数学模型--狼追击兔子的问题

1、实用标准文档数学模型-狼追击兔子的问题一、问题重述与分析（一）问题描述神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着 至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面 60码处觅食时，一只 恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后， 兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。 狼是否会在兔子跑回洞穴之 前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的 追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能

2、够追上兔子。（二）问题分析1、本题目是在限定条件下求极值的问题，可以通过建立有约束条件的 微分方程加以模拟。2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理，结合高等数学的有关知 识，对微分方程进行求解。3、将数学求解用Matlab程序语言进行实现 得出方程的近似解。4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。二、变量说明V1 :兔子的速度（单位：码/秒）r :狼与兔子速度的倍数；V2：狼的速度（单位：码/秒），显然有v rvit:狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）:在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），$ s（t）S2 ：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），S2 S2（

3、t）Q（xi,yj :表示在时刻t时，兔子的坐标P（x,y）:表示在时刻t时，狼子的坐标三、模型假设1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P（x, y）的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为y y（x）。3、 当猎狗与兔子之间的距离相当小时认为猎狗已经追上了兔子。四、模型建立（一）建模准备以t = 0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为 x轴正向；则显然有兔子位置的横坐标xi 0。对狼来说，当x = 100 , y= 0,即yx 1000在t = 0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向, 则有y xi00 0（二）建立模型

4、文案大全1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P（x,y）点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为yi。设切线上的动点坐标为（X，Y）,则切线方程为Y y y(x x)(1)在（1 ）中，令X= 0,则截距丫 y yx。此时y1 wt。则此时截距等于兔子所跑过的路程，即:yi，从而可得Yyiy y x(2)2、狼与兔子速度关系的建模在t时刻，兔子跑过的路程为siy1 wt(3)由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为s2 rs1 ry1狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到,S2 ：007九如下(5)联立(2 )、(4 )、(5 )得100 2x 1 y dx ry1 r(

5、yy x)(6)对（6 ）两边求对x的导数，化简得1 y2rx(7)微分方程（7）式的初始条件有：y x io。 0y x io。 03、是否追上的判断要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。对（7）式，当x = 0，如果计算求解得到y 60，则视为没有追上；当x = 0，如果计算求解得到y 60，则视为兔子被追上;五、模型求解 由微分方程得到其 Matlab函数fun cti on yy=odefu nlt(x,y)%以狼在追击过程中的横坐标为自变量yy(i,i)=y(2);yy(2,1)=sqrt(1+y(2)八2)./(2.*x);主程序：tspa n=100:-0.1:0.1;%以

6、狼的x坐标为自变量y0=0 0;%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时,狼与兔之间的距离T,Y = ode45( 'odefunit' ,tspan,yO);n=size( Y,1);disp('狼的坐标(x=0.1)')disp(Y(n,1) %通过追击曲线计算当狼的横坐标为 0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标六、模型结果与分析运行结果：狼的坐标(x=0.1)62.1932通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。七、思考题通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题

7、，那么用什么办法解决呢？(一)解决思路可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。模拟程序如下，程序文件名 siman gtu.m :fun cti on sim_la ngtu%狼兔追击问题%(离散模拟) %这里没有具体考虑狼、兔的具体速度 %主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程Q=0 0; % 兔子坐标P=100 0; %狼坐标PQ=Q-P; %狼兔方向向量step =1; % 模拟步长：兔子奔跑的距离， step 越小就越精确 count = 60/step;% 以兔子的奔跑距离划分PQ=PQ/norm(PQ)*step; %归一化，单位向量 trackP=P

8、;trackQ=Q;for k=1:count;P = P + 2*PQ; %2倍速度Q = Q + step*0 1; %0 1 为兔子奔跑方向的单位方向向量 PQ = Q - P;trackP(1+k,:)=P; trackQ(1+k,:)=Q;PQ=PQ/norm(PQ)*step; % 归一化，单位向量dis二sqrt(sum(P-Q).八2);plot(trackP(:,1),trackP(:,2), '*' ,Q(1),Q(2), 'rp' ,0,60, 'r+' ); pause(0.5)end %fordis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离P %兔子到达窝边时，狼的坐标Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标（二）模拟程序运行结果dis =7.0619P =1.680553.1410Q =0 60注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。八、模型评价1、优点可以熟练的运用Matlab解决一些问题，对用Matlab编程有了更加 深刻的了解。懂得了使用数学软件求解极限 ，积分等问题的方法。对 于追击问题的数学模型有了一定的了解， 并能简单的运用。对遇到的 一些编程问题有了切身的解决办法提高了自己