2020-2021全国各地中考模拟试卷数学分类：相似综合题汇编及详细答案

1、2020-2021全国各地中考模拟试卷数学分类：相似综合题汇编及详细答案一、相似1 .如图1,在RtABC中，/C=90； AC=6, BC=8,动点P从点A开始沿边 AC向点C以1 个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/ BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达 端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t秒(t>Q .(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=, PD=.(2)是否存在t的值，使四边形 PDBQ为菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变 Q的速度(匀速运动)，使四

2、边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点 Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段 PQ中点M所经过的路径长.【答案】(1) 8-2t; y(2)解：不存在在 RtABC 中，/C=90, AC=6, BC=8, .AB=101. PD/ BC,.APDAACB,.BD=AB-AD=10- 3 ,. BQ/ DP,当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形,a 上即 8-2t= J ,解得：t= § .1212 16512F X X 6当 t= 3 时，PD= 355, BD=10- 35.DPw B,D，？PDBQ不能为菱形.设点Q的速度为每秒v个单位长度,贝U BQ=8-vt

3、,BD=10-要使四边形当PD=BD时，即-r =10- 3,贝U PD=BD=BQ1G,解得：t=当 PD=BQ t=67时个单位长度时,即16解得：v=足当点Q的速度为每秒lb飞经过16J秒，四边形PDBQ是菱形.(3)解：如图2,以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.依题息，可知 0Wt04当t=0时，点Mi的坐标为(3, 0),当t=4时点M2的坐标为(1 ,4) .设直线M1M2的解析式为y=kx+b,3k b = 0小人/ ?解得k = - 21 b = 6直线M1M2的解析式为y=-2x+6.点 Q (0, 2t) , P (6-t, 0)忖-,，在运动过程中，

4、线段 PQ中点M3的坐标(，t)把 x= - 代入 y=-2x+6 得 y=-2 x -+6=t,，点M3在直线M1M2上. 过点M2作M2N，x轴于点N,则M2N=4, MiN=2.MiM2=2 .线段PQ中点M所经过的路径长为 2、门单位长度. 【解析】【解答】（1）根据题意得：CQ=2t, PA=t,.QB=8-2t,.在 RtABC 中，/C=90；AC=6, BC=8, PD/ BC, / APD=90 ；【分析】CQ=2t, PA=t, 可得 QB=8 - 2t ,根据tanA=J ,可以表示PD ;易得 APAACB,即可求得 AD与BD的长，由BQ/ DP,可彳#当BQ=DP时

5、，四边形 PDBQ是 平行四边形；求得此时 DP与BD的长，由D% BQ可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点 Q 的速度为每秒 v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD PD=BQ,列方程即可求得答案.以 C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出直线M1M2解析式，证明 M3在直线M1M2上，利用勾股定理求出 M1M2.2.如图，正方形 ABCD等腰RtBPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合）， QP与BC交于E, QP延长线与 AD交于点F,连接CQ.DC(1) 求证：AP=CQ 求证：PA2=AF?AD;(2)若 AP： PC=1: 3,求 tan

6、/CBQ.【答案】(1)证明：二.四边形 ABCD是正方形，AB=CB, Z ABC=90 , / ABP+/ PBC=90,° . BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ, / PBQ=90 ； . . / PBC+/CBQ=90 ° ，/ABP=/ CBQ,AABPACBQ, . AP=CQ;二.四边形 ABCD是正方形，Z DAC=Z BAC=Z ACB=45°, / PQB=45 ； C CEP4 QEB,/ CBQ=Z CPQ由得ABPCBQ, /ABP=/CBQ / CPQ=Z APF,/ APF=Z ABP, APM ABP,（本题也可以连接 PD,证A

7、PFsADP）(2)证明：由 得 4AB国CBQ,，/BCQ=/ BAC=45 , / ACB=45,°,. / PCQ=45+45 =90 °巴 .tan / CPQ=仃，由得AP=CQ,CQ AP 1又 AP:PC=1:3)tan / CPQ旧 CP 3 ,由 得/CBQ=/CPQ1 tanZ CBQ=tanZ CPQ= J .【解析】【分析】(1 )利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证 AB七 CBQ,可得 AP=CQ; 利用正方形的性质可证得/ CBQ=Z CPQ,再由 ABPCBQ可证得/ APF=/ ABP,从而证出 APM4ABP,由相似三角形的性质得证

