2020-2021九年级中考数学圆与相似解答题压轴题提高专题练习含详细答案

1、2020-2021 九年级中考数学圆与相似解答题压轴题提高专题练习含详细答案一、相似1.如图，在等腰 RtAABC 中，O 为斜边 AC 的中点，连接 BO,以 AB 为斜边向三角内部作EO.求证：【答案】（1）证明：在等腰 RtAABC 中，O 为斜边 AC 的中点, OB 丄 AC, /AOB=90 ,/ / AEB=90 , A B, E, O 四点共圆，/OAE=ZOBE(2 )证明：在 AE 上截取 EF=BE在等腰 RtAABC 中，O 为斜边 AC 的中点, / ABO=45 /ABF=ZOBE, ABF BOEAf:云= 1 , AF= , OE,/ AE=AF+EF AE=B

2、E+ OE.【解析】 【分析】(1 )利用等腰直角三角形的性质，可证得/ AOB=ZAEB=90，可得出A, B，E, O 四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。(2)在 AE 上截取 EF=BE 易证 EFB 是等腰直角三角形，可得出 BF 与 BE 的比值为和闯， 再证明/ABF=ZOBE, AB 与 BO 的比值为卜剧，就可证得 AB、BO、BF、BE 四条线段成比 例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得ABFsBOE,可证得 AF=kOE,由 AE=AF+EF 可证得结论。2.如图 1,在矩形 ABCD 中，AB=6cm, BC=8cm, E、F 分别

3、是 AB BD 的中点，连接 EF, 点 P 从点E 出发，沿 EF 方向匀速运动，速度为 1cm/s，同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DB 方 向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动.连接 PQ,设运动时间 为 t (0vtv4) s,解答下列问题：sxE2用BE(1)求证：BEFADCB;(2)当点 Q 在线段 DF 上运动时，若PQF 的面积为 0.6cm2,求 t 的值;(3)当 t 为何值时，PQF 为等腰三角形？试说明理由.【答案】(1)解：四边形 ABCD 是矩形,肋-处 S, AD/ BC,二=加在 Rt A 中，BD 10* I 乩产殊别是

4、的中点，；EF -AD = BF = DF = 5f EF/ AD,EF/ BC,.:飞.飞 I一 QM /BE,QM丄肿于申，1133SAPFQ =- x QM 二-(4 - t) X -r(5 - 2t) - 0.6 -y.一一3JrJ广 二(舍)或 1 二亠秒(3) 解：当点 Q 在 DF 上时，如图 2,-曲？ | .当点 Q 在 BF 上时，洽=跆，如图 3, IVPQ =-t = 2t -=3.几时，如图A丄B20丹时，如图 5,. |# - $ 二傍一；加 |2G 19综上所述，t=1 或 3 或 7 或秒时，PQF 是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得BEF

5、 和厶 DCB 中的两角对应相等，从而 可证BEFADCB;（ 2）过点 Q 作 QM 丄 EF 于 M，先根据相似三角形的预备定理可证 QMFs BEF;再由QM Fs BEF 可用含 t 的代数式表示出 QM 的长；最后代入三角 形的面积公式即可求出 t 的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点 Q 在 DF 上时，因 为/ PFQ 为钝角，所以只有 PF = QF。（ 2）当点 Q 在 BF 上时，因为没有指明腰和底，所 以有 PF=QF； PQ = FQ PQ = PF 三种情况，因此所求的 t 值有四种结果。J JTT3.已知如图 1，抛物线 y= - S x2-x+3 与 x 轴

6、交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C,点 D 的坐标是（0,- 1），连接 BC AC图 1却砂（1 ）求出直线 AD 的解析式；（2） 如图 2，若在直线 AC 上方的抛物线上有一点卩，当 ADF 的面积最大时，有一线段MN= （点 M 在点 N 的左侧）在直线 BD 上移动，首尾顺次连接点 A、M、N、F 构成四 边形 AMNF，请求出四边形 AMNF 的周长最小时点 N 的横坐标；（3） 如图 3，将 DBC 绕点 D 逆时针旋转a （0a 180，记旋转中的DBC 为 DB,若直线 B与直线 AC 交于点 P,直线 B与直线 DC 交于点 0,当

