2018届高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修2-1

1、专题04直击轨迹方程问题 、选择题 1 1.【北京通州潞河中学 20162016- -20172017 高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为 O 0,0 , A 1,0 , B 1,1， C 0,1，点D， E分别在线段OC， AB上运动，且OD二BE，设AD与OE交于点G， 则点G的轨迹方程是( ) A. y = x 1 x 0 乞 x 冬 1 B. x 二 y 1 y 0 乞 y 乞 1 2 2 c. y=x(0 兰 x 兰1) D y = 1x(0 x1) 【答案】A 【解析】设2) )(0)(0/ = (l-x)x(Om/2) )| FXF2 |=2 , 二点M的轨迹C为以用，用

2、为焦点的椭圆， / 2a = 2-, 2c = 2 二点Af的轨迹C的方程为刍+护=1 ； jLr 1 (2)直线 l 的方程可设为 y=kx+，设 A (xi, yi), B (X2, y2), 3 1 1 y = kx 3可得 9 9 联立 2 x 2 T y 2 2 (1+2(1+2k) x +12+12kx - 16=016=0. =1 4k 则冷+ x = _ 3 1 2k2 16 x1 x2= = 9 1 2k2 Q (0, m ,使以AB为直径的圆恒过这个点, AQ BQ = (1(1)求点 M M 的轨迹方程; (2(2)在点M的轨迹上有一点 P且点P在 x x 轴的上方， /

3、APB =120，求b的范围 2 2 x y 2=1 X 丄士5 ; (2 2) 25 b 建立方程，化简即可求出轨迹方程； (2 2)点P的坐标为x0, y0，利用斜率公式及夹角公式，可得 x0, y0的 关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出 b的范围=1 k2 x.|X2 k i1 -m 16(1+k2) 12k2；3_m (片 +x2)+m2 _2m + 1 3 9 2 2 m2m-1 9 1 2k 9 1 2k 3 9 2 2 2 18m -18 k 9m -6m -15 2 9 1 2k2 -0 18m2 -18 =0 9m2 -6m -15 = 0 ，解

4、得n= =- 1 1. 因此，在y轴上存在定点 Q(0 0, - 1 1),使以AB为直径的圆恒过这个点. 点睛：本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，第一问中求轨迹问题 主要是采用了定义法，除此以外还有直接法，相关点法，消参法等 7 7 【山西实验中学、南海桂城中学 20182018 届高三上学期联考】设点 A,B的坐标分别为 -5,0 , 5,0，直线 AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积 b2 25 0：b 0 0 (1) 3 所以解得0 : b . 3 因为 0 曲0 5 , 0 10b2 b , 73(25-b ) b2 X. . 方法三设点F的坐标为

5、(片,点X的坐标分别为( (5(5,0 直线/F的斜率也学 直线的斜率& =丄仗工5) 斗) )+5 兀5 由 ZAPS = 120 得 5120。=主花十 1 + 旳一5 X =5cos, y0 =bs n. 代入(1 1)得 25cos b2sin2-25 = 10bSi , b2sin-25sin-10bSi , J3 b2 -25 = - 10b , 0 :sin b0h a b 2a = 4&, 2, 二曲象的方程为： 8 4 (n)假设存在点 wx/ir;【答案】 - - I (2)I (2)存在 I I 8 8 4 4 和 2 2)设点 I I：坐标，禾 U U

6、用向量数 15 川-j；丿八-.inij： MFJ2 - sine), =7COS20 - - 3 3 11.11.【云南省昆明一中 20182018 届高三一模】已知动点M（x,y ）满足：J（x+1）2 + y2 + J（x_1 （十y2 =2血. . （1 1）求动点M的轨迹E的方程； （2）设过点N -1,0的直线I与曲线E交于 代B两点，点A关于x轴的对称点为C （点C与点B不重合）， 证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标 . . 2 x 2 【答案】（1 1） y2 =1 =1 ；（2 2）直线过定点 -2,0 ，证明见解析 【解折】试题分析：（1）动点M到点尸（-0）, 0（

7、0）的距离之和为2血，且|吃|c辺，所以 动点M的轨迹为椭圆，从而可求动点M的轨述&的方程；（2）直线f的方程为：y = k（x+l）J由 得（1 +阳）亍+ 4/工+莎-2 =打 根据韦达走理可得 直线0C的方程为严准宜就-2 ,即可证明其过定点. .fr 7 满足条件. 巧尹2 +2 +帀” 试题解析：（1 1）由已知，动点M到点P -1 , 0， Q 1 , 0的距离之和为2 2，17 且PQ 22，所以动点M的轨迹为椭圆，而 a = 2 所以，动点M的轨迹E的方程：y2 =1. 2 (2 2)设A xi,yi , B x2,y2，则C为，-y,，由已知得直线I的斜率存在，设斜率

