高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题05三角函数与解三角形A辑(解析版)

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A辑L【2。8高中数学联赛（第。1试）】设AC的内角月，B, C所对的边，b, c成等比数列，则篙翳篝 的取值范围是（）A. （0,+oo） B.（0,） C.D. （,+8）【答案】C【解析】设。，b,。的公比为g,则=aq,c = aql第3贞共23而 s in* otC+cos c .b + c a.即有不等式组（aq + aq- a1一遍 / vT+i即解得 Q 6-T才遮+1 从而一；V q /13&sin(x +(p c)+a + b= 1.UP V13 as in(x + /13bsin(x

2、+(p)cosc - T3bcos(x + |就雌出|瓦- 2tBA-BC + t2BCz AC2,令亡=丝与，代入上式，得|记J|2-2|瓦Jcosa + cos2al瓦|而 |bC|”即|瓦I就，也即|5%sina AC.从而有I而I I而I，由此可得CB =三“故选：C.4.12005高中数学联赛（第01试）】4BC内接于单位圆，三个内角/, B,。的平分线延长后分别交此圆于4i Bi，G.则心的值为（sin4+sinB+sinCA. 2B. 4C. 6D. 8【答案】/【解析】如图,联结3小，则他= 2sin(B + = 2sin(竺F + g f = 2cos(g JbR、/ yc4

3、所 VXAA1 cos 7 = 2cos ? cos g = cos +:-，+ cos=cos( C)+ cos (5 - B)= sinC + sinB同理SB】 cos： = sin/1 + sinC, CCX - cos = sinA + sinF 1所以力4 cos : + BBt cos : + CC cos ? = 2(shvl + sinB + sinC), 4 /于是，原式=吧吆吧空巴=2. sin4+sinB+sinC故选：A.注本题也可以用“特殊值法，当月3c是正三角形时，易知所求的值为2.5.12004高中数学联赛(第01试)】设锐角使关于x的方程/+4%859 + 8

4、的=0有重根，则。的弧度数为( )A. - B.三或吧 C. -nJc- D.- 6121261212【答案】B【解析】因方程? + 4xcos0 + cot6 = 0有重根，故4 = 16cos 4cot8 = 0.因为0 V 8三 所以4cot(2sin28 -1) = 0.得sin26 =所以28 =工或28 =, 266于是串言故选：B.6.12003高中数学联赛(第01试)】若工 一3一 J 则、= tan(x + ?) - tan(% + 9+cos(% + *)的最大值是()A. -y/2 B. y2 C.D. y35665【答案】c解析由题意得y = tan （% + cot

5、（% + 葺）+ cos （% +=COS（.in（x） + CS （% + 7） =+ CS （% +-因为一要4（一？ 所以2% + 三升 4+占卜/一弓，可见阳，与3 （ 9在卜等，一引上同为递增函数故当 = ?时，取最大值I.故选：C.712001高中数学联赛（第01试）】在四个函数y = sin|%|, y = cos|x|, y = |cotx|, y = lg|sinx|中以tt为周期，在（o,9上单调递增的偶函数是（）A. y = sin|x|B, y = cos|%|C. y = |cotx|D. y = lg|sin%|【答案】D【解析】可考虑用排除法.y = sin|%|

6、不是周期函数（可通过作图判断），排除/：y = cos|X|的最小正周期为2江，且在（0,上是减函数,排除3：y = |c。枕|在（0=）上是减函数，排除C故选：D.8.12001高中数学联赛（第01试）】如果满足乙60。，NO12, 3。=上的ZU3C恰有个，那么左的取值范 围是（）A. k = 8/3 B. 0 k 12 D. 00, cosaVO,且sin cos则g的取值范围是（）A.(2kn + f2kn+fkEZ B.(萨+ 平+ 2C.(2kn + f2kn + n)fkEZD.(2krr + g, 2kn + ；) U(2kn + 9 2kn + ,k E Z【答案】D【解析】

