2aA 2x lnx 4(a > 0),设2x -1一.一 1，、，可知 g(x)=2x lnx 4,在 0,一 上为2,，c 1g(x )=2x -lnx -4,h(x )=ax_2a ,由 g (x )=2 -x减函数，在'-j -He )上为增函数，h(x )=ax 2a的图象恒过点(2

34、,0),在同一坐标系中作出 g(x),h(x)的 2图象如下：若有且只有两个整数x1，x2，使得f (x1 )>0,且f (x2 )>0,则a 0a 0 h(1 )>g(1 )，即 a>2 ，解得 0<aw2ln3,故选 C.h 3 Mg 3 a <2 -ln316.【2018届陕西省西安局二上学期期中】已知函数f (x ) = x3 a2x ,若对于任意的x1,x2 w 0,1,都有3f (x1卜f (x2 J <1成立，则实数a的取值范围是()A寻W B. 喜考C. 一班,00,D.。2,0口0,女：3 八3 一 I 3 八3 J【答案】A【解析】

35、利用排除法，当日=0吐 兀) = ；式 /(力=/之函氮在定义域上里调递增，|/(西)一(巧)| 4/(0)= g V L满足题意，排除CD选项.当出二竽时，/(X)= ： x3 _ g x./(X)=，一 g < 5函数在定义域上单调递减|心百)一去)性。)一/=1L满足题意，排除B选项.故选A7.12017宁夏育才中学上学期第二次月考】设函数 f (x) =x3 + x , xW R.若当0<0<三时，不等式2f(msin日)+f(1 -m) A0恒成立，则实数m的取值范围是()A. (1 ,1B.(1 ,1)C.1,二)D. (一二，122【答案】D【解析】易得f(x)

36、是奇函数，f'(x) =3x2+1 >0= f (x)在R上是增函数，又1.1.f (msin 日)a f (m -1)= msin & >m -1= m <-,0 <sin 8 <1= -=> m < 1,故选 D.1 -sin1 -sin -8.12017河北省武邑中学2高三上学期第三次调研】若又Vx,yW 10,y，不等式4ax Wex4y"+exT"+2 ,恒成立，则实数a的最大值是()A. 1B. 1C.2D. 142【答案】D【解析】exHy- +ex- +2 2 2e/eeey +2 = 2ex&quo

37、t; +2=> 4ax £ 2ex/+ 2恒成立= a <、几 /、 ex? 1“、 xex(ex，1) (x-l)ex -1x2 d /，、设 g(x) = g '(x) =2=2,再设 h(x) =(x -1)e 1= h'(x)=xxxx 2(x-2)e -,令 h'(x)=0= x=2=当 0 <x <2,h'(x) <0,当 x >2,h'(x) a0= h(x)之 h(2) = 0 =,，、一“一 ，、 一、，1 ,g'(x) =0仅有一解 x=2，且 g(x)之 g(2) =1= a M

38、,故选 D.2 1nx (x _ b)219.12017山西省孝义市局三上学期二轮模考】已知函数f(x)=()-(bW R),若存在x- ,2,x2使得f (x) >-x .f '(x),则实数b的取值范围是()A.(°0, /2)B - ( °0, )C.(°°,_) D . (°0,3)24【答案】C221 2x(x-b)-ln x-(x-b)lnx (x-b)【解析】由题意，得 f '(x)=-，则 f (x) + xf '(x)=xx， 一， 、，,、2，一，,、，1 2x(x-b)-ln x-(x。b)

39、1 2x(x-b)十十十 11 o-=-右存在 x一，2,使彳导 f(x)>-x f'(x)，则 xx2_11.12x2-11、21 +2x(x -b) >0 ,所以 b <x +.设 g(x) = x 十,则 g (x) =1 2 =-，当一 E x E 2x2x2x22x222时，g'(x)<0;当乎Mx E2时，g'(x) >0,所以g(x)在；/上单调递减，在?,2上单调递增，所以当x =2，函数g(x)取最大值，最大值为g(2)199=2+ =,所以 b<g(x)max =一,故选 C.44410 .12018届江苏南通市高

40、三第二次阶段测试】若不等式2ex -nx+15>0在实数集R上恒成立，则正整数n的最大值是.参考数据：7 <e2 < 2【答案】n=14【解析】不等式2ex -nx +15 >0在实数集R上恒成立,等价于y = 2ex的图象恒在y = nx -15上方,y = nx -15与y =2ex的图象相切时斜率 n最大，设y = nx_15与y = 2ex的图象相切时切点坐标为X0 ,则n = 2ex0 ,切线方程为y 2e" =2ex° (x /)，将点(0 , 1 5代入切线方程可得 g(x0 ) = 2ex0(% 1 )15=0 , g(x)在(1,收