7、 CPQ 是等腰 三角形时，求CP 的值.【答案】（1）解：抛物线 y=- & x2- 4 x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点,0= - b x2-fx+3,/ x=2 或 x= - 4, A(-4,0),B(2,0),D ( 0, - 1),直线 AD 解析式为 y= - / X- 1过点 F 作 FH 丄 x 轴，交 AD 于 H,J J1设 F (m，占 m2-m+3), H ( m,-m - 1),J JJEE FH=-占m2- r m+3( 4 m 1)=-占 m2-二：m+4, - SAADF=SAAFH+SADFHFFHXD-XA|=2FH=2(-E戲5)2+ 3

8、,2当 m= - J 时，$ADF最大，2l/d- F C ) 如图 2，作点 A 关于直线 BD 的对称点 Ai,把 Ai沿平行直线 BD 方向平移到 A ,且 AlA2= P，连接 A2F， 交直线 BD 于点 N， 把点 N 沿直线 BD 向左平移 k 罔得点 M,此时四边形 AMNF 的周长最小.(2 )解：如图 1,m+4)2 mm2-m+8= -/ OB=2, 0D=1,1tan / OBD=, / AB=6, AK= ?丨AAI=2AK=b OH=OA- AH=百,h 24- Ai( - 2,- ),过 A2作 A2P 丄 A2H,/AiA2P=ZABK, AiA2=, A2P=

9、2, AiP=1, A2(应，一占)2 16F (-，A ) A2F 的解析式为 y=- x-宀， B (2, 0), D (0,- 1),7直线 BD 解析式为 y=- x- 1，联立得，x=-在 RtAABK 中，AH=12724,AIH=2N点的横坐标为：-772(3)解：/ C (0 , 3), B (2, 0), D ( 0, - 1) CD=4, BC= , 0B=2,BC 边上的高为 DH,0i根据等面积法得，BCXDH= CDXOB阿XOR4X2DH= BC丁3 = 13 , A (- 4, 0), C (0, 3),OA=4, OC=3, tan / ACD=,当 PC=PQ

10、 时，简图如图 1,过点 P 作 PG 丄 CD,过点 D 作 DH 丄 PQ, 当 PC=CQ 时，简图如图 2,/ tan / ACD=设 CG=3a,则 PG=4a, -CQ=PC=5a QG=CQ- CG=2a, PQ=2 . a, -DQ=CD_CQ=4 5a/ PGQ DHQ,过点Q作QG丄PC,过点C作CN丄PQ, 设 CG=3a,贝 U QG=4a, PQ=CQ=5a -PG=3a, -PC=6a-DQ=CD_CQ=4- 5a,利用等面积法得，CN PQ=P0QG/CQINADQH同的方法得出 PC=同的方法得出,PGQsDHQ,PC=4-，设 CG=3a,贝 U PG=4a,

11、从而得出CQ,QG,PQ,DQ 的长，由同的方法得出，PC 的长; 当 PC=CQ 时，简图如图 4,过点 P 作 PG 丄 CD,过 H 作 HD 丄 PQ, 设 CG=3a,贝 U PG=4a, CQ=PC=5aQD=4+5a, PQ=4,/QP3AQDH,同方法得出.CP=10观73466综上所述，PC 的值为：；4 -【解析】【分析】(1)根据抛物线与 x 轴交点的坐标特点，把 y=0 代入抛物线的解析式,得出一个关于 x 的一元二次方程，求解得出x 的值，进而得出 A,B 两点的坐标；然后由 A,D两点的坐标利用待定系数法求出直线AD 的解析式;(2)过点 F 作FH 丄 x 轴，交