7、由sina 0, cosa cosg知g终边在第、三象限的角平分线的上方.选项/显然不符合条件(2),选项5取k=0时亦知不符合条件(2),选项C与选项。有相同部分，只需检验选项。中的前部分，显然符合条件(2),又将其乘以3,也在第二象限，符合条件(1).故选：D.10.11999高中数学联赛(第01试)】已知点4(1, 2),过点(5, -2)的直线与抛物线俨=4x交于另外两点瓦 C,那么，43。是().A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定【答案】C【解析】设8(尸,2t),C(s2,2s),s Kt,5K则直线3C的方程为答=会，化简，有2% (s + t)y+2st=

8、0,又因为直线8C过点(5, -2),故2x5-(s+ )(-2)+ 2, = 0,即(s+l)(t+l) = 4,所以3% =老君=高西=-1，所以N3UO90。，即ZL43C是直角三角形.11. 1997 高中数学联赛(第 01 试)】设FQ) = x2 nx, a = arcsin；, = arctany = arccos (：)，B = arccot (9),则( )A. /() f 邛) ns) r(y)B, /(a) f f f(y)C. f (6) r(a) f Cy)D. f ,r(a) /(y) f 【答案】B【解析】由题意，亢i)的图像关于直线4 = ?对称，且在(8,单调

9、减少，在+ 8)单调增加.第5页共23所以，当卜-! 出一当时，有f&)/&),又易知0 V a V久V S 个V y V?潦V 6 V也所以 0 V y-lZh-Zl (J-l 1 a - f(6)9)f(y).12.【1996高中数学联赛(第01试)】设% (-：,0),以下三个数：劭=cos(sin%ir), a2 = sin(cos%7r), a3 =cos(x + 1)江的大小关系是()A. a3 a2 cxxB. ax a3 a2C. a3 ax a2D. a2 a3 ax【答案】【解析】解法因为是选择题，我们可以用特殊值法来解决这个问题.设 =-孑计算题中几个算式的值：cossi

10、nxTr = cos 7 = sin, sincosx/r = sin? V sin 7. cos (% + 1)tt 0.解法二令-= k,则 k (0，E)，则 0 sink V k cask sincosk = a2 0 a3 = cosk 0 a2 a3.13.11995高中数学联赛(第01试)】logm1coslog由1tanl/ogge0slsinl/oggsT tanl的大小关系是()A. logsinlcosl logcoslsinl logsinltanl logcosltanlB. logcoslsinl logcosltanl logsinlcosl logsinltan

11、lC. logsinJanl logcosltanl logcoslsinl logsinlcoslD logcosltanl logsinltanl logsinlcosl logcoslsinl【答案】c【解析】由: 1 知cosl sinl 1 tanl.从而logsirutanl 。且loggsJanl 且logc81sinl ，于是可排除/和从只剩C和Q,又由logcosiSini logCQS1cosl = logsinlsinl 0都成 立的充要条件是()A.。，6同时为0,且c0B. va2 + b2 = cC. va2 + b2 c【答案】c【解析】与a, 6不同时为零时as

12、inx + bcos% + c 0所以Va二 + bsin(% + w) + c 0,则sin(% + (p) 厂,一y/a2b2而式成立的充分必要条件是一三一1，即用二+ 6二Vc.Va-+b-当a, b同时为零时，此时不等式成立的充要条件是c 八二+充.这结论含于C中，故选C 15.11994高中数学联赛(第01试)已知0斥1, 0 a ,则下列三数：% = (sina)losina, y = (cosa)ioosa z = (sina)】。助Ma的大小关系是()A. x z y B. y z x C. z x y D. x y z【答案】/【解析】因为0 b V 1,所以“乃=log/是

13、减函数, 又因为 0 V a 二所以 0 sin a cosa logbcosa 0,所以(sina)gma x.又(sina)ibco6a (cosa)lOR,cosa,即z y,故有X z 4 所以2sin4 - 4sin34 = 2sinA.即 sim4(l 4sin) = 0.但sim4丰0,所以sin，力=乙，而siiM 0,所以siivl = 42从而乙4 = 30，4C = 60：4B = 90二18.【1990高中数学联赛(第01试)】设则(cosa)csa,也/血力(cosa)sina的大小顺序是()A. (cosa)cosa (sina)cos。 (cosa)sinaB.(