8、；(2)由ABPCBQ 可得 / BCQ=/ BAC=45 ,可得 Z PCQ=45+45° =90°,再由三角函数可 a1/得 tan/CPQ=匕 由 AP:PC=1:3, AP=CQ 可得 tan/CPQ=,再由 / CBQ=/ CPQ 可求出答 案.3.设C为线段AB的中点，四边形 BCDE是以BC为一边的正方形.以 B为圆心，BD长为 半径的。B与AB相交于F点，延长 EB交。B于G点，连接 DG交于AB于Q点，连接AD.G求证：(1) AD是。B的切线；(2) AD=AQ;(3) BC=CF?EG【答案】(1)证明：连接BD,四边形BCDE是正方形，/ DBA=4

9、5 ； / DCB=90，即 DC± AB,.C为AB的中点，.CD是线段AB的垂直平分线，.AD=BD,/ DAB=Z DBA=45 ；/ ADB=90 ；即 BDXAD,. BD为半径，.AD是。B的切线(2)证明：BD=BG,/ BDG=/ G,1. CD/ BE,/ CDG=Z G,1/ G=Z CDG=Z BDG=2 / BCD=22.5 , °/ ADQ=90 - / BDG=67.5，/ AQB=Z BQG=90 - / G=67.5 ,/ ADQ=Z AQD, .AD=AQ(3)证明：连接DF,在BDF 中，BD=BF,/ BFD=Z BDF,又 / DBF

10、=45 ,/ BFD=Z BDF=67.5 , ° / GDB=22.5 , °在 RtA DEF与 RtA GCD 中， / GDE=Z GDB+/ BDE=67.5=Z DFE, / DCF玄 E=90 ； RtA DCM RtA GED,cf a而一瓦又 CD=DE=BCBC2=CF?EG【解析】【分析】(1)连接BD,要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证 明/ADB=先/即可。 由正方形的性质易得 BC=CD, /DCB=/ DCA=，/ , /DBC=/ CDB=F5'，根据点 C为AB的中点可得 BC=CD=AC所以可得 /ADC=5'

11、;，则 / / adb=m ,问题得证；(2)要证 AQ=AD,需证/AQD=/ADQ。由题意易得 / AQD=4 -/G , /ADQ=拓- ZBDG,根据等边对等角可得ZG=Z BDG,由等角的余角相等可得/ AQD=/ ADQ,所以AQ=AD;(3)要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC所以可知 BC、CF、EG分别在三角形 DCF和三角形 GED中，连接 DF,用有两 对角对应相等的两个三角形相似即可得证。4.如图，抛物线 y=-x2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点 C,且 OA=1,(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(

12、2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点 P为圆心的圆经过 A、B两点，且与直线 CD相 切，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得DCMsbqc?如果存在，求出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)解：冉=八0B - 3./ - 1 - b c = 0代入 r -加-，d ,得：9 + 3b * C &解得抛物线对应二次函数的表达式为：= r?/匕必(2)解：如图,设直线CD切。P于点E.连结PE、PA,作CF上破/|点H . : PE上CD. PE RL 由J-=+二为+ 3,得对称轴为直线x=1, 9：T :门 LI 小为等腰直角三角形.|"

13、;；斯=蓝"|"一二、照二房，I 的I为等腰三角形.设eF = -(7 -布”. .if J在月片中，ZPQA =靖， 力声二心,M = n ( - nF +后,6/ -周J? = cl ( 1)?+ M, H整理，得.小的 &二也解得，的=-f 士人冠.点p的坐标为a *入或a 1/ 人砌.(3)解：存在点M,使得门DQ s W BQC .如图，连结.I ”W为等腰直角三角形，么晚=6："=他由(2)可知，ZCDM =拈；5=.|/?律=数". I 比甘配分两种情况.RM CL当融 G时，DM Vl2F. DM -. m入£,解得 a

