2019数学中考试题精英人教版专题总复习：专题十与几何图形有关的探究题

1、最新全国中考试卷专题十与几何图形有关的探究题_ _横析IJhl-*类型一图形变化问题【例1】 （2019沈阳）在4ABC中，AB =6, AC = BC=5,将 ABC绕点A按顺时针方向旋 转，得至iJADE,旋转角为“（0 v “V 180 ）,点B的对应点为点 D,点C的对应点为点 E,连接 BD, BE.（1）如图，当a= 60时，延长BE交AD于点F.求证： ABD是等边三角形；求证：BFXAD , AF = DF;请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线 AB,垂足为点 G,连接CE ,当/DAG=/ACB, 且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE

2、的值.分析：（1）由旋转性质知 AB = AD, ZBAD = 60即可得证；由BA = BD, EA = ED根据垂直 平分线的性质即可得证； 分别求出BF, EF的长即可得答案；（2）由等量代换可证 /BAE = /BAC, 根据三线合一可得 CE1AB,从而可得CE = 2CH=8, BE=5,即可得答案.解：（1）,一 ABC绕点A顺时针方向旋转 60得至iJADE, ，AB=AD, /BAD =60 , ABD是等边三角形由得 ABD是等边三角形，. AB =BD , ABC绕点A顺时针方向旋转 60得到 ADE , .AC = AE, BC = DE,又,.AC=BC,，EA=ED

3、, .,点 B, E 在 AD 的垂直平分线上,. BE 是 AD 的垂直平分线，二,点F在BE的延长线上，BFXAD , AF = DF由知 BFXAD , AF= DF,，AF = DF=3, AE = AC = 5, . EF= 4, .在等边三角形 ABD3中，BF = AB sin/BAF =6X323=373, . BE = BFEF= 3巾一4(2)如图， / DAG = / ACB , / DAE = / BAC ,/ ACB + / BAC + / ABC = / DAG + / DAE + /ABC = 180 ,又/ DAG+/ DAE+/ BAE = 180 , . .

4、 / BAE = / ABC , -，AC = BC= AE,1Z BAC = Z ABC , Z BAE = Z BAC , .AB CE,且 CH = HE=CE, / AC = BC, . AH = BH1L八八八= /B=3,则 CE = 2CH=8, BE = AE=5,，BE+CE=13类型二几何图形中的动点问题【例2】(2019达州) ABC中，ZBAC =90 , AB = AC ,点D为直线BC上一动点(点D不与 B, C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形 ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图1 ,当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为_垂直_;BC, CD, CF

5、之间的 数量关系为_BC = CD + CF_;(2)数学思年如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB = 22,CD=1BC,请求出 GE的长.4分析：(2)根据正方形的性质得到 / BAC = ZDAF = 90,推出ADAB 9A FAC,根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A作AH XBC于点H,过E作EM BD于点 M, ENJCF 于点 N,先求出 AH , DH ,证 ADH D

6、EM( AAS)得到 EM = DH , DM = AH ,由 等量代换得到 CN= EM , EN = CM ,根据等腰直角三角形的性质得到 CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论.解：(2)CF，BC 成立；BC = CD + CF 不成立，CD = CF + BC.证明：:正方形 ADEF , .AD = AF , / BAC = / DAF = 90 ,/ BAD = / CAF ,可证 DAB FAC(SAS),/ ABD = / ACF , .Z BAC = 90 , AB = AC ,/ ACB = / ABC = 45 .Z ABD =180 45 = 135,，/BCF =

7、Z ACF-Z ACB = 135 - 45 =90, . CF，BC.CD = DB + BC , DB = CF,，CD = CF+BC(3)过 A 作 AH，BC 于点 H ,过 E 作 EM，BD 于点 M , ENXCF 于点 N , / BAC = 90 , AB 111= AC, ，BC=*AB = 4, AH=QBC=2, ，CD = 4BC = 1, CH =2BC= 2,，DH = 3,由(2)证得 BCXCF, CF=BD = 5, .四边形 ADEF 是正方形,.AD = DE, /ADE = 90 , -.BCXCF, EM BD, ENXCF, .四边形 CMEN

8、是矩形，. . NE = CM , EM = CN , / Z AHD =Z ADC = Z EMD =90 , Z ADH + / EDM = / EDM + / DEM = 90 , . . / ADH = / DEM ,可证 ADHDEM( AAS),，EM=DH=3, DM = AH =2,，CN = EM=3, EN = CM = 3, /ABC = 45 , . BGC = 45 , BCG 是等腰直角三角形 ，/. CG= BC = 4, . GN = 1 , . EG = JgN2+EN2= 100类型三几何图形中的动线问题【例3】(2019广东)如图，BD是正方形ABCD的对

