2018年高考数学破解命题陷阱专题14统计易错大全

1、专题14统计易错大全.知识列表本讲模块同f f H局考要求了解理解掌握古典概型频率信计概率A互斥事件与对立事件C古典概型C几何概型长度型几何概型B面积型几何概型C体积型几何概型B统计回归直线B独立性检验C离散型随机变量的分布列及期望方差C二.基础知识：古典概型1 .频率和概率(1)在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件 A是否出现，则n次试验中事件 A出现的次数m为事件A出现的频数，称事件 A出现的比例fn(A) m为事件A出现的频率；n(2)如果随着试验次数的增加，事件 A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记为P(A),称为事件A的概率.简称为A的概率；(3)频率和概率有本质

2、区别，频率随试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；对于给定的事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).概率的取值范围： 0 P(A) 12 .互斥事件：如果 A，B为不可能事件 aQb,则称事件 A与事件B互斥，即事件 A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.互斥事件的概率加法公式：P(aJ B) P(A B) P(A) P(B)P(a"a2U h P(A)P(A2)P(An)3 .对立事件：若 A。B为不可能事件，而 ab为必然事件，那么事件 A与事件B互为对立事件，其含义 是事件A与事件B在任何一次试

3、验中有且仅有一个发生.对立事件的概率：P(A) 1 P(A)4 .古典概型(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件基本事件的特点：任何两个基本事件是互斥.任何事件都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型的两大特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.5 .古典概型的概率计算公式：包含的某本事件个数 mP A 二17二二二 m ( n为总的基本事件个数， m为事件A的结果数). 总的基本事件个数 n6 .几何概型(1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几

4、何概型.(2)几何概型的概率公式构成事件A的区域长度(面积或体积)p a 试验的全部结果所构成的的区域的长度(面积或体积)7 .统计8 .抽样方法(1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的情况，常用的抽 样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样.(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为四(较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等.简单随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表法.(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后按各部分所占比例抽样, 其中所分成的各部分叫做层.(4)系统抽样是当总体

5、中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先按确定的在各部分抽取.9 .总体分布的估计(1)作频率分布直方图的步骤：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)决定组距与组数将数据分组列频率分布表(下图)分组频数频率累计频率t。，ti)rififiti, t2)2f2fi+ f2tkT' tkkfkf2+m+fk=i画频率分布直方图，将区间a, b)标在横轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得k个矩形，这样得到的图形叫频率分布直方图.频率分布直方图的性质：第i个矩形的面积等于样本值落入区间ti1, ti)的频率；由于 fi+ f2+ |+

6、fk=1 ,所以所有小矩形的面积的和为1.(2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，折线图会越来越近似于一条光滑曲线，称之为总体密度曲线.(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是中格中间的一列数， 叶是从茎旁边长出来的一列数 .用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎 叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示.10 平均数和方差的计算,Xn,则 X (Xi+X2 + | Xn)X2,如果有n个数据x，；(Xi-X)2+(X2-X)2+|“(Xn- X)2叫做这组数据

7、的平均数，s叫做标准差.叫做这组数据的方差，而(2)公式 s2 1(x12+x22+|j | xn2) nx (3)当一组数据Xi, X2, , Xn中各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a,得到Xi =xi- a,21'2'2'2、一2X2 =X2- a,，Xn = Xn- a,则 s(x +X2 +| Xn ) nx 11 利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数值.(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和(3)众数：最高的矩形白中点的横坐

8、标.(4)极差=最大数最小的数.12 两个变量的相关关系(1)如果两个变量之间没有函数关系所具有的确定性，它们的关系带有随机性，则称这两个变量具有相关关系.(2)有相关关系的两个变量，若一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也是由小到大，这种相关称为正相关；反之，一个变量的值由小到大，另一个变量的值由大到小，这种相关称为负相关(3)如果散点图中，具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，则称这两个变量具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，方程为 nXiyi nx y 其中 I? ? y b?XXi2 n(x)2 i 1(4)样本的相关系数(X X)2i 1n(x y)2i

9、 1当r 0时，表示两个变量正相关，当r 0时,表示两个变量负相关，|r|越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r| 0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系13 独立性检验(1)分类变量用变量的不同“值”， 表示个体所属的不同类别， 这种变量称为分类变量.例如：是否吸烟，宗教信仰,(2)列联表：即列出两个分类变量的频数表：一般地，假设有两个分类变量 7和它们的值域分别为X1,X2和y i, y2,其样本频数列联表(称为2X2列联表)为:y1y合计Xiaba bX2cdc d合计a cb dn其中n a b c d为样本