14、.210飙二”阚二一.二一. J 3TOMj (it -J. 3DM CL当耘一砺时，DM /.班 3 7,解得隐-工.浓而.江”已 110 (1, )/ .综上，点M的坐标为3或【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由(1)中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1,顶点D (1, 4),点C (0,3),由题意可设点 P (1, m),计算易得4DCF为等腰直角三角形， DEP为等腰三角形，在直角三角形 PED和APQ中，用勾股定理可将 PE、PA用含m的代数式表示出来，根 据PA=PE列方程求解；DU CL DC(3)由DCMsbqc所得比例式分两种情况：QS 4或阳 G,根

15、据所得比例式即可求解。5.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球(1)球在地面上的影子是什么形状？(2)当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化？(3)若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是 3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影 子的面积是多少？【答案】(1)解：球在地面上的影子的形状是圆.(2)解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.I oA(3)解：由已知可作轴截面，如图所示： If r p依题可得：OE=1 m, AE=0.2 m, OF=3 m, AB± OF于 H,在 RtA OAE 中, 凶. OA=,* 7* = '产-a 才=5 (m), /

16、AOH=Z EOA, / AHO=Z EAO=90 ,°.OAHsOEA,OA OB缈/，* O 24OH=便='=-m (m),又 / OAE=Z AHE=90 , / AEO=Z HEA,.OAEAAHE,施匹：.0A =菽忸.靛26 J.-AH= =2625 (m).依题可得：AHOsCFQ ahcf=ohof ,. CF= AH?OFOH = 2625 X 32425=64 (m) S 影子=兀 2=CF - (64)2 = 38 兀=0)375 兀(m答：球在地面上影子的面积是0.375兀m.【解析】【分析】(1)球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆(2

17、)根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小(3)作轴截面(如图)由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积6.如图，在平面直角坐标系中， 。为原点，四边形 ABCD是矩形，点 A、C的坐标分别是 A (0,2)和C (2、；0),点D是对角线 AC上一动点(不与 A、C重合)，连结 BD,作， 交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形 BDEF.图m图（2）（1）填空：点B的坐标为;（2）是否存在这样的点D,使得 DEC是等腰三角形？若存在

18、，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；DE 筐（3）求证：加一 3 ；设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用 的结论），并求 出y的最小值【答案】（1） I 切（2）解：存在，理由如下： i,.QA=2,OC=2'；I,. tanZ ACO= 3 ,/ ACO=30 ；/ ACB=60 °如图（1）中，当 E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC/ DCE=Z EDC=30,°/ DBC=ZBCD=60,° .DBC是等边三角形， . DC=BC=Z在 RtA AOC 中，/ ACO=30 ；

19、 OA=2, .AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2,当AD=2时，ADEC是等腰三角形，如图（2）中，当 E在OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE/ DBC=Z DEC=Z CDE=15,°/ ABD=Z ADB=75 :.ab=ad=2"综上所述，满足条件的 AD的值为2或2g.(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。 . A(0.2)和 C(23 ,0),直线AC的解析式为y=-33x+2,设 D (a, -33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a / BDE=90 , ° / BDM+Z NDE=90 ,

20、Z BDM+Z DBM=90 :/ DBM=Z EDN, / BMD=Z DNE=90 : .BMDADNE, . DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如图(2)中，作DHI± AB于Ho图在 RtAADH 中， . AD=x, ZDAH=ZACO=30,° .DH=12AD=12x, AH=AD2-DH2=32x, .BH=23-32x,在 RtBDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, . DE=33BD=3312x2+23-32x2, .矩形 BDEF的面积为 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即 y=33x2-2

21、3x+43,y=33x-32+3. 33>0,，x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】(1)二.四边形AOCB是矩形,BC=OA=2,OC=AB= , 2)/ BCO=Z BAO=90 ,【分析】(1)根据点A、C的坐标，分别求出 BC AB的长，即可求解。(2)根据点 A、C的坐标，求出/ACO, ZACB的度数，分两种情况讨论： 如图(1)中，当E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC如图(2)中，当E在 OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE,/DBC=/ DEC=Z CDE=15，分别求出 AD的长，即可求解。(3) 如图，过点