12、 AD 于 H,根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y 轴的直线上的点的坐标特点，设出F,H 的坐标，从而得出 FH 的长度，SAADF=SAAFH+SADFH=FHXDx2-XA|=2FH,列出关于 m 的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m=-时，ADF最大，从而得出 F 点的坐标；如图 2,作点 A 关于直线 BD 的对称点 Al,把 A1沿平行直线 BD 方向平移到 A2,且 AIA2=.,连接 A2F,交直线 BD 于点 N,把点 N 沿 直线 BD 向左平移 得点 M，此时四边形AMNF 的周长最小，进而求出点A1, A2 坐标，即可确定出 A2F 的解析式和直线 B

13、D 解析式联立方程组即可确定出N 点的横坐标；(3) 根据 C,B,D 三点的坐标，得出 CD,BC,OB 的长，BC 边上的高为 DH,根据等面积法 得 1/-BCXDH=CDX OB 从而得出 DH 的长，根据 A,C 两点的坐标，得出 OA,OC 的长，根据正切 函数的定义得出 tan/ACD= 4 : 3 ;然后分四种情况讨论：当 PC=PQ 时，过点 P 作PG 丄 CD,过点 D 作 DH 丄 PQ,由 tan / ACD= 4 :3 ,设 CG=3a,贝 U QG=3a, PG=4a,PQ=PC=5a,从而由 DQ=CD - CQ 得出 DQ 的长，根据 PGQADHQ ,得出P

14、G：DH=PQ：DQ,从而求出 a 的值，进而求出 PC 的值；当 PC=CQ 时，简图如图 2,过 点 P 作 PG丄 CD, tan / ACD= 4 : 3，设 CG=3a,则 PG=4a,从而得出 CQ,QG,PQ,DQ 的长， 由厶 PGQsADHQ，同 的方法得出，PC 的长； 当 QC=PQ 时，过点 Q 作 QG 丄 PC,过 点 C 作 CN 丄 PQ,设 CG=3a贝 U QG=4a, PQ=CQ=5a 从而得出 PG,PC,DQ 的长， 利用等面积 法得， CNKPQ=PQG 从而得出 CN,f)由厶 CQNMDQH 同的方法得出 PC 的长；当PC=CQ 时，过点 P

15、作 PG 丄 CD,过 H 作 HD 丄 PQ,设 CG=3a,贝 U PG=4a, CQ=PC=5a 从而得出 QD,PQ 的长，由 QPG-AQDH,同方法得出.CP 的长。4.如图，ABC 内接于O0,且 AB= AC 延长 BC 到点 D,使 CD= CA,连接 AD 交OO 于点E.(1) 求证：ABEBA CDE(2) 填空：1当/ ABC 的度数为 _时，四边形 A0CE 是菱形；2若 AE= 6, BE=8，贝 U EF 的长为_ .【答案】(1)证明：/ AB=AC, CD=CA/ ABC=Z ACB, AB=CD.四边形 ABCE 是圆内接四边形，/ ECD=/ BAE,

16、/ CED=Z ABC./ ABC=/ ACB=/ AEB, / CED=/ AEB, ABE CDE (AAS)$(2) 60;二【解析】【解答】解：(2)当/ABC 的度数为 60时，四边形 A0CE 是菱形; 理由是：连接 AO、0C.四边形 ABCE 是圆内接四边形，/ ABC+/ AEC=180 / / ABC=60, / AEC=120 = / AOC./ OA=OC, / OAC=/ OCA=30 ./ AB=AC, ABC 是等边三角形， / ACB=60 / / ACB=/ CAD+/ D./ AC=CD, / CAD=/ D=30 ； / ACE=180 - 120 - 3