10、容量.(3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度，具体做法是：根据观测数据计算由公式K22n(ad bc)(a b)(a c)(c d )(b d)所给出的检验随机变量的观测值k ,并且k的值越大，说明“ X与Y有关系”成立的可能性越大，同时可以利用以下数据来确定“X与Y有关系”的可信程度这种利用随机变量 K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.3.典例分析例1.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：

11、(1)至多2人排队等候的概率是多少;(2)至少3人排队等候的概率是多少.【答案】C【解析】记“无人排队等候”为事件 A , “1人排队等候”为事件 B , “2人排队等候”为事件 C , “3人排 队等候”为事件 D , “4人排队等候”为事件 E , “5人及5人以上排队等候”为事件 F ,则事件 A,B,C,D,E,F 互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件 G ,则G A B C ,所以P(G) P(A) P(B) P(C) 0.1 0.16 0.3 0.56.(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件 H ,则H D E F ,所以P(H) P(D) P(E) P(F) 0.3 0.

12、1 0.04 0.44.方法二：记“至少3人排队等候”为事件 H ,则其对立事件为事件 G ,所以P(H ) 1 P(G) 1 0.56 0.44.练习1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取 3件.(1) “3件都是二级品”是什么事件？(2) “3件都是一级品”是什么事件？(3) “至少有一件是一级品”是什么事件？【答案】(1)不可能事件(2)随机事件(3)必然事件【解析】 (1)因为12件瓷器中，只有 2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.(2) “3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件(3) “至少有一件是一级品”是必然

13、事件，因为 12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品 .练习2.盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球 .(1) “取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？(2) “取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3) “取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？4【答案】(1) 0, (2) (3) 19【解析】 门)”取出的球是黄球”在题设条件下根本不可育线生 因此它是不可肯痔件j其概率为0.4)X取出的球是白球”是随机事件，它的概率是？.9(3)”取出的球是白球或黑球R在题设条件下必然要发生，因此它是心然事件它的概率是L例2.已知a,b,c为集合A 1,2,3,4,5

14、,6中三个不同的数，通过右边框图给出的一个算法输出一个整数【解析】根据框图判断，本框图输出的a为输入的三个数a,b,c中的最大值11最大值是3的情况，输入的三个数为 1, 2, 3 , 1种情况最大值是4的情况，输入的三个数为1, 2, 3里两个以及4 , 3种情况最大值是5的情况，输入的三个数为最大值是6的情况，输入的三个数为1, 2, 3, 4里两个数以及5 , 6种情况1, 2, 3, 4, 5里两个数及6, 10种情况2a 5的概率=一.5,2故答案为2.5练习1.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面

15、朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻的两个人站起来的概率为A. 1 B. 15 C. 11 D.勺2323216【答案】Ct解析】五个人的编号为1234,5由题意,所有事件共有笳=32种，没有相邻的两个大站起来的基本事件有,（电,44）（24）, 再力吐（25）,0,5）没有人站起来的可能有1种，共11种情况, 所以没有相邻的两个人站起来的斛为范故答案选C日销售量（枝）04950 99100149150199200250销售天数（天）3天3天15天6天3天练习2. 一鲜花店一个月（30天）某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下:将日销售量落入各组区间的频率视为概率.（1）试求这30天中日销售量

16、低于 100枝的概率；（2）若此花店在日销售量低于 100枝白6 6天中选择2天作促销活动，求这 2天的日销售量都低于 50枝的 概率（不需要枚举基本事件）.【答案】(1) 1; (2)- 5531【解析】（1）设日销售量为x,则P0 x 49， P 50 x 10030 10由互斥事件的概率加法公式，3130 10P 0 x 100 P 0 x 49 P 50 x 100注：直接按照古典概型的计算公式，得 P 0 x 100111 -.10 1053 31同样给分.305（2）日销售量低于100枝共有6天，从中任选两天促销共有n 15种情况；日销售量低于 50枝共有3天,从中任选两天促销共有