9、角线，BC = 2,边BC在其所在的直线上 平移，将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA, QD,并过点Q作QOXBD,垂足为。，连接OA ,OP.(1)请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA, OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y=4opb, BP=x(0WxW2),求y与x之间的函数关系式，并求出y 的最大值.图1图2分析：(2)证AOBA POQ,可得AO与OP的数量与位置关系；(3)根据等腰直角三角形的性质可得OE的长，根据三角形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案.解：(1)四边形APQD为平行四

10、边形(2)OA =OP, OA LOP.证明：.四边形 ABCD 是正方形,，AB = BC = PQ, / ABO = / OBQ = 45 , OQXBD , ./ PQO=45 , . . / ABO = / OBQ = / PQO = 45 , ，OB=OQ,可证 AOBA POQ(SAS),，OA=OP, /AOB=/POQ, . / AOP = / BOQ = 90 , . .OA OP、，._，一，一一，一，x+2(3)过点O作OEBC于点E.如图1,当P点在B点右侧时，则BQ = x+2, OE=-2，y 1x+211 1一 . . .一.=2x 2 x,即y = 4(x+1)

11、 4,又 0w xw 2,.当x= 2时，y有取大值为2;如图2,当P点 在 B 点左侧时，则 BQ = 2x, OE = 2 2 x . y = 1x 2 2 x x,即 y= (x 1)2 + (,又,0WxW2,1 ，当x=1时，y有最大值为4.综上所述，平移过程中 OPB的面积的最大值为 2图I图2当堂演练*1 .(导学号 59042307)(2019福州)如图，矩形ABCD中，AB =4, AD =3, M是边CD上一点， 将4ADM沿直线AM对折，得到4ANM.(1)当AN平分/ MAB时，求DM的长；(2)连接BN ,当DM =1时，求4ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于

12、点F时，求DF的最大值.解：（1）由折叠知4 ANM/ NAB , ./ DAM =Z MAN,. .DM =AD tan / DAM是矩形=/ NAB , 四边形 ABCD3= 3xtan30 = 3x-=y33MAB , MAN = , ./ DAB =90 , . DAM =30（2）如图1,延长MN交AB延长线于点 Q, .四边形ABCD是矩形,AB / DC,/ DMA =/ MAQ ,由折叠知 ANM ADM ,/ DMA =Z AMQ , AN = AD = 3, MN = MD = 1,/ MAQ = /AMQ, ，MQ =AQ,设 NQ = x，则 AQ= MQ =1 + x

13、, -/ANM =90 , ，/ANQ = 90 ，在 鼻ANQ 中，由勾股定理得 AQ2=AN2+NQ2, （x+1）2=32+x2,解得 x = 4, . NQ = 4, AQ = 5, - AB = 4, AQ = 5, Sab = ；Snaq= *X、AN . NQ =；X 3X 4=空55 25 25如图2,过点A作AH，BF于点H , 四边形 ABCD是矩形，.二AB / DC，.=/ HBA = / BFC ,. /AHB =/BCF = 90 , . ABH BFC,BH CF=-AH BC. AH WAN =3, AB = 4, .当点 N ,文库最新精品中考试卷，推荐下载1

14、0H重合（即AH = AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点 M , F重合，B, N , M三 点共线，如图 3,由折叠知 AD=AH, ,.AD = BC, .AH = BC,可证 ABH BFC（ AAS）, ，CF = BH,由勾股定理得 BH =AB2AH2 = 42- 32 = 币,，CF = 巾，DF的最大值=DC-CF=4 一.72 .（导学号 59042308）（2019黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点。是坐 标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，/OAB = 90且OA = AB , OB, OC的长分别是一元

15、二次方程 x211x+30=0的两个根（OBOC）.（1）求点A和点B的坐标；（3）当 m= 3.5 时,解：（1）二方程x2（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O, B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l 交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m,已 知t=4时，直线l恰好过点C,当0vtv3时，求m关于t的函数关系式；6, OC = 5, . .B 点坐标为（6, 0）,作AM，x轴于点 M, /OAB=90且 OA = AB , .AOB 为等腰直角三角形 ，OM=BM =AM =|ob = 3,，A 点坐标为(3, 3)(2)作