17、0 丄 30 ； / OAE=/ OCE=60 , 四边形 AOCE 是平行四边形./ OA=OC, ?AOCE 是菱形；由（1）得：ABEACDE,BE=DE=8 AE=CE=6 /D=ZEBC6/CED=ZABC=ZACB,:. ECDCFB 丘AE/ /AFE=ZBFC,/AEB=ZFCB, AEFs BCF, BCCF； 由题意易证/ ABC=ZACB, AB=CD ;/ ABC=ZACB=ZAEB, / CED=ZAEB,则利用 AAS 可证得结论；(2) 连接 AO、CO 宪政 ABC 是等边三角形，再证明四边形AO=CO 可得结论； 先证 ECD CFB 可得 EC: ED=CF

18、 BC=6:8;再证AEF BCF,贝 U AE: EF=BC CF,从而求出 EF.故答案为：60【分析】(1 )四点共圆和已证可得AOCE 是平行四边形，又5.如图 1, ABC 与厶 CDE 是等腰直角三角形，直角边AC、CD 在同一条直线上，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD.33S(1)_请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系 _;(2)_ 现将图 1 中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转a( 00 得XN6或XN- 14,当 t=3 时，N 的坐标为(6,【解析】 【分析】(1)平移前后的两个二次函数的a的值相等，平移后的图像经过

19、点原点，因此设函数解析式为：求出顶点 B 的坐标，利用割补法可得出阴影部分的面积(2)利用待定系数法先求出直线,将点，解得0P,MQ = bxAB 的函数解析式，作 NQ 垂直于 x 轴于点 Q,再分情况讨论：当 MN = AN 时，就可表示出点 N 的坐标，利用相似三角形的性质，得出对应边成 比例，建立关于 t 的方程，求出 t 的值；当 AM = AN 时再由 ANQ 和厶 APO 相似， NQM 和厶 MOP 相似，得出对应边成比例，分别求出t 的值，然后根据当 MN = MA 时，/ MNA=/ MAN 45 故/ AMN 是钝角，可得出符合题意的t 的值； 将直线 MN 和直线 AB

20、 联立方程组，可得出点 N 的横坐标，结合根的判别式可求出XN或XNW-14,然后由 OvXNV8，就可求得结果。7.已知：如图，在四边形中，.诊7 心,少托加-郊计，唸 2 就釧,狼弋拥垂直平分 ME .点-从点 出发，沿闯 方向匀速运动，速度为 衣：川心；同时，点区从点 出发，沿方向匀速运动，速度为际石；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点闇作财.:/，交園于点 ，过点 作，分别交， 于点，阴连接阕，.设运动时间为 d F 5，解答下列问题：(1 )当 为何值时，点 在的平分线上？(2)设四边形 的面积为 总希必，求 与冋的函数关系式(3)连接嵌，在运动过程中，是否存在某一时刻，使空工

21、芒？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)解：在 欷厶庖空中，T卜吓炸=朋八，处二腸颈 I ,=感沆/ 垂直平分线段，. , , ,SDOC “ dBCACD-再杞nJOD -:./ BPE=/ BCA=90又/ B=ZB当 为 4 秒时，点 在卜喚能 I 的平分线上.（2）解：如图，连接，|呵.$凰迪歎疙G -* SOPB -$3财 *（SAGPCF弭便14J415315-1（4 - -t）* 3 + L7 侣-t）* - *（8 - -t） t - -L3（8 - -r）252521524（3 ）解：存在.如图，连接卜與./ .,. |北城二吋./牌：=坐1| ,. I皿疋广

22、-*;、毬. | .-ECa58 -143 -t534Z -t5整理得： 虑 f -皿-:16解得广庁或 10（舍）【解析】【分析】(1)根据勾股定理求AC,根据证小覚，求出OD 的值，根据 BP0ABAC 得到比例式，用含有 t 的代数式表示出 PE BE,当点 E 在 / BAC 的平分线上时，因为EP 丄 AB, EC 丄 AC,可得 PE=EC 由此构建方程即可解决问题(2)根据$豳於沁 S 怎& *也徳- 5 出郵、构建函数关系式即可.(3)证明/ EOC=ZQOG，可得一“建方程即可解决问题.(1 )当 t 为何值时，/ ANM=45 ?(2)计算四边形 AMCN 的面积，