17、 m 3种情况.由古典概型的概率计算公式，所求概率15 5【防陷阱措施】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.例3.在区间0,4上随机地选择一个数p ,则方程x2px 3p 8 0有两个正根的概率为A. 13【答案】B.C.D.方程px3p0有两个正根，则有xx2xx20一八88或一34,又p 0,4，由几何概型概率公式可得方程x2px 3p 8 0有两个正根的概率为练习1.在棱长为a的正方体中随机地取一点P,则点P与正方体各表面的距离都大于a的概率为（）

18、3A.工27【答案】B.-C.16【解析】符合条件的点 P落在棱长为a一的正万体内,3根据几何概型的概率计算公式得P3a31a327练习2.正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在A1C上运动（包括端点），则BP与AD1所成角的取值范围A. , - B. -, - C. -, - D. -,4 34 26 26 3【解析】以点。为原点,皿比.题分别为小六1建立空间直角坐标系，设正方体棱长为L设点产坐标为（工1-%三），则蕨=（x-Lr2）,苑=（-L0l）谩下瓦 的夹角为以，所以CO5SZ =BP BCy（工-l j +工工鼠&,所以当工二工时f cos a取最大值 十|磁6131

19、时，cos因为BC1 / /AD1 .故选D.例4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点，则O被y 3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案,6此点取自阴影部分的概率为（D.12A. B. C.3618【答案】B【解析】设大圆的半径为R,贝U：则大圆面积为：S1R2 36 ，小圆面积为：S212 2 221则满足题意的概率值为：p 一.本题选择b选项.3618练习1.北宋欧阳修在卖油翁中写道： “（翁）乃取

20、一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：“我亦无他，唯手熟尔.”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为1.2cm的圆，中间有边长为0.4cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（A. 4-B. C. 5-D.996【答案】B【解析】概率为几何概型，测度为面积，概率0.421.22练习2.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）A7B.C.D.1621618【解析】谀甲到达的时刻为兄, 乙到达的时刻为y,则斫

21、书基本事件构成的平面区域为 2（编了）|04工，24,0«尸424，谩“这两艘船中至少有一艘在停堂泊位时必须等待”为事件/，则 事件A包含的基本事件构成的平面区域为幺=（兀y）恒V工< NO < T V 24,卜*| M 6,如图中阴影部分 所示.乙船到达时间(由几何概型概率公式得P A吐=118 18二工，即这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待S 24 2416的概率为工，选U.16【防陷阱措施】求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解.几何概型应注意：（1）求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所

22、表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解;（2）依据几何概型的特点判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择恰当合理的观察角度；（3）求与角度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化成角度，然后求解例5.双十一网购狂欢，快递业务量3增.甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示.（I）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）（n）求甲送件数量的平均数;（出）从乙送件数量中随机抽取 2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率.甲24252627乙52 6【答案】（I）乙快递员的平均送件数量较多（n）254 （出）20213 5 9【解析

23、】（I）由茎叶图知甲快递员 11月12日到18日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多,，乙快递员的平均送件数量较多.（H）甲送件数量的平均数：_ 1x 244 246 251 253 254 262 2682547（111）从乙送件额量中随机抽取2个基本事件总数网 211至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是i由取的2个送件量都不大于254,至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的班率：练习1.在某公司的职工食堂中,食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包， 然后以5元1个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面

24、包需求量的频率分布直方图如图所示.食堂某天购进了 90个面包，以x （个）（其中60 x 110）表示面包的需求量，T （元）表示利润（1）根据直方图计算需求量的中位数;（2）估计利润T不少于100元的概率;【答案】(1)85 个;(2)0.75；(3)142.t解析】需求量的中位数吧M=B5 （个）（其它解法也给分）(2)由题意:当604五工90时利J闰丁 = 5£ + 1-(90万)-3x90 = 4% IX比当时利润丁 = 5x903x90 = 180,4，180(60 V XV 90)即7 =. 1. J18O(9O< T<110)设利润T不少于100元为事件 A

25、,利润T不少于100元时，即4X 180 100,X 70,即70 X 110,由直方图可知，当 70 X 110时，所求概率： P A1 P A 1 0.025 70 600.75练习2. 2017年“十一”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段： 60,65 ,65,70 ,70,75 ,75,80 ,80,85 ,85,90 ,后得到(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；(2)若从车速在 60,70的车辆中任抽取2辆，求车速

