2020年山西省太原市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)

1、1.2.3.4.5.6.2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）副标题、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分） 已知集合 0， A.C.已知 a 是实数， 是纯虚数，则A. 1B.1， ，则B.D.a等于C.已知 ，则A.B.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的表示正整数 n除以正整数 m 的余数为 N，例如执行该程序框图，则输出的 n 等于A. 11C.D.中国剩余定理若 是两个非零向量，且 夹角的取值范围是A. B.C.D. 17D.则向量 与7. 圆周率 是数学中一个非常重要的数， 历史上许多中外数学家利用各种办法对 进 行了估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算

2、假设某校共有学生 N 人，设奇函数 在 上为增函数，D.且 ，则不等式 的8.9.10.11.12.二、13.14.15.16.让每人随机写出一对小于 1 的正实数 a， 人数 M ，利用所学的有关知识，则可估计出A. B.b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的 的值是C.解集为A.C.过抛物线 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点若的面积为 ，则A. 2 B. 4B.D.D. 8C.已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 数列 满足，则数列 的前 100 项和 为A. B. C.D.对于函数 有下列说法：的值城为 ；当且仅当 时，函数 取得最大值； 函数 的最小正周期是 ；

3、当且仅当 时 其中正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三棱锥 中 ， 为等边三角形，二面角 的 余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 则三棱锥体积 的最大值为A. 1 B. 2 C. D. 填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）已知 的展开式中， 的系数为 0，则实数 已知双曲线 的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一点，若 为等腰三角形， ，则双曲线的离心率为 已知数列满足，且 ，则 的通项公式为 改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便 了人们的出行需求 某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间， 上

4、班通常乘坐 公交或地铁加步行 已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 单位：分钟 服从正态分布 ，下车后 步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间单位：分钟 服从正态分布 ，从地铁站步行到单位需要 5 分钟现有下列说法：若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到；若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大则以上说法中正确的序号是 参考数据：若 ，则 ，三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0

5、分）17. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 且 外接圆的半径为 1 求角 C ； 求 面积的最大值18. 如图，四边形 ABCD 是边长为 4的菱形， ，对角线 AC与BD 相交于 点 O ，四边形 ACFE 为梯形，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与平面 ABCD 所成角为 求证： 平面 ACF ； 求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值19. 已知 ， 是椭圆 C ：的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 被椭圆截得的弦的中点坐标为 求椭圆 C 的方程； 过 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，当面积最大时， 求直线 l 的方程20. 为

6、实现 2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造经市场调研和科学 研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可 以独立生产该部件 如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件 的尺寸 x，进行统计整理的频率分布直方图根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足： 为一级品， 为二级品， 为三级品 现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽 取 40件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2件尺寸 的产品，记 为这 2 件产品中尺寸的产品个数，求 的分布列和数学期望； 将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要

7、进行检验已知每箱有 100 件产 品，每件产品的检验费用为 50 元检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二 级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200 元补偿现从一箱产品中随机抽检了 10 件，结果发现有 1件三级品若将甲设备的样本频率作为 总体的慨率， 以厂家支付费用作为决策依据， 问是否对该箱中剩余产品进行一一检 验？请说明理由； 为加大升级力度，厂家需增购设备已知这种产品的利润如下：一级品的利 润为 500 元 件；二级品的利润为 400 元 件；三级品的利润为 200元 件乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是 ， ， 若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的

8、利润作为决策依据应选购哪种设备？请说明理由21. 已知函数 若函数有两个零点，求 a 的取值范围； 恒成立，求 a 的取值范围22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数 ，曲线 的参数方程为 为参数 ，以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系 求曲线 的普通方程和曲线 的极坐标方程； 射线 与曲线 交于 O ，P 两点，射线与曲线交于点 Q，若的面积为 1，求的值23. 已知 a，b，c 为正实数 若 ，证明： ； 证明： 答案和解析1. 【答案】 A 解析 解：或 故选： A先求出集合 A，再求两集合的交，并，补，可判断正误 本题考查集合的基本运算，属于基础题

9、2. 【答案】 A 解析 解：是纯虚数， ，解得 ，故选： A利用复数的运算法则即可得出 本题考查了复数的运算法则，属于基础题3. 【答案】 B 解析 解：， ，故选： B利用对数函数和指数函数的性质求解 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用4. 【答案】 D 解析 解：由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满 足以下条件的最小两位数：被 3 除余 2，被 4 除余 1，故输出的 n 为 17 ，故选： D 由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值， 模拟程序的运行过程，分析