23、根据计算结果提出一个你认为合理的结论;(3)当 t 为何值时，以点 M、N、A 为顶点的三角形与BCD 相似？【答案】(1)解：对于任何时刻 t, AM=2t , DN=t, NA=9-t，当 AN=AM 时，MAN 为等腰直角三角形，即：9-t=2t,解得：t=3 (s),所以，当 t=3s 时，MAN 为等腰直角三角形(2)解：在NAC 中，NA=9-t, NA 边上的高 DC=12, / SNAC=- NA?DC=- (9-t) ?18=81- 9t.在厶 AMC 中，AM=2t , BC=9,AMC= AM?BC= ?2t?9=9t .S四边形NAMC=SANAC+SAAMC=81 (

24、cm2)CD、EC 5推出，由此构A 点开始向 B 以 2cm/sM、N 同时出& 如图，在矩形 ABCD 中，AB=18cm, AD=9cm，点 M沿 AB 边从由计算结果发现：在 M、N 两点移动的过程中，四边形 NAMC 的面积始终保持不变.(也可提出：M、N 两点到对角线 AC 的距离之和保持不变)n_ r(3)解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD 中：当 NA: AB=AM : BC时， NAQAABC,那么有：(9-t )： 18=2t: 9，解得 t=1.8 (s),即当 t=1.8s 时，NAPAABC; 当 NA: BC=AM: AB 时，MANABC,

25、那么有：(9-t): 9=2t: 18,解得 t=4.5 (s),即当 t=4.5s 时，MANsABC;所以，当 t=1.8s 或 4.5s 时，以点 N、A、M 为顶点的三角形与ABC 相似【解析】 【分析】(1)根据题意可得：因为对于任何时刻t, AM=2t , DN=t, NA=9-t .当NA=AM 时，MAN 为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。(2) 根据(1)中.在NAC 中，NA=9-t, NA 边上的高 DC=18,利用三角形的面积公式， 可得 SANAC=81-9t, SuMc=9t .就可得出 S四边形NAMC=81，因此在 M、N 两点移动的过程 中，四边形 N

26、AMC 的面积始终保持不变。(3) 根据题意，在矩形 ABCD 中，可分为 当 NA: AB=AM : BC 时，NAPs ABC; 当 NA:BC=AM: AB 时，MAN ABC 两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。二、圆的综合9.如图，OM 交 x 轴于 B、C 两点，交 y 轴于 A,点 M 的纵坐标为 2. B (- 3.3, O), C (3, O).(1 )求OM 的半径；(2)若 CELAB 于 H,交 y 轴于 F,求证：EH=FH.(3) 在(2)的条件下求 AF 的长.【答案】(1) 4;( 2)见解析；(3) 4.【解析】【分析】(1 )过 M 作 MT 丄

27、BC 于 T 连 BM，由垂径定理可求出 BT 的长，再由勾股定理即可求出BM 的长；(2) 连接 AE,由圆周角定理可得出 / AECN ABC,再由 AAS 定理得出 AEHAAFH,进 而可得出结论；(3)先由(1)中厶 BMT 的边长确定出/ BMT 的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG 为平行四边形，进而可求出答案.【详解】(1) 如图(一)，过 M 作 MT 丄 BC 于 T 连 BM , BC 是OO 的一条弦，MT 是垂直于 BC 的直径， BT=TC=1BC=2、3, BM=12 4=4；(2) 如图(二)，连接 AE,则/