16、CNx轴于点N, t=4时，直线l恰好过点 C,，ON=4,在RtOCN中,CN =寸0ON 2 =y52 - 42 = 3,，C点坐标为(4, 3),可求直线0C的解析式为y= 4x,直线0A的解析式为y337 一 7=x, . P(t, 0)(0ty2(2)当AAEF是直角三角形时，若/AEF=90 , 二/EAF = 45 , ./ AFE = 45 ,. AEF 是等腰直角三角形 ，AE=EF, / Z AEB +Z BEF = 90, Z AEB +Z BAE = 90 ,/ BEF = / BAE ,可证 ABEECF(AAS), .AB = EC, BE = CF,即 a = A

17、B = 4, b=BE= BC+CE=8;若/ AFE = 90,同的方法知 CF = 4, CE=8,，a=8, bab=32.理由：如图，:AC 是正方形 ABCD 的对角线，/ EAF = 45/ ACD = 45 , / ACF= 135,/ACE=135,又. / ACD =/ CAF + / AFC , / EAF = / EAC + / FAC,AFC = / EAC ,又./ ACF = /ACE = 135 , /.A ACFA ECA ,AC CFEC ACecx CF = AC2=2AB2= 32, . ab=321.(导学号 59042310)(2019随州)爱好思考的

18、小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了 “中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1,图2,图3中，AM , BN是4ABC的中线，AM LBN于点P,像 ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设 BC =a, AC = b, AB = c.【特例探究】(1)如图 1,当tan/PAB=1,c=42时，a=4V5,b=4/5;如图 2,当/PAB = 30 , c=2 时，a= _寸7_, b = _13_; 【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2, b2, c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3 证明你的结论.【拓展证明】(3)如图4,

19、 ?ABCD中，E, F分别是 AD , BC的三等分点，且AD = 3AE , BC=3BF,连接AF , BE, CE,且 BE LCE 于点 E, AF 与 BE 相交点 G, AD = 3/5, AB = 3,求 AF 的长.解：(2)a2+b2=5c2.证明：连接MN. . AM , BN是中线，MN /AB , MN =AB , /.A MPNAAPB ,.MP PN 1AP = PB=2设 MP = x, NP = y,贝UAP = 2x, BP=2y,a2 = BC2=4BM 2= 4(MP2+ BP2)= 4x2+ 16y2,b2 = AC2 = 4AN 2=4(PN2 +

20、AP2)=4y2+ 16x2,c2= AB2 = AP2+ BP2 =4x2+ 4y2,a2 + b2= 20x2+ 20y2= 5(4x2 + 4y2)= 5c2由 AAS 可证 AGEA FGB,，BG = FG,取AB中点H,连接FH并延长交DA的延长线于点 P,同理可证4 APHA BFH , .AP = BF, PE=CF=2BF,即 PE / CF, PE=CF,四边形CEPF是平行四边形，FP/CE,. BEXCE,FPXBE,即 FHBG,.ABF是中垂三角形，由(2)可知 AB2+AF2=5BF2,1- AB=3, BF = AD=y/5, .9+AF2= 5X (g2, /

21、.AF = 42 .(导学号 59042311)(2019河南)(1)发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且BC = a, AB =b.填空：当点A位于_CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_a+ b_.(用 含a, b的式子表示)(2)应用：如图2,点A为线段BC外一动点，且BC = 3, AB = 1 ,分别以AB, AC为边，作等 边三角形ABD和等边三角形 ACE ,连接CD, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段 BE长的最大值.(3)拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(5, 0),点P为线 段AB外一动点

22、，且PA=2, PM = PB, /BPM = 90,请直接写出线段 AM长的最大值及此时点 P 的坐标.E图1图2图3备用图解：(2) CD=BE,理由：. ABD 与 ACE 是等边三角形,：. AD =AB , AC = AE , Z BAD =Z CAE = 60 , Z BAD + / BAC = Z CAE + / BAC ,即 Z CAD = Z EAB ,可证 CADA EAB( SAS),，CD = BE线段BE长的最大值=线段 CD长的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D 在CB的延长线上，.最大值为 BD + BC=AB+ BC=4(3)如图1,连接BM

23、,将4APM绕着点P顺时针旋转90得到 PBN ,连接AN ,则4APN是 等腰直角三角形，/.PN=PA=2, BN =AM , 丁 A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(5, 0),，OA = 2, OB = 5,AB = 3,线段AM长的最大值=线段 BN长的最大值，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN,AN=pAP =2平,最大值为2艰+3.如图2,过P作PE，x轴于E, APN是等腰直角三角形，PE=1AE = 2AN =V2, .OE=OA-AE = 2-V2,，P（2 业 V2）3 .（导学号 59042312）（2019 葫芦岛）如图，在 ABC 中，Z BAC =90 , AB = AC ,点 E 在 AC上（且不与点 A, C重合），在4AB