北师大版-数学-九年级上册-相似三角形例题解析

1、初中-数学-打印版相似三角形例题解析为了帮助同学们复习，天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这套相似三角形总结专题，供 同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以 相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如 何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行 探索.一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC. BD于点E.F,则AGDs/EGC s/XEAB给

2、出的以外，还应结 生的一系列相等的 所以AGDs/XEGCq 以EGCseABq分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确 合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产 角。本例除公共角NG外，由BCAD可得N1=N2, 再N1=N2（对顶角），由ABDG可得N4=NG,所 评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似:（2）找到两个三角形 中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。例2、已知ABC中，AB=AC, ZA=36° , BD是角平分线，而另一组相等的法。求证：ZkABCs2XBCD分析：证明相似三角形应先找相等的

3、角，显然NC是公共角， 角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方 证明:V ZA=36° , AABC 是等腰三角形，/ABC=NC=72° 又 BD 平分NABC,则 NDBC=36°在AABC 和4BCD 中，NC 为公共角，ZA=ZDBC=36°AAABCABCD例3：已知，如图，D为AABC内一点连结ED.AD,以BC为边在aABC外作NCBE=NABD, ZBCE=ZBAD求证：DBEsZabc分析：由己知条件NABD=NCBE, NDBC公用。所以NDBE=NABC,要证的4DBE和ABC,有一对角相 等，要证两个三角形相似，或者再

4、找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例.从已知条件中可 看到CBEs/XABD,这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在4CBE和4ABD中，ZCBE=ZABD, ZBCE= ZBADAACBEAABDBC BE.'AB=BDBC AB即：BE = BD在ADBE和aABC中NCBE二NABD, NDBC 公用，NCBE+NDBC=NABD+NDBCA ZDBE=ZABCBC AB BEBDAADBEAABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB, E.F,是BC边的三等分点，连结AE.AF、AC,问图中是否存在非全等的相相似三角形图形：似三角形？请证明你的结

5、论°分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找 呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本 如图：称为“平行线型”的相似三角形如图：其中N1=N2,则ADE-ZiABC称为“相交线型”的相似三角形.如图：Z1=Z2,ZB=ZD,则ADEs/LABC,称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及4EAF与4ECA解：设 AB=a,则 BE=EF=FC=3a,由勾股定理可求得AE二尬","=空=也在4EAF与4ECA中，NAEF为公共角，且EF AE 所以EAFsaECA （两边对应成比例且夹角相等的两个三角注：以上两

6、例中都用了相似三角形的判定定理2,该定理的上的难点所在，应注重加强训练。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式形相似）灵活应用是教学例1、AABC中，在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证：DF>AC=BC>FE分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF： FE=BC： AC,再利用相似三角形或平行线的性质进行证明：证明：过D点作DKAB,交BC于K,VDK/AB, Z.DF： FE=BK： BE又TAD=BE, ADF： FE=BK： AD,而 BK： AD=BC： AC即 DF： FE= BC： AC, ADF>AC=BC>FE例2：已

7、知：如图，在AABC中，NBAC=900, M是BC的中点，DMJ_BC于点E,交BA的延长线于点D。AE2 _ ME 求证：(1) MA2=MDME： (2) AD" MD证明:(1) V ZBAC=900> M是BC的中点,AMA=MC, Z1=ZC,VDM±BC,，NC=ND=900-NB,，N1=ND,VZ2=Z2,MAEs/kMDA,MA ME砺一而，AMA2=MD>ME,(2) VAMAEAMDA,AE MA AE ME 75一砺,AD- AMAE2 MA ME ME AD2 - MD MA - MD 评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是

8、证比例线段的一种基本方法。本例第（1）小题证 明MA2:MDME,经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边，再去寻觅与确定需证相似的三角 形。（2）本例的关键是证明MAEs2XMDA,这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的 相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：命题 1 如图，如果N1=N2,那么ABDsACB, AB2=AD>ACo命题 2 如图，如果 AB2=AD'AC,那么ABDs/ACB, Z1=Z2o例3：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,求证：AE： ED=2AF： FBoB分析：图中没有现成的相似

9、形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE： ED”的特征，作DG/7BA交CF于G,得AEFsDEG,AE _2AF _ AFAE Ab eBFB _ TT7nr 1 FR= BFDu = r dDE DG 0与结论2 相比较，显然问题转化为证2,证明：过D点作DGAB交FC于G则AEFs/iDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）AE _ AFDE DG（ 1）D为BC的中点，且DGBFG为FC的中点DG=-BF则DG为CBF的中位线，2（2）将（2）代入（1）得：AE _ AF _

10、 2AF2评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与 结论有关的线段。<2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。EB AF例1：已知：如图E.F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且A8 AD 求证：NAEF二NFBD 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的 两个角分别在两

11、个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，AEB证明：作FGLBD,垂足为G。设 AB=AD=3k则 BE二AF二k, AE二DF二2k,BD=3&kTNADB=450, NFGD二900A ZDFG=450塔=叵ADG=FG= 12tBG=3y/2k-yl2k=2kAF _FG bg" 2 又 NA二 NFGB 二 900，AAEFAGBF ，ZAEF=ZFBD评注：本例是通过构造一对相似三角形，而证明两个角相等，而证明两个三角形相似又运用了代数法， 设参数，计

12、算边长，从而证明两个三角形的对应边成比例。运用代数法解几何题一般在遇到正方形和正 三角形的条件时效果很好，同学们可以试试看。例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证:SQAB, RP/7BCDB初中-数学-打印版初中-数学-打印版选择适当的比例线段。要证明SQAB,分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去 证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标, 只需证明AR： AS=BR： DSo证明：在4ADS和AARB中。/ NDAR二NRAB二 2 ZDAB, NDCP=NPCB二 2 ZABC AR

13、_ BRAAADSAABR AS DS但ADSgZCBQ,，DS=BQ,AR _ BR则 AS BQ , 'sq'ab,同理可证，RPBC例3、已知A.C.E和B.F、D分别是NO的两边上的点，且有好多的比例/CD,只要证明例式再稍加处AB/7ED, BC:FE,求证：AFCD分析：要证明AFCD,已知条件中有平行的条件，因而线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AFOA _ OFOC OD即可，因此只要找出与这四条线段相关的比 理即可成功。证明：VAB/ED. BC/7FEOA _ OB OE _ OF反一而 OC - ， OA _ OF两式相乘可得：OC OD例4、

14、直角三角形ABC中，ZACB=90° , BCDE是正方形，AE交BC于F, FGAC交AB于G,求证:FC 二 FG分析：要证明FC二FG,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG,首先要找出与FC.FG相关的比例线段，图中与FC.FG相关的比初中-数学-打印版FC FG例式较多，则应选择与FC.FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到？ （“？ ”代表相同的线段或相等的线段），便可完成证明。证明：: FGACBE, .-.AABEAAGFGF _ AF则有BE AE而 FC DEAAAEDAAFCCF _ AF GF _CF _ AF则有 DE AE 9 BE DE AE又.BE;DE （正方形的边长相等）DF GF：.BE BE ,即 GF=CFo例5、RtZABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于0,过0引BC的平行线交AB于F,求证：AE=BF证明:CO 平分NC, Z2=Z3,AE AC故 Rt/kCAEsRtCDO, /. OD CDBF _