28、AEC=ZABC,CE 丄 AB,/HBC+ZBCH=90在 COF 中，/ /OFC+ZOCF=90,ZHBC=ZOFC=ZAFH,在厶 AEH 和厶 AFH 中，AFH AEHAHF AHE,AH AHAEHAAFH(AAS), EH=FH；(3) 由(1)易知，ZBMT=ZBAC=60 ,作直径 BG,连 CG,贝 UZBGC=ZBAC=60 ,VOO 的半径为 4, CG= =4,连 AG,/ ZBCG=90 , CGXx 轴， CG/ AF,/ ZBAG=90 AG 丄 AB ,VCE 丄 AB , AG / CE四边形 AFCG 为平行四边形， AF=CG=4.【点睛】本题考查的是

29、垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根 据题意作出辅助线是解答此题的关键.10.已知 AB, CD 都是e O的直径，连接 DB,过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 E1如图 1,求证：AOD 2 E 180o;2如图 2,过点 A 作AF EC交 EC 的延长线于点 F,过点 D 作DG AB，垂足为点G,求证：DG CF；ccDG 3_3如图 3,在2的条件下，当时，在eO外取一点 H,连接 CH、DH 分别交CE 4e O于点 M、N,且HDE HCE，点 P 在 HD 的延长线上，连接 PO 并延长交 CM 于 点 Q,若PD 11,DN 14,MQ O

30、B，求线段 HM 的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)8、3 7【解析】【分析】(1) 由/ D+ZE=90 可得 2 / D+2/ E=180,只要证明 / AOD=2ZD 即可；(2) 如图 2 中，作 OR 丄 AF 于 R.只要证明AORAODG 即可；(3) 如图 3 中，连接 BC OM、ON、CN,作 BT 丄 CL 于 T,作 NK 丄 CH 于 K,设 CH 交 DE于 W解直角三角形分别求出KM, KH 即可；【详解】1证明：如图 1 中，D E 90,2 D 2 E 180,Q AODCOB,BOC 2 DE 180.,AODAF/ /CD,CF OR,A

31、 AOD,在VAOR和VODG中，Q A AOD,ARO OGDVAOR也VODG,OR DG,DG CF,90,OADO,3解：如图 3 中，连接 BC OM、ON、CN,作BT CL于 T,作NK CH于 K,设 CH 交 DE 于 W.EQe O与CE相切于点 C,OC CE,OCE 90，AOD 2四边形 OCFR 是矩形,AF于R.90,设DG 3m，则CF 3m,CE 4m,Q OCF F BTE 90,AF/ /OC/ /BT,Q OA OB,CT CF 3m,ET m,QCD为直径，CBD CND 90CBE，E 90EBT CBT,tan E tan CBT,BT CTET

32、BT，BT 3mm BT，BT 3m（负根已经舍弃），tan EE 60o,Q CWDHDEH,HDEHCE,HEo60，MON 2HCN60o,QOM ON,VOMN是等边三角形,MN ON,QQM OBOM,MOQMQOQ MOQPON180oMON120o,MQOP 180oH 120o,PONP,ON NP14 1125,CD 2ON50,MN ON25,在RtVCDN中，CN.CD2DN2一5021 4248，.3,T在RtVCHN中，tanH CN48.3,HNHNHN 16. 3,在RtVKNH中，KH1HN8.3 ,NKHN 24,22在RtVNMK中,MKMN22NK.252

33、2427，HM HK MK 8.3 7【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的 判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题 的关键.11.如图，已知OO 的半径为 1, PQ 是OO 的直径，n 个相同的正三角形沿 PQ 排成一列, 所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个 AIBICI的顶点 Ai与点 P 重合，第二个 A2B2C2的顶点 A2 是 BiCi与 PQ 的交点，最后一个AnBnCn的顶点 Bn、G 在圆上如 图 1,当n=1 时，正三角形的边长 ai=_ ；如图 2,当 n=2 时，正三角形的边