41、)上递增，g(2X0,g(3)0, 乂。12,3), n = 2ex0 w (2e2,2e3),y=2ex的图象恒在y=nx15 上方，所以 nW2ex0E 2e2,而 2e2w(14,15),所以正整数n的最大值是14 ,故答案为n =14 .1cb11 .12018届河南省瀑河局三上学期第四次模拟】已知ffx=x2+b+c( b, c为常数)和 2 x11g(x ) = x+是定义在M = x|1x 4上的函数，对于任意的xW M ,存在 W M 使得 4 xf ( x)之f( °x), g (x心g (沏),且f (x0 )=g(x0，则f (x )在M上的最大值为 . 【答案

42、】51111【斛析】 g (x )= x +之2 x M =1 ,(当且仅当x=2时，等号成立)， 4x- 4x. obb,12 b12 b . b一 f(2)=2+c = g(2)=1,.c = -1,.f(x)= x +c = x +_, 222 x2 x2bx3 - b一 一 一f '(x ) = x -2 = 2， - f(x)在x=2 处有最小值,.f 2)=0,即 b=8,故 c=-5, x x一1 2 8x -8 故f (x) = x +5, f (x ) = -2，故f(x)在1,2上是减函数，在2,4上是增函数，2 xx1 7 一. .而 f 1 =+85= , f

43、4 =8 + 25=5，故 f(x)的最大值为 5.2 212.设函数f (x) = ax+sin x + cosx.若函数f (x)的图象上存在不同的两点A B使得曲线y=f(x)在点AB处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 .【答案】-1,1【解析】因为 f (x) = a cosx - sin x = a，. 2 cos(x ),4则存在实数 x1,x2,使得(a + V2 cos(x1 +)(a +炎 cos(x2 +) = -1 成立.44不妨设 k1 =a + 22 cos(x1 +：) w (0,a +«2,则 k2 =a 72 cos(x2 +；)立a 72,0).

44、因此 0 <k1 ( -k2) -2 -a2,1 -2 -a2,a2 -1,-1 -a -1.21 e13.12017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数 f(x)=ax2a lnx, g(x)=_；,其中 x exaw R, e=2.718|W|为自然对数的底数.(1)讨论f (x)的单调性；(2)证明：当 x >1 时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在(1,y)区间内恒成立.1 2ax2 -1【解析】(1)由 f (x) =ax aln x,得 f'(x) =2ax =(x>0).x x当a W0时，f '(

45、x) <0在(0,收)成立，则f (x)为(0,收)上的减函数；1公2a 2a当 a>0时，由 f'(x)=0，得 x=土2a2a当 xe(0,)时，f '(x) <0,当 x w (,收)时，f '(x)>0 .则 f (x)在(0,上为减函数，在收)上为增函数.八，一 ，一. 2a 2a综上，当aM0时，f(x)为(0,f)上的减函数；当a>0时，f(x)在(0,、幺)上为减函数，在(三4,收)上2a2a为增函数.x1 e1 ee(2)证明：要证g(x) A0(x>1),即14A0,即证A与，也就是证 >e.xe令 h(x)

46、=一，则 h'(x)=xex(x-1),h(x)在(1,收)上单调递增，则 h(x)min =h(1) = e,即当 x >1 时，h(x) >e, .当 x>1 时，g(x) >0 ;1(3)由 f (x) >g(x)，得 ax2 a ln x +e1 >0. x设 t(x) =ax2 -a -In x - +e1* >0 ,由题意知，t(x) >0在(1, +望)内恒成立. x. t(1)=0, .有 t'(x) =2ax1+工e1. =2ax + 1x-e1" >0 在(1,)内恒成立. x xx1 x1 -

47、x121 xx 21 -x令(x) =2ax +2- -e ，则'(x) =2a+2一下+e = 2a +3 +e , xx xx当 x 至2时，9'(x) >0,x 2-2x 6令 h(x) =一, h'(x)=产，函数在1,2)上单调递增.，h(x)min =h(1)=1.xx又 2a 之1, e1* >0,1 <x<2, G'(x) >0 .综上所述，X>1,'(X) >0,6(X)在区间(1,y)单调递增,一 ,、 ，1 t'(x) >t'(1)之 0,即 t(x)在区间(1, y)