10、循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于基础题5. 【答案】 C 解析 解：根据题意，设，则 ，再设向量 与 夹角为 ，则有 ，变形可得： ，变则有 形可得 ，又由 ，则 ，则有 ，又由 ，则有，即 的取值范围为 ；故选： C根据题意，设 ，向量 与 夹角为 ，又由 ，由向量模的计算公式变形可得：，进而可得 的值，由数量积公式可得 ，结合 m 的范围，分析可得的范围， 结合余弦函数的性质分析可得答案 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题6. 【答案】 A 解析 【分析】 本题主要考查函数图象

11、的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键 根据 的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可【解答】解：设 ，排除 C， D，选项 B 中一个 x值对应两个 y值，不是函数，排除 B， 故选： A7. 【答案】 B 解析解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1的正实数 a，b，得到 N 个实 数对 ，因为 ， ，所以 N个实数对 都在边长为 1的正方形 AOBC 内， 如图所示：1 所对的角为锐角，若 a，b，1 能构造锐角三角形，因为 1是最长边，所以 所以 ，即 ，所以 N 对实数对落在单位圆外的有 M 对，由几何概率的概率公式可得： 所以1 的正方形 AOBC 内，若a，b， 1

12、 能构造锐角三角形，则故选： BN 个实数对 都在边长为，所以 N对实数对落在单位圆外的有 M 对，再利用几何概率的概率公式即可求出 的近似值本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题8. 【答案】 D 解析 解：为奇函数，且在 上是增函数， ，在 内也是增函数，即或根据在 和 内是都是增函数解得：故选： D 根据函数为奇函数求出 ，再将不等式 x 分成两类加以分析， 再分别利 用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础 题结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解9. 【答案】 D 解析 解：抛物线的焦点 F 为 ，可设直

13、线 l 的方程为 ，代入抛物线方程，可得 ，设 ， ，可得 ， ， 则，的面积为 ，即 ，解得 ，则，故选： D 求得抛物线的焦点 F 的坐标，可设直线 l 的方程为 ，联立抛物线的方程，消 去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得t ，进而得到所求值本题考查抛物线的方程和性质， 考查直线和抛物线的位置关系， 注意联立直线方程和抛 物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题10. 【答案】 C 解析 解：， 当 时，有 ，解得 ；当时，可解得 ，故猜想： ，下面利用数学归纳法证明猜想：当，2 时，由以上知道显然成立；假设当 时

14、，有 成立，此时成立，那么当 时，有由 知：解得 ，这说明当 时也成立 ，数列 的前 100 项和 故选： C由 求出 ， ，猜想出 ，然后用数学归纳法证明猜想， 再使用裂项相消法求数列 的前 100 项和 本题主要考查数学归纳法在求数列通项公式中的应用及裂项相消法在数列求和中的应 用，属于中档题11. 【答案】 B，作出函数 的图象，如图所示：所以，的值城为 解析 解：因为，错误；函数的最 小正周期是 ， 错误； 当且仅当 时，函数 取得最大值， 正确； 当且仅当 时， ， 正确故选： B根据绝对值的定义将函数 写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真 假本题主要考查分段函数的图象，

15、以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档题12. 【答案】 D 解析 解：如图所示，过点 P 作面 ABC，垂足为 E，过点 E作交 AC 于点 D ，连接 PD ，则 为二面角 的平面角的补角，即有易知面 PDE ，则，而 为等边三角形，为 AC 中点，设 ， ， ，故三棱锥的体积为：当且仅当时，体积最大，此时B、D、E 共线的外接球的球心为 O， ，得 半径为 R，设三棱锥 由已知， 过点 O作于F，则四边形 ODEF 为矩形，在 中， ，解得三棱锥 的体积的最大值为： 故选： D 由已知作出图象，找出二面角 的平面角，设出 AB，BC，AC 的长，即可求 出三棱锥 的高，然后利用基本不等

16、式即可确定三棱锥体积的最大值 用含有 AC 长度的字母表示 ，再设出球心 O，由球的表面积求得半径， 根据球的几何性质， 利 用球心距，半径，底面半径之间的关系求得 AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求 本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用， 基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题13.【答案】 解析 解：原式，因为 ，故原式 项为： ，令 ，即 ，解得 或 舍 故答案为： 将原式转化为 ，然后利用 的通项研究 本题考查二项式展开式通项的应用， 以及学生利用方程思想解决问题的能力 属于基础 题14.【答案】 解析 解：设在第二象限，由 为等腰