22、D作MNLAB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线 AC的解析式，设 D (a,-二Ta+2),分别用含 a的代数式表示出DN、BM的长，再证明 BMDADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DHXAB于H。设AD=x,用含x的代数式分别表示出 DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出 y与x的函数关系式，求出顶点坐 标，即可求解。D、E分别是边BC AC的中点，连接7.如图 1,在 RtA ABC 中，/B=90； BC=2AB=3 点jJiDDE,将 EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为图1(1)问题发现当

23、”二附，(2)拓展探究；当 a =180Bt,或=试判断：当0°y360°时，质 的大小有无变化？请仅就图 2的情形给出证明.(3)问题解决当 EDC旋转至AD, E三点共线时，直接写出线段 BD的长.【答案】(1)(2)解：如图2,图？网当0° y360°时，的大小没有变化, / ECD=Z ACB, / ECA土 DCB,叵於四 又加一加一二T.EC/VADCB, . AC=4匚，CD=4, CD± AD, .AD=、 . AD=BC, AB=DQ / B=90 ； 四边形ABCD是矩形，BD=AC=心.如图4,连接BD,过点D作AC的垂线

24、交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点 . AC=入耳，CD=4, CD±AD,.-.ad=卜方 7 奴卬F -晒话 y 点D、E分别是边BC、AC的中点，1II-AB =- X (8 -r 2) = - X A.DE= -2-=2, .AE=AD-DE=8-2=6,由(2),可得，BD=综上所述，BD的长为A/或 5 .【解析】【解答】(1)当a=0时,. RtABC 中，/B=90 ；.AC= J便中蜡=4%刃十 / 胞,点D、E分别是边BC、AC的中点，,BD=8 + ,2=4一D当a =180时，可得 AB/ DE,【分析】(1)当"0时，出AE,BD的长，从而

25、得出答案;AE： BD=EC： DC=;根据两组对边分别相等，且 根据矩形对角线相等得出有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形,RtABC中，根据勾股定理算出 AC的长，根据中点的定义得如图1,当a =180时，根据平行线分线段成比例定理得出AC： AE=BC： BD,再根据比例的性质得出 AE ： BD=AC： BC从而得出答案。(2)当0° y360°时，A E： B D的大小没有变化，由旋转的性质得出/ ECD叱ACB,进而得出ZECA=Z DCB,又本据 EC： DC=AC： BC=/，根据两边对应成比例，及夹角相等的三4角形相似得出ECADCB,根据

26、相似三角形对应边成比例得出(3) 如图3,在R匕ADC中，根据勾股定理得出 AD的长,BD=AC=%J 如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线 交AC于点P,在RtAADC中，利用勾股定理得出 AD的长，根据中点的定义得出 DE的长，卞据AE=AD-DE算出AE的长，由(2),可得AE ： BD=?,从而得出BD的长度。8.已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A (-1, 0)和点B (3, 0),顶点为D,点C是直线l: y=x+5与x轴的交点.(1)求该二次函数的表达式；(2)点E是直线l在第三象限上的点，连接EA、EB,当ECABCE时，求 E点

27、的坐标;(3)在(2)的条件下，连接 AD、BD,在直线 DE上是否存在点 巳使得/ APD=/ ADB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：将 A （-1,0）, B （3, 0）代入 y=ax2+bx-3, - b - 3 = 6f a = 1得：,由户启 3 4,解得：电 1,，该二次函数的表达式为y=x2-2x-3（2）解：当 y=0 时，x+5=0,解得：x=-5, 点C的坐标为（-5, 0）. 点A的坐标为（-1, 0）,点B的坐标为（3, 0）, .AC=4, BC=8. .EC/VABCEAC EC 4 EC/ ECA=Z BCE Ef =:,即 EC