14、cosa)COSCT (cosa)sina (sina严。C. (Sina)。 (cosa)cosa (cosa)sinaD. (cosa)sina (cosa)COSCT (sina)cosa【答案】D【解析】因为a G (/9,所以0 cosa V ： V sina 1,故(cosa)sga (cosa)cosa 所以(cosa)。8a (sina)C0Sa.19.11989高中数学联赛(第01试)】若/, 3是锐角月3C的两个内角，则复数z = cosB - sia4 + 1(sinB-cos力)在复平面内所对应的点位于()第四象限A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.【答案】3

15、所以 cosB sin (=【解析】因为A + B%进而0V2一幺VBA / / /cosB - siivl 0.力)=cosA 9 说明z位于第二象限.20. 1989高中数学联赛（第01试）】函数，（） = arctail% + :aitsinx的值域是（）.A. （“） B.一等T C. （*,引 D,【答案】。【解析】危）的定义域是1, 1，此时一三（arctanxJ - - -arcsinx 44424而且a rcta nx和a res inx是单调增加的，从而心的值域是一三耳.21.11987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的条对角线的长不大于6,另条不小于6,则这 个

16、菱形两条对角线长度之和的最大值是（）A. 10/2 B. 14 C. S限 D. 12【答案】5【解析】不妨设菱形458的对角线BD 6.令/ABD=8,则45* arccos- 0 90,5所以 4c + BD = lO（sin0 + cos0） = 1OV2sin（0 + 45）注意到90 45 + arccos - 0 + 4S* （AC + BD）max = lO（sin0 + cos0） = 14. s22.11987高中数学联赛（第01试）】如图，ZUBC的顶点8在单位圆的周心上，A,。在圆周上，ZABC=2a.现将UC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第次，以月为中心，

17、使3落在周周：第二次，以3为中心，使C落到圆周上：第三次，以。为中心，使月落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点月所走路程的总长度为（）A. 227r(1 + sina) - 66aB. 22n + irsina 66aD. 33tt 66a【答案】/【解析】当知。依次以B,。（即在图中/, 51，。2）为中心，在网内接逆时针方向旋转，使点5再次回到 圆心时，点上所描画的轨迹为圆弧441及圆弧乂瓜”且它们的半径分别为1, /C的长边为2切口因为游田与SG5为正三角形，乙= 所以弧所对的网心角为：7T - 2a.又由以Q为中心作第三次旋转时，其边QB1旋转到达Q&闪而，弧4山所对的圆心角为

18、:，这样，劣。每旋转三次，点/所走的路程为（|广一 2a）xl+*2sina = Hl + sina）-2a.故 A45C 旋转 100 次，点月所走的路程为s =今二|五(1 + sina) 2a = 227r(1 + sina) - 66a.23.11986高中数学联赛(第01试)】设一lvvo, 0 = arcsina,那么不等式S7加。的解集为( )A. (x2nn + 0 x (2n + 1)tt-0fn EZ)B. x2nn 8 x (2n + 1)tt6fn 6Z)C. x|(2n - 1)tt + 6 x 2nn0fn GZD. %|(2n l)7r - 0 x 2nn+0fn

19、 EZ)【答案】。【解析】因为一1 V q V 0,所以8 = arcsina 6 (90).先求出在区间(一开,0)中，满足方程si加=。的角 = 一开一 arcsina和 = arcsina.从单位圆中，容易看出，不等式 sinxa的解集为D.24.【1985高中数学联赛(第01试)】已知方程arccosg arccos(g = arcsinx,则( )第9页共23A. %屋 B. x = -| C, x = 0 D.这样的x不存在【答案】D 【解析】因为arccos(-g) = n - arccos,所以原方程为2arccosg arcsinx = w.又因为arccosx是减函数所以a

20、rccos、arccosf= ?又一arcsin% 二，所以2arccos 士一 arcsinx R + rB. Z 7? + rC. -R + r ?. “因为若要R = M,只要0 R+r. 36故选项3也不可能.28. 1982高中数学联赛（第01试）】时任何根（0卷）都有（）A. sinsinw cos（p cos（p coscoscpC. sincosep cos（p cossincpD. sincoscp cos（p cossinq【答案】D【解析】我们知道，如果aX），则sin a.因为3 6（0,三），所以0 V simp （p .而COSX在区间（0,三）上是减函数，所以C0