26、在 65,70的车辆恰有一辆的概率.【答案】(1) 77.5 , 77.5. (2) P -8.15【解析】(1)众数的估计值为最高的矩形的中点门即众数的估计值等于77.5, 说图中虚线所对应的车速为#,则中位麴的估计值为：O.OIx5+OO2x5-fCO4x5+O,06x(jc-75)=0.5;解得x=775 .即中位翻的估计值为77-5 .(2)从图中可知，车速在 60,65的车辆数为：m1 0.01 5 40 2 (辆),车速在65,70的车辆数为：m2 0.02 5 40 4 (辆), 设车速在 60,65的车辆设为a, b,车速在65,70的车辆设为c, d , e, f ,则所有基

27、本事件有：a,b ,a,c, a,d, a,e, a, f, b,c , b,d , b,e , b, f , c,d , c,e ,c, f ,d,e, d, f, e, f共 15种，其中车速在 65,70的车辆恰有一辆的事件有：a, c , a, d , a, e , a, f , b,c , b, d ,8b,e , b, f共8种.所以，车速在 65,70的车辆恰有一辆的概率为P 一.15例6.某媒体为调查喜爱娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了 30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图:界性艰众女性现众I I喜欢节目金不言取节目H(1)根据该等高条形图，完成下列

28、 2 2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？喜欢节目总不喜欢节目A总计男性观众女性观众总计6。(2)从性观众中按喜欢节目 A与否，用分层抽样的方法抽取 5名做进一步调查.从这 5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率.附:P K2 k0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82822n ad bcK2 abcdacbd【答案】(1)列联表见解析，能在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关;(2)【解析】(1)由题意得2 2列联表如表:喜

29、欢节目A/、喜欢节目A总计男性观众24630女性观众151530总计392160假设Ho ：喜欢娱乐节目A与观众性别无关,皿 260 24 15 15 6540则K2的观测值k 5.934 3.841,39 21 30 3091所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关.5(2)利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目 A的人数为24 & 4,不喜欢节目30A的人数为6 1.3020被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为a , b , c , d ;不喜欢节目A的1名记为B .则从5名中任选2人的所有可能的结果为:a,b , a,c , a

30、,d , a, B ,45c,d , b,c , d, B共有10种，其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目 A的有a, B , b, B ,b,c , d, B 共 4 种，42所以所抽取的观众中恰有 1名喜欢节目A和1名不喜欢节目 A的观众的概率是 -.105练习1.假设某种设备使用的年限 x (年)与所支出的维修费用 y (万元)有以下统计资料:使用年限x23456维修费用y24567若由资料知y对x呈线性相关关系.试求:(1)求X, y； (2)线性回归方程 y bx a； (3)估计使用10年时，维修费用是多少?附：利用“最小二乘法”计算a,b的值时，可根据以下公式:nXi yi n

31、x ya? y bxi 1n2_ 2xin(x)i 1【答案】(1) x 4, y 4,8 (2) y 1.2x (3)维修费用为12万元【解析】试题分析：(1)利用x, y的计算公式即可得出；(2)利用b的计算公式得出结果，再求 a ；(3)利用第(2)问得出的回归方程，计算 x=10时的结果.试题解析:7、_ 2 -F3+4+ 5+6 . _ 2+4+5 + 6+7 # _ 1 x = 4, j? =4.13<2)= 2x2+3x4 + 4x5 +5x6+ 6x7 = IOS ,产两=54W = 96 ,-I a Id-966rl如一勖2 = y装=4卫一12x4=0,所以，线性回归

32、方程为尸= L2 .（3）当x=10时，y=12,所以该设备使用10年，维修费用为12万元.练习2.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取 100只小鼠进行试验，得到如下联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计30701002参考公式：k2ncabcd acbd_2P K k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过 （填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的

33、效果”.【答案】5%21- 口210010 30 20 40乙 一口 ，w /【解析】由题意可得，k2 4.762 3.841,参照附表，可得：在犯错误的概50 50 30 70率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为5%.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制2 一 .一。n ad bc一 。成2 2列联表；（2）根据公式 K2 计算K2的值；（3）查表比较K2与临界abad acbd值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）【防

34、陷阱措施】1.频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识.把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视.2.求解回归方程问题的三个易误点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的 关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过（又刀）点，可能所有的样本数据点都不在直线上. 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确