28、 = 8 , EC=4 3 或 EC=-4 近（舍去），过点E作EFL x轴于点F,如图1所示， 直线l的函数表达式为y=x+5, .CEF为等腰三角形，CE=EF=4.OF=5+4=9, EF=4, 点E的坐标为（-9, -4）;（3）解：y=x2-2x-3= （x-1） 2-4, 点D的坐标为（1, -4）,.AD=BD=跖 二 7 二 心 + 3 一 宿=2 a,由（2）可知：点E的坐标为（-9, -4）, 直线DE的函数表达式为 y=-4,过点A作AMLBD于点M,过点A作AN,直线DE于点N,如图2所示, 点D的坐标为（1, -4）,点A的坐标为（-1, 0）,点B的坐标为（3, 1

29、Saabd=上 X 3（-1） X 4=8 药一硒I队门1. AM= = N，=,DM= A0 一 A*- = 5 , / APD=/ ADB,巴tan / APD=tan/ ADB,即 可4 鬲= .PN=3,又点N的坐标为（-1, -4）,.点P的坐标为（-4, -4）或（2, -4）.综上所述：在直线 DE上存在点 P （-4, -4）或（2, -4）,使得/APD=/ADB.【解析】 【分析】（1）根据点 A, B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点 A, B的坐标利用相似三角形的性质可求出 EC的值，过点E作EF

30、Lx轴于点F,则4CEF为等腰三角形，根 据等腰直角三角形的性质可求出CE, EF的值，进而可得出点 E的坐标；（3）利用配方法可求出点D的坐标，进而可得出 BD的长度，结合点 E的坐标可得出直线 DE的函数表达式 为y=-4,过点A作AMLBD于点M,过点A作AN,直线DE于点N,利用面积法可求出 AM的值，由ZAPD=Z ADB结合正切的定义可求出 PN的值，再结合点 N的坐标可得出点 P 的坐标，此题得解.9.如图，在 RtABC中，ZC=90°,顶点A、C的坐标分别为（-1,2）, （ 3, 2）,点B在x轴上，点B的坐标为（3, 0）,抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两

31、点.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；忖（2）点P是抛物线上的一点，当 Sapab= 3 Saabc时，求点P的坐标；口A（3）若点N由点B出发，以每秒 5个单位的速度沿边 BC CA向点A移动，J秒后，点M 也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段 BO向点O移动，当其中一个点到达终点时 另一个点也停止移动，点 N的移动时间为t秒，当MNLAB时，请直接写出t的值，不必 写出解答过程.【答案】（1）解：将点A （- 1, 2） , C （3, 2）,代入抛物线y=-x2+bx+c中， - 1 - b c - 2 b = 2,得；9-,解得匚 工解得，抛物线 y= - x2+2x+5.(2)

32、解：二.点 A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2),BC，x 轴，AC=4, BC=255 F他 _ _，a ASC 5,设直线 AB为y=mx+n,*)， .PM=； /S =-AC X B将点A (-1,2) , B (3,0),代入可得设点P (x,/ 子5),过点P作PN±x轴，交直线AB于点M,则M (x,5 4 FAB 二理x招,直线AB为y=(3)解：当I ' ' 7 J时，如图1,点N在BC的线段上，BN=5'，BM= ' J ,.MN LAB,，4比 # “锄君 90：又. A (-1,2) , B (3,0) ,

33、C (3,2),.AC/x 轴,BC/ y 轴,/ ACB=90 ；寸=刃"|, .|/登=又 / MBN=Z ACB=90 , BNM-A CAB, 61-t t J BN 豳 5 a -灰，则42 ,J解得t=2.5. Gi r 圣BM=当33时，点N在线段AC上，如图2 , MN与AB交于点D,1 6t AN - 6 二 r 35由 A (-1,2) , B(3,0),得 AB=k/7 71二入5 ,设 AD=a,则 BD=-V -日,3 / ADN=Z ACB=90 , °Z DAN=Z CAB,4 .ADN-A ACB,5 / BDM=Z ACB=90，。/ DB