21、S3 cossin（p由cosw G （0,1），又可知sincos cos（p 由式，可知Isincosw cos（p 0. 0.sina+tana tana(cosa+l) . 分 cosct+1 =tancosa+cotacota (sina+1)sina+1其中a 丰,k = 0,l,2,.颇感烟胭遢颂僧c = y/a2 2 + /b2 - 21. 力BC的三边长分别为力B = a, BC = b、CA = c.若Q =历=+兀=,则三蓝盛之, 中小于 b = y/c2 4 + Ja。- 4A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】如图，以a为斜边、历为立角边作Re ME：以b

22、为斜边、BE为直角边作Rt BCE,使EC在4E的延长线上.则C4 =标，+、庐二I = c.同理，作RtCBF、RtAC/lF. RxACD. Rt/BD,使CF =、用，AD = 2.有AB = Vb2 3 + Jc。 3 = a，BC = 4c2 4 + Va2 4 = b-可见，图所得到的力BC就是已知三角形（全等），这个三角形的三条高线为4D = 2, BE = V2. CF =炳.由三角形面积公式有4B-CF = BC-4D = CA-BE = 2SC .则力B =*Susc，BC =/=5- CA =警=05A皿.从而. ABC中的最大角为乙4BC.由余弦定理得”,乙4BC =三

23、=恒 0. 3、2AB BC 12可见，匕ABC为锐角，力BC为锐角三角形，得77=。8（兀一8。0.同理,ttV 0, BC CATTV 0 CA AB选A.2. arccos- + -arccos-=().329c - 8D. arcsin- 9A.把B,更C.三832【答案】C【解析】AC1 . 17 L. 17r ，八TT.l7T.7T令 8 = arccos a + 三 arccos J，叱 & 7 += 2+ iaf即三 V 28 0,必有()A. sin% + cos% = 1B. sin% + cos% 1C. sin% + cos% VID. sin% + cos%的值不确定

24、【答案】A【解析】Wsin2005 + cos2005 sin2 + cos = 1 -等于成立当且仅当sin%与cos% .个取，另.个取此时，对任意上。，必有sm + cos = l.故答案为:A7 .已知A4BC为锐角三角形，/(x) = X2 + 2x + m, p = sin/1 4- sinF + sinC, q = cos力 + cosB + cosC.则( ).A. /(p) /(q)B. f(p) =f(q)C. f(p) 三=乙4:一480从而,sinA cosB.同理,sinF cosC, sinC cos A.故p q|A|cos/l + cosB + cosC = 1

25、 + 4sin；sin gsin： 1, 一 所以p g 1.又/(%)在(l,+8)内为减函数，因此,f(p) f(q).8 . y = sbi(5 +%) s53%的最大值为().A.立B. 1C. QD.吵2259【答案】D【解析】 令:+ % = t,则 = t ；，sin3% = sin(3t tt) = sin3t.=4sint(l - sin21)-y = sin (三 + %) - sin3x = sint + sin3t 故y? = 16sin2t(l - sin:t)(l - sin2t) =8(2siirt)(l - sin2t)(l - sin2t) 8 x 0 = 所

26、以y 三等号在4时成立.9 .函数y = sinxcos% + sin% + cos%的值域为（）（%表示不超过实数力的最大整数）.B. -2,-lAl)D.-2,1,1A. 一2,-1,0,1,2C. -1A1【答案】D【解析】(1)当2加 x 时，y = -2：(4)当 = 2k;r + tt或2k/r + 9时，y = -1：(5)当2k7r + 7T V% V 2k/r + 9时，y = -2：(6)当 2k;r+ 兰 V% V 2加+工时，y =-2 -4(7)当2k7r + ：W% V 2/ot+2江时，y = -1 综上，y 6 -2, -1,1) 故答案为：D10.在锐角ZL4