34、长a2=_ ;如图 3,正三角形的边长 an=_ （用含 n 的代数式表示）.圉12图3【答案】3归131 3n2【解析】分析： （1） 设 PQ 与B1C1交于点 D,连接BQ,得出 0D=A1D-0A， 用含a1的代数式表 示 0D,在厶 OB1D中，根据勾股定理求出正三角形的边长31; （ 2）设 PQ 与B2C2交于点 E,连接B2O,得出 0E=A1E-0A1，用含a2的代数式表示 0 巳在 0B2E 中，根据勾股 定理求出正三角形的边长a2； （ 3）设 PQ 与BnCn交于点 F,连接Bn0,得出 OF=AF- 0A1,用含 an 的代数式表示0F,在厶 0BnF 中，根据勾股定

35、理求出正三角形的边长an.本题解析：（1）易知A1B1C1的高为-，则边长为,ai=(2)设厶 AiBiCi的高为 h,贝UA20= 1-h,连结 中 0,设 B2C2与 PQ 交于点 F,则有 0F= 2h 1.2/ B2O2= OF2+ B2F2, 1= (2h 1)2+la22h =3a2, -1= (3a2 1)2+ a22,24解得 a2= L?.13同(2),连结 BnO,设 BnCn与 PQ 交于点 F,则有 BnO2= OF2+ BnF2,21即 1 = (nh 1)2+ 丄an.2V3.121V3n an-h =an, 1 =an+- 1,242解得 an=423n.3n 1

36、12.如图， ABC 内接于OO,弦 AD 丄 BC 垂足为 H,连接 OB.（1）如图 1,求证：/ DAC=ZABO;如图 2,在弧 AC 上取点 F 使/CAF=ZBAD,在弧 AB 取点 G,使 AG/ OB,若/ BAC=6C, 求证:GF=GD;如图 3,在的条件下，AF、BC 的延长线相交于点 E 若 AF: FE=1:9,求 sinZADG 的值。11【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.14【解析】试题分析：（1）延长 BO 交OO 于点 Q ,连接 AQ.由圆周角定理可得：ZAQB=ZACB,再由等角的余角相等即可得出结论；（2）证明DFG 是等边三角形即可；（3

37、）延长 GA,作 FQ 丄 AG ,垂足为 Q ,作 ON 丄 AD ,垂足为 N ,作 OM 丄 BC,垂足为 M ,延长 AO 交OO 于点 R,连接 GR.作 DPIAG , DK 丄 AE,垂足为 P、K.设 AF=k ,贝 UFE=9k, AE=10k.在 AHE 中，AH=5k.设 NH=x，贝 U U AN=5k-x, AD=10k-2x.在 AQF 中,k3AF=k, AQ=,FQFQ=k由知：GDF 是等边三角形，得到 GD=GF=DF,进而得到2 2AG=9k-2x.BC=2 . 3x, GF=BC=2.3x. 在 GQF 中,GQ=AG+AQ=* k-2x, QF=711

38、GF=2.3x,由勾股定理解出x k，得到 AG=9k-2x=k, AR=2OB=4OM=4x=7k.在42 GAR 中，由 sin / ADG=sin/ R 即可得出结论.试题解析：解：(1)证明：如图 1，延长 BO 交OO 于点 Q,连接 AQ./ BQ 是OO 直径，/QAB=90. / AD 丄 BC, / / AHC=900.弧 AB=弧 AB, / AQB=/ ACB./AQB+/ABO=900, /ACBZCAD=900/ AG/ OB, / ABO=/ BAG. / / ABO=/ CAD, / CAD=/ BAG./ BAC=60, - / BAD+/ CAD=/ BAD+

39、/ BAG=60,即/ GAD=/ BAC=60 . / / BAD=/ CAF. / CAF+/ CAD=600, / GAD=/ DAF=600, / DGF=/ DAF=60 :弧 6*弧 GD,GAD=/ GFD=600, / GFD=/ DGF=600, DFG 是等边三角形， GD=GF.(3) 如图 3,延长 GA,作 FQ 丄 AG,垂足为 Q,作 ON 丄 AD,垂足为 N,作 OM 丄 BC,垂足为 M ,延长AO 交OO 于点 R,连接 GR.作 DP 丄 AG, DK 丄 AE,垂足为 P、K./ AF： FE=1： 9, 设 AF=k,则 FE=9k, AE=10k.