35、值，而实质上是预测值（期望值）.类型7.两点分布,_1,正面向上例7.抛掷一枚硬币，记X ,，则E x （）1,反面向上1nl回1印叵国2【答案】3【解析】E X 1 111 0 ,选国22练习1.设某项试验的成功率是失败率的 0倍，用随机变量团描述1次试验的成功次数，则 团的值可以是.I【答案】H【解析】 这里“成功率是失败率的 时”是干扰条件，对 1次试验的成功次数没有影响，故 因可能取值有 两种，即_J练习2.篮球比赛中每次罚球命中得 1分，不中的0分.已知某运动员罚球命中率为 0.7,求他一次罚球得分 的分布列及均值.【答案】P0100.30.7E X 0 0.3 1 0.7 0.7类

36、型8超几何分布一般地，若离散型随机变量X的分布列为XX1X2 |XiXnPP1P2 IPi一Pn则称E(X) XR X2P2 H| XiPi JU XnPn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平若Y aX b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，因为P(Y ax b) P(X xj,i 1,2,1,n所以，Y的分布列为于是a(Xn b) PnPi | Pn)ppax2p 1Xpp x)pnn XYaX1 baX2 baXi baXn bPP1P2PiPnaE(X) bn2万差 DXXi EX Pi .i 1方差刻画了离散型随机变量与均值的平均偏离程度n离散型随机变量

37、分布列的性质：(1) P 0(i1,2,3,.n)；(2)Pi1.i 1般地，在含有 M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有 X件次品，则P(Xk)k n kCM CN McN,k0,1,2,|m,其中m minM,n,且n N, M N,N,M,n N，如果随机变量具有:例8.一个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得 3元奖励；若异色则游客获得 1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润 (单位：元)的期望值是()4.02D.0.5【答案】0【解析】游客摸

38、出的一,2因此EX 115所以选L 练习1.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能1 1 1够通关的概率分别为 111 （这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一2'3 4个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为,设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X的数学期望为113【答案】113412【解析】随机变量 X的所有可能取值为PJ23.111111111111123 4 234 2 344111111111 一 一 1 -1 -1 - 一234234

39、 2411112 3 4 24所以，随机变量X的分布列为X0123P11111424424,，、一 1111113随机变量X的数学期望E X 01111223 .42442412练习2. 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品.用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受.抽检规则如下：至多抽检 3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这多f产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是10101010故答案为271010【解析】根据题意用户抽检次数的可能取值为OZU,那么可知1911988P 1 ,P 2 1 P

40、 2-98 ，故根据期望公式可知为1010910109101 c 1。8271 2 3 ,类型9.期望方差 例9.设非零常数d是等差数列X1,X2,X3,|X9的公差，随机变量 等可能地取值X1,X2,X3,|“，X9,则方差困区2田3d2E10d2回6d233【答案】周【解析】因为等差数列X1, x2,x3J”,x9的公差是目，所以X 1 9X1 -8dX1 4d ,921 222222222202 4“、4同D( ) - 4d 3d 2d d 0 d 2d 3d 4d d 故选小 93练习1.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,2 ,从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球

41、停止，用 国1表示所有被取到的球的编号之和，则IE的方差为 .【答案】8 3【解析】国的分布列为练习2.已知随机变量的分布列如下:i-101P13ab升 1,若E ，则D ()4图5 e 41 De. u a |i答案】01117【解析】由数学期望计算公式有：110a1b- b -, b ,33412,1 一 一1 -1由一 a b 1 可得： a 1 - b 一, 3312222111111411-0-1-434124448本题选择球选项.1例10.已知随机变量 X的分布列为P X k - , k 1,2,3，则D 3X 5等于（）3O 瓯c3 晅【答案】3一，1【解析】由题意，E X 12

42、 3-2, D X3D 3X 5 9D X 9 2 6,3故选A.练习1.设10X1X2X3X4104, X5 105.随机变量1取值X1,X2,X3,X4,X5的概率均为0.2,随机变量2取值 匚红,X_,当_,包上,X_的概率也为0.2.若记D 1 ,D 2分别为1, 2的 22222方差，则 （）口 D1 D2初 D1 D2EZd1 D2叵1Id1与D2的大小关系与X1,X2,X3,X4，的取值有关【答案】0【解析】由题意可知E 1 1 X1 x2 % x4 x5 , 51 x1x2X2X3X3X4X4X5X5X12222XiX2 X3 X4 X5 ，期望相等，设都为m D i 1Xim