27、BC中，令:.则( sinA+sinB+smCA. 0 y 2c. y 3D.【答案】B【解析】taih4 + tanB + tanCsin(F + G + sin(C + 力)+ sin(4 + B)cos/lcosFcosC/cosC t cosBX . . . (cos4 , cosCX .八./cosb . cosA)sinC . 2(sm/l + sinB + sinC)IL已知两个不等的锐角a、B ,满足sinA + ycosa = sina ，xsma + Yeo事=si/，其中，。+ S美三，且工、yWR.贝收2一炉的值是（）.A. -1B. 0C. 1D.不存在【答案】C【解

28、析】由题意解得cos。_,2(-。)$inCT co$a$u/ cossm2a -sin22c6但+8)加但一田smacosa-sinco二-23+田辿（5sin）一仙邛sm（a-S）cMa+6）板2 _ y2 = -sec(a +)】_ ta/(a +S)=1故答案为C12,设0 V % V y V三，且满足tany = tan% +一那么，y ；的值是( 2COSX2AB.-D?【答案】C【解析】cos* 8sx sin（2 一 %）混藁；:港）=cM 一 $ = tan + $ =匕小 而OV%VyV J 则y、? + ：都在(0；)内, 即y = g所以，故答案为：c13 .锐角A4B

29、C的三边长a、b、c和面积S满足S =二者一”且4c既不是ZL4BC的最大内角，也不是最小内角,则 k实数k的取值范围是().A. (0,4)B. (4(迎-1),4)C. (0,4(&-1)D. (4,+8)【答案】B【解析】不妨设乙4工三乙B V三，贝哈乙4 + 式2工” +乙B V九从而V三_ c:-ia-d：: _ 二一小-2ab(l-cosC) _ C又女=-=夕-沁d - 气破鼻在G5)上是增函数，所以，4tank4tan 故4（方一 1） V k V 4 选 514 .在44BC中，乙4三乙4C,史竺吧包工=同，则乙B的取值范围是( COS4 +COSB + COSCA. （p?

30、）B. （0,三）【答案】C【解析】由条；卜/J 疝 + smB + $山C = v13(cos4 + cosB + cos)丝。to +8)“sin 2 cos 2 smD丫八4cos 2 cos 2 Teos。， =(2圾os竽一 2$由)cos午 =sm 一后co舁利用辅助角公式有2$加； 一争cos?= sm(B =2sme _ *)cos 竽=2sin(? - 7)cos(? 一 ?)r B-60。， A-C B-6Q 八02sin 2(cos -2cos 2 )二 05-60*4-C+5-60* o b-A+C-60 八=sin-T- sin- sin； = 0，所以，乙B 一 6

31、0 = 0或者44 一4C + 600 = 0或者乙B 乙力+- 60 = 0,即乙8 = 60。或者zT = 60。或者乙4 = 60。,亦即41、48、“中有个为60。.若4B 60,则乙4 WiB V 60。，所以，只能匕C = 60,此时，乙4 + 4c 60,则iC N乙8 60,所以，只能乙1 = 60。，从而，乙工+乙B +乙。 180,亦矛盾.选C.15.已知ABC的三边长0、b、c满足。二一。一2b 2c = 0,且。+2b-2c+3 = 0.则力BC的最大内角的度数 是().A. 150B. 120C. 90D. 60【答案】B【解析】由(a + 2b+ 2c)(a + 2

32、b- 2c) = -3a2,有a二 + b2 + ab = c2.故cos。= - 9 选 B.16.已知sin(a + 2) = sin(2a 3) = a e , /? 6 o,o 则sin(8a 5) = ().A, tB. -上25125C. -D.-55【答案】c【解析】注意到 sin(8a-5)第19页共23=sin2(a + 2/3) + 3(2a - 3)=sin 2 (a + 2 .)cos3(2a - 30) + cos2(a + 2)sin3(2a - 30)由题设可知a+ 26 玲,舅，2a 晟口.故 cos(a + 2J3) = 士， 5cos(2a 3) = g,sin2(a + 2J3) = 2x.x=, 5 5二 5cos2(a + 2储=2 (J T = fcos3(2a-3A) =4(-)3-3x-= 一手， 5/