17、三角形， ，可得，可得 ， ，即 ，由 P 在双曲线上，可得 ，即有 ，即 ， 可得 故答案为： 设 在第二象限， 由题意可得 ，求得 P的坐标， 代入双曲线的 方程，化简可得 a，b 的关系，即可得到所求离心率本题考查双曲线的方程和性质， 考查任意角三角函数的定义， 考查方程思想和运算能力， 属于基础题15.【答案】 解析 解：数列满足 ，当 时，当 时，数列 从第二项开始是常数列，又，又 满足上式，故答案为： 易求 ，当 时，对已知等式变形得，所以数列 从第二项开始是常数列， 所以 ，从而求出 ，验证首项满足 ，进而得到 的通项公式本题主要考查了数列的递推式，是中档题16.【答案】 解析

18、解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 服从正态分布 ， 故当满足江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故 错误； 若 8： 02 出门，江先生乘坐公交从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 服从正态分布 ，故当满足 时，江先生乘 坐公交不会迟到； 若 8： 02 出门，江先生乘坐地铁从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 服从正态分布 ， 故当满足 时，江先生乘 坐地铁不会迟到此

19、时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故 正确； 若 8： 06 出门，江先生乘坐公交从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 服从正态分布 ，故当满足 时，江先生乘 坐公交不会迟到；若 8： 06 出门，江先生乘坐地铁从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 服从正态分布 ，故当满足 时，江先生乘坐地铁不会迟到 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故 错误； 若 8： 12 出门，江先生乘坐公交从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐

20、公交到离单位最近的公交站所需时间 服从正态分布 ， 故当满足 时，江先生乘坐公交不会迟到，而；若 8： 12 出门，江先生乘坐地铁从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 服从正态分布 ，故当满足 时，江先生乘坐地铁不会迟到 由，若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故 正确 故答案为： 利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义， 考查正态分布中两个量 和 的应 用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，是中档题17【. 答案】解：

21、由正弦定理 ，可得 ， ，由余弦定理可得 由正弦定理 ，可得 ， 由余弦定理 ，可得，当且仅当 时等号成立，可得 ，当且仅当 时等号成立，即 面 积的最大值为 解析 由已知利用正弦定理可得 ， ， ，代入已知等式整理可得，由余弦定理可得 cosC，结合范围 ，可求 C 的值 由正弦定理可得 c ，由余弦定理，基本不等式可求，进而面积的最大值利用三角形的面积公式可求 本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18. 【答案】 解： 证明：取 AO 中点 H，连结 EH，则 平面 ABCD ， 在平面 ABCD 内

22、， ， 又菱形 ABCD 中， ，且 ， EH ，AC在平面 EACF 内， 平面 EACF， 平面 ACF 解：由 知 平面 ABCD ，以 H 为原点， HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，平面 ABCD，为AE与平面 ABCD 所成的角，即 ， ， ， ，0， ，0， ， ，0， ，0，平面 ABCD 的法向量0， ，0， ， ， ，0，设平面 DEF 的法向量y， ，取 ，得 ，平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 解析 取 AO 中点 H，连结 EH，则平面 ABCD ，从而，再由，能证明 平面

23、 ACF 以 H 为原点， HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴，HE 为 z轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 直线 与 y 轴的交于点， ，与椭圆 C 交于点 ， ，19. 【答案】 解： 设直线则，两式相减可得，解得 ，椭圆 C 的方程为 由 可得 ， ，设 ， ， 讲直线 l 的方程 代入 ，可得 ， 则，当且仅当 ，即 ， 面积最大， 即直线 l 的方程为 或 解析

24、利用点差法和斜率公式即可求出； 设 ， ，联立直线与椭圆的方程可得 ， 由三角形面积公式和基本不等式即可求出本题考查椭圆的几何性质， 考查椭圆的标准方程， 解题的关键是确定几何量之间的关系， 利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解20. 【答案】 解： 抽取的 40 件产品中，产品尺寸的件数为：，其中 的产品件数为 ， 的可能取值为 0，1， 2，的分布列为：012P三级品的概率为 ，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用 ； 若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用 ，故不对剩余产品进行逐一检验 设甲设备生产一件产品的利润为 ，乙设备生产一件产品的利润为 ， 则，应选购乙设备 解析 计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算； 计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论； 分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于