43、2522Ik5 m2 ,D 21Tmi|号 m45P 10 X1 X2 X3 X4 10 , X5 10 .练习2.若样本数据X1,X2,X3,X10的平均数是10,方差是2,则数据2X1 1,2X2 1,2X3 1, 2xo平均数与方差分别是()口 20日 | 乱 21,12| 仁 22N21回【答案】画【解析】由题意知，覆+沟+玛+= 10x10 = 100D二孤巧TO)一(覆T°>' +(%T°用Dq(端+$)T0xm口 =2 数据为+L 29 + L2三+-2x10 +1的平均热E(X)=2工1 十LN.十L2巧 +1, -2xlfl +1 )=已以%

44、十与十-+x1(>)十 1x10 = 21数据2/十L25十L2三十I, 2叫。+1的方差D(2X+1) = (4 +4巧工十 十4为J)-lOxlS所以答案为四.例11.来自某校一班和二班的共计 9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩20序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是-20 .21(I )求清扫卫生岗位恰好一班 1人、二班2人的概率；(n)设随机变量 X为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求X分布列及期望.5一一一【答案】(1)5;(n)见解析.14【解析】(I)记“至少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A ,则A

45、的对立事件为“没有 志愿者被分到运送矿泉水岗位”，. . 一，.FCH设有一班志愿者 x个，1 x 9,那么P A 1 CWC320 l r ，一 ，,解得x 5,即来自一班的志愿者有 5人,21来自二班志愿者 4人;那么p Cc5c25记“清扫卫生岗位恰好一班 1人，二班2人”为事件C ,5所有清扫卫生岗位恰好一班 1人，二班2人的概率是 .14（n） X的所有可能值为0,1 , 2,3 .PX1等小。X 2C；C：10cvcC3C：5,PX3-534,C321C；42X I0123D15105P21142142所以X的分布列为L、，-1, 5c 10 c 55EX 01 - 23 一 一2

46、11421423练习1.袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号h 2、口里 可；红球三个，分别编号,现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ,则P X 3等于（）28_1556【答案】0【解析】X=3第一种情况表示1个当 月=工乎14第二种情况表示2个3, 6 =14312所以产（五=3）=耳+鸟=值+万=二 故选D.练习2.为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示:班级宏志班珍珠班英才班精英班参赛人数20151510(I)从这60名高二学生中随机选出 2人，求这2人在同一班级的

47、概率;(n)现从这60名高二学生中随机选出 2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为X ,求随机变量 X的分布列和数学期望.【答案】(I) p 89L (n) E X 118 354177【解析】(I ) 060名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为/ = 1770 ,且这2人在同一班级的基本事件个数为4一3+3+嗫二*5，故所求概率P二丝二.1770 3542C2026C2059(n)由题意的 X的所有可能的取值为 0,1,2 .c2o c4o 80 p X 2c0 29屋 177'C6o 177'所以X的分布列为:x|012P26598017719

48、177c 26 (80 c 191180 - 1 2 59177177177【防陷阱措施】 求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解.(2)已知随机变量因的均值、方差，求因的线性函数匹西画的均值、方差，可直接用 团的均值、方差的性质 求解.(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个 体个数二的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的

49、小球等概率模型，其实质是古典概型. 类型10.二项分布的期望与方差独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 独立重复试验的概率公式:一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn（Xk） CkPk（1 P）n k,k 0,1,2,|n .称这样的随机变量X服从二项分布它的数学期望：E X np,方差为：D X np（1 p）例12.设随机变量X服从二项分布，且期望 E XC1 一、,3 , p -,则方差D X等于（）5A.B.4 C.12 CD.【解析】由于二项分布的数学期望EX=叩=3,所以二项分布的方差 口

50、公）二叩（1-0 = 3。-7） 二 £/应填选答案C练习1.已知随机变量，且 服从二项分布 B 10,0.6，则E 和D的值分别是（）国口2.40. 2 和 2.4 口和 5.6 回和 5.6【答案】3【解析】根据二项分布的特征可得：E np 10 0.6 6, D np 1 p 10 0.6 0.4 2.4,故选A.练习2.一款砸金蛋游戏的规则如下：每盘游戏都需要砸三个金蛋，每次砸蛋要么出现金花，要么不出现，1已知每次砸蛋出现金花的概率为1,且各次砸蛋出现金花与否相互独立.则玩三盘游戏，至少有一盘出现2金花的I率为（）A.些 B.见 C. % D. 7 1024512648【答案】01221 113- 113【解析】砸蛋三次出现一次金花概率为C1 11 13 ,出现两次