48、单调递增，a 士.214.【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数 f(x)=a(x + b)+blnx(其中a, bw R ). XI)当b=_4时，若f(X)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;n)当a=1时，是否存在实数b,使得当Xe, e2时，不等式f (x) >0恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由(其中e是自然对数的底数，e=2.71828)【解析】(I)由题X0,4.44f (x) =a(x ) -4ln x f (x) = a(1 2)-ax2 - 4x，4a当aM0时，知f'(X)<0,则f(X)是单调递减函数;当a A0

49、时，只有对于X >0,不等式ax2-4x+4a > 0恒成立，才能使f ( X )为单调函数，只需 =( U)2 -16a2 & 0，解之得 a & -1 或a > 1，此时 a 之 1.综上所述，a的取值范围是(-00,0 U1,收).(n) f (x)=blnxxb ,其中 X,2,b , b-x bx bX 0, f (x) =- -1 '=2X X X(i )当 bW0 时，f (X)<0 ,于是f (x)在(0,+如)上为减函数，则在e, e2上也为减函数，b 1知他).=f(e) =b -e- =(1 Fb-e<0恒成立，不合题

50、意,舍去.(口当b>0时，由f (x) =0得x=b_竺.列表得2X(0 b + Jb2 +4b )，2b +Jb2 +4b2(b+Jb2 +4b ,y) 2，f (X)十0一f(X)极大值2e2-；5uf(x)在e, e上单调递减，e 1若b +后+4b入,即bw2,b 111 e-2e知 f(x)max = f (e)=be=(1一一)b-e,而(1 一一)b -e< (1-e= <0 ,e eee e 1 e 1是f (X)max <0恒成立，不合题意，舍去.若 产后,4b Ae,即b A则 f(x)在(e,b+、b2 +4b )上为增函数,在(b+也2+4b ,

51、-)上为减函数，要使在e, e2恒有f(x) >0恒成立，则必有?(e)>0, f(e)。,-24一 be eb - e 0 ?b- 32)则« e 所以，e 一4 e -e由于e32b -e2，0,b e.e. 2e -12所以b > J .e -1244e2 _(2e2 _1) = e3 -3e2 +1<0,则-e = 3e 2 >e- e-1 e -e 2e -115.12017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数f (x) =(x-1)ex-ax2 (a R)2(I )当a M1时，求f (x)的单调区间；32(II )当x u (0,+

52、g)时，y = f (x)的图象恒在y = ax +x (a1)x的图象上万，求a的取值范围解析】(I) f =加1 - R： =- a)当a K0时,/ 口 > 0尢匕(9.0)时,f<0,/(x)单调递减R e (0,4®)吐> 0,/(x)单调I递增当OvoKl时，令了(外=0得=0或x = lno .(i)当0<口<1时,lna<0,故：x e (to,In时JU> >。,/力单调递招力£曲风。)吐尸3<0J单调递减x e 0 m)吐丁> 0 J3单调递增孑(ii) 当 a=1 时，lna=0, f 

53、9;(x) = xex 一 ax = x(ex - 1)2 0 恒成立，f(x)在(,上单调递增，无减区间；综上，当a £0时，f(x)的单调增区间是(0,收)，单调减区间是(血,0)；当0 <a <1时，f (x)的单调增区间是(00,ln a)和(0,十/)，单调减区间是(ln a,0)； 当a =1时，f (x)的单调增区间是(口,+8)，无减区间.(II )由(I 族口 f (x) =xex - ax当x w (0, + g)时，y = f'(x)的图象恒在y = ax3+x2 -(a-1)x的图象上方，即 xex -ax >ax3 +x2 - (a

54、 -1)x对 xe (0, +°0)恒成立即 ex ax2 - x 1 > 0 对 x 匚(0, + *)恒成立x 2x _记 g(x) =e ax x1(x >0), , g (x) =e -2ax-1 = h(x)xh x =e -2a一 ，.1 一一x 一 一. 当a W时，h'(x) = e 2a >0恒成立，g'(x)在(0, +)上单调递增，g(x) >g'(0) =0，二 g(x)在(0,收)上单调递增二 g(x) >g(0) =0,符合题意；1.(ii) 当 a A时，令 h'(x ) = 0得* =m(2 2)二 xw (0,ln(2a)时，h'(x)<0,. g'(x)在(0,ln(2 a)上单调递减二 xw(0,ln(2a)时，g(x)<g'(0)=0，g(x)在(0,ln(2 a)上单调递减, xw(0,ln(2 a)时，g(x) <g(0) =0 不符合题意,1综上可得a的取值范围是(-m,1.216.12017广东省惠州市第二次调研】已知函数f(x)=lnx, h(x)=ax(aw R).(I)函数f (x)的图象与h(x)的图象无公共点，求实数a的取值范围； x1 me(n)是否存在实