8、为 k，则直线I的方 程为：y = k x 1 y =k x 1 由 x2 2 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 - 2 = 0， y =1 2 直线BC的方程为：y-y2=31 x-x2 ,所以“ J1x-坐， X2 X X2 X1 血X1 令八。，则 x/1y2 X2y1 y2 +% 2収必2 k x1 x2 2x2 x-i x2 心为+x2 )+2k +x2 ) + 2 所以直线BC与x轴交于定点 D -2,0 1212.【湖北省沙市中学 20172017- -20182018 学年高二上学期第三次双周考】已知 代B分别是直线y= x和y= x上 的两个动点，线段 AB的长为2、3

9、 , D是AB的中点. (1)(1) 求动点D的轨迹C的方程； (2)(2) 若过点(1,0)(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q当| |PQ = 3 3 时，求直线l的方程。 【答案】(1 1) X2+ y2= 3. 3. ( 2 2) y y= =：”3 3 X-1 【解析】试题分析： (1 1 )设 A( (a, a) ) , 0 b,0 b, b),),根据 AB的长为 2 2 得( (a b) )2+ ( (a+ b) )2= 1212，再根据 D是 AB的中点得a b=2=2y, ,a+ +b=2=2x，代入化简可得点 D的轨迹C的方程(2 2)设直线点斜式方程，根据垂径定

10、理列 式解斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意。 C = 1，所以 b=1, 所以x x2 =- 4k2 1 2k2 x1x2 2k2 -2 1 2k2 试题解析：解： 设 D&r, v) A (a, a), 一 d), ab a-b T D是血的中点，S= 丁小 / 1-451 = 2 ? . (a-b)2+ (a+b):=12f 二( (2y) )q (2x)=二点D的轨迹C的方程为分+卩=乳 当直线I与x轴垂直时，P(1 (1 , : : ) ) , Q1 1， J J ) ), 此时| |PQ = 2 2 二，不符合题意； 当直线I与x轴不垂直时，设直线I的方程为y= k(

11、(x 1)1), 由于| |PQ = 3 3，所以圆心C到直线I的距离为一， 由+；. = _，解得k = -、:.故直线I的方程为y = -、： (x 1).1). 2 x 1313.【20182018 届云南省名校月考(一)】已知R,、F2分别是椭圆C : y2 =1的左、右焦点，动点M在C上, 2 连结F2M并延长F2M至N点，使得 MN冃MR |，设点N的轨迹为D . . (1)(1)求D的方程； 设0为坐标原点，点 P D，连结PF2交C于Q点，若直线F1P的斜率与直线 OQ的斜率存在且不为 零，证明：这两条直线的斜率之比为定值 . . 2 o 【答案】(1)(X -1 ) +y =

12、8 ; (2) 219 【解析】试题分析：o由椭圆方程可得焦点坐标为H0）（10）,由 M=l可得 |阴冃吗|+|昭结合点M在C上可得|码卜加设出M坐标利用两点间距高公式可得结果j 设卩 3）卫（花宀、直线闿尸的斜率为和 直线o仑的斜率为焉，利用两点间般率计算公式可 尸（程曲满足圆的方程a（心由满足椭圆的方程，当西二花勻时，可直接计 章盘=2,当班却円工1时，由点在直线尸码匕故斜率相等，平方结合等比定理化简可得基二丄, 咫 y2 2花 试题解析： 2 （1）设椭圆C: y2 =1的长轴为2a，短轴长为2b，焦距为2c,则a二、.2,b =1,c =1，所 2 以 Fi（1,0 仃2（1,0）.

13、因为 MN|=|MFi，所以 NF2|=|NM|MF2 =MFi|+MF2，又点 M 在 C 上，故 MF/+IMF2 =2a =2运,所以 NF? =2血.设 N（x,y ）,则 J（x_1）2 + y2 =犷2,化简得 2 2 . 2 2 x -1 y2 =8.所以 D: x-1 y2 =8 . （2设巩码山）卫（花宀L直线却尸的斜率为耐，直线。的斜率为妁，则拭=斗,=t 珂 + 1 Xj 所決）=一严八因为卩ED 刚（画-I）1 + !3 =8 J同理西-+ yf二1 ,当年二吃=1时, 焉叫（西+ 1） 2 y-22 ” = -25 血或 J2，此时学=2.当週工1円工1时,因为尸卫在

14、直线昭上，则丄七=丄牛 旳二 y1= K 可一 1 Xi- 1 而止二（西-1=才十（西 乃丄（-i）2 （帀一】 FfrPi K - - 4JC2 俎 旳（还+】）（2-花）（西+1） =2综上，两条直线的斜率疋比为定倩厶 （2-花）畤品 I至+：）广馬，因为护 yi 在一1 代入可得最后结果. 可得 F _ 2 2 14.14. 【云南省昆明一中 20182018 届高三第二次月考】已知点 C在圆x 1 y=16上， 代B的坐标分别为 -1,0 ， 1,0，线段BC的垂直平分线交线段 AC于点M （1 