34、M=Z CAB,6 .BDM-AACB,J 6f - = -I - J, 则6解得- 3 .【解析】【分析】(1)将点A (- 1 , 2) , C (3, 2),代入抛物线y=-x2+bx+c中，联立方程组解答即可求出 b和c的值；(2)由A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2)可求出直线 AB的解析式和S ，楹I,从而求出$也户轴设PP (x,-1+2, * 5 ),过点 P作PN±xV，-S w月均-评乂 E - & -瓦轴，交直线AB于点M,则M (x,二彳)，可得-代入求出P的横坐标x的值，再代入抛物线的解析式求出点 P的纵坐标；(3)首先要明确 时

35、间t表示点N运动的时间，由点 M, N的速度可求出它们当到达终点时的时间 t,取其 中的较小值为t所能取到的最大值；由点 M只在线段OB上运动，点N在线段BC和线段AC上运动，则要分成两部分进行讨论，当点 N在线段BC上时和当点N在线段AC上时，并分别求出相应时间 t的取值范围；结合相似三角形的判定和性质得到相应边成比例，列 方程解答即可.10.操作： 收 和 五八1都是等边三角形，绕着匕点按顺时针方向旋转,是改、的中点，有以下三种图形.探究:（1）在上述三个图形中，欣是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个 比值；（2）也7缈.的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结

36、论;（3）与如1有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论BO - -BC【答案】（1）解：.匕瓜 是等边三角形，由图（1）得AOLBC,2依-$加,丽-讴/ ；（2）证明：曲:加=，A 二品7=8加 + ZAOB - AOA 4一二加 一婚，AAOA - *8曲（3）证明：在图（3）中，由（2）得“的 1班" ?/ 2+Z 4=/ 1 + Z 3,即 / AEF =/ AOB / AOB=90 ；掰上也产二养上加【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得AO±BC, BO=_ BC=J AB,根据勾股定理计算即可求得 AO= , B0,即AO： BO是一个

37、固定的值卜乃：1; (2)由等边三角形的性质 可得 A0± BC, Vo上BG ,由同角的余角相等可得|上仇城 二小在对1 ,由(1)可得A01B0 =,可得AAOA心比城，根据相似三角形的性质可得A/:加=口7 ； ( 3)在图(3)中，由(2)得*，君凉，根据相似三角形的 性质可得/1 = /2,根据对顶角相等得/3=/4 ,则/2+/4=/1 + /3=/AOB=90 ,即 AA ± BB .n 二 f 711.在平面直角坐标系中，直线 j' 与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数匚LKm-* * bx * c的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点

38、A,动点D在直线BC(1)求二次函数的表达式；(2)如图1,连接DC,DB设4BCD的面积为S求S的最大值；(3)如图2,过点D作DMLBC于点M,是否存在点 D,使得4CDM中的某个角恰好等 于/ ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由./【答案】(1)解：直线 -”，当J 6时，f 二；当 )。时，片=",. 取口，函词.二次函数-的图象经过历，£两点，解得e aJ 3二次函数的表达式为:二常-X -(2)解：过点区作鹿工)轴于点山，交瓦于点忸，过点C作16r上斑于点4 ,器(3)解：2或在工轴上取点K，使统酬,则"C 2ZAB .过

39、点/作国/物交口延长线于点G ,过点人作加上1轴于点百,设点用的坐标为血,如，则M在信twe中，（4 M #今/,解得 当/沈野=ZQCB = 2ABC = /诋时，BQ 险声-易证BOC.幽-少,直线 靠的函数表达式为:（舍）.区点的横坐标为2.当/加二&=Z限时，方法同，可确定点工的横坐标为,【解析】 【分析】（1）先求得点 B C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点/作班上 ） 轴于点£ ,交质于点力 ,过点COf J/用含有a的代数式表示出处的长，再根据$3附'5a"同得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点 K,使CK=BK则/ OKC=2Z ABC,过点B作BQ/ MD交CD延即，金故分以下两种情况讨论:长线于点 Q ,过点 Q 作 QH±x 轴于点 H ,分/DCM=/Q