40、在 AHE 中，/ E=300, - AH=5k.设 NH=x，贝UAN=5k-x. / ON 丄 AD, AD=2AN=10k-2xOM=NH=x,又在 AQF 中，I/GAF=120, /ZQAF=60, AF=k, / AQ=k, FQ=_3k2 2 由知：GDF 是等边三角形， GD=GF=DF,/ /GAD=ZDAF=60, DP=DK, GPD FKD,APDAAKD FK=GP, AP=AK, / ADK=300, AD=2AK=AP+AK=AF+AG AG=10k-2x-k=9k-2x.1作 OM 丄 BC, ON 丄 AD, OM=NH=x. / /BOD=/BOC=ZBAC

41、=6002BC=2BM=2 , 3x. / /BOC=ZGOF, GF=BC=2.3x在厶 GQF 中，GQ=AG+AQ=! k-2x, QF=3k, GF=2 3x2211 AG=9k-2x=k, AR=2OB=4OM =4x=7k,2在厶 GAR 中，/ RGA=90,sin/ADG=sinZR=AG=1111.AR14点睛：本题是圆的综合题熟练掌握圆的基本性质和常用的辅助线做法是解答本题的关 键.13.如图，AB 是圆 O 的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且 / PDA=ZPBD.延长 PD 交圆的切线 BE 于点 E(1)判断直线 PD 是否为OO 的切线，并说明理由；如果

42、ZBED=60, PD=J3，求 PA 的长；将线段 PD 以直线 AD 为对称轴作对称线段 DF,点 F 正好在圆 O 上，如图 2，求证：四 边形 DFBE为菱形./ GQ2FQ2GF22x仝k2. 3x2,2Xi7k,4X2【分析】(1) 连接 0D,由 AB 是圆 0 的直径可得/ ADB=90，进而求得/ ADO+/PDA=90，即可得 出直线 PD为O0 的切线；(2) 根据 BE 是O0 的切线， 贝U/ EBA=90， 即可求得/ P=30， 再由 PD 为O0 的切线， 得 / PDO=90，根据三角函数的定义求得 0D,由勾股定理得 0P,即可得出 PA(3) 根据题意可证

43、得 / ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF,由 AB 是圆 0 的直径，得 / ADB=90 ,设/PBD=x，则可表示出/ DAF=ZPAD=90+x, / DBF=2x，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出 BDE 是等边三角形.进而证出四边形DFBE 为菱形.【详解】(1) 直线 PD 为O0 的切线，理由如下：如图 1,连接 0D, AB 是圆 0 的直径， /ADB=90 , /AD0+ZBD0=90又 D0=B0,/BD0=ZPBD,/PDA=ZPBD,/BD0=ZPDA, / AD0+ZPDA=90 即 PD 丄 0D,/点 D 在O0 上,直线 PD 为O0 的切线；(2)

44、/ BE 是O0 的切线， / EBA=90 ,/ / BED=60 , /P=30 ,/ PD 为OO 的切线， / PDO=90；在 RtAPDO 中，/ P=30PD=J3 ,oOD”/口tan30，解得 OD=1,PDPOPD2OD2=2， PA=PO- AO=2- 1=1；(3)如图 2,依题意得：/ ADF=ZPDA, / PAD=ZDAF,/PDA=ZPBDZADF=ZABF,/ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF, AB 是圆 O 的直径， / ADB=90 ,设 / PBD=x,贝 U / DAF=ZPAD=90 +x / DBF=2x ,四边形 AFBD 内接于OO,/DAF+ZDBF=180,即 90+x+2x=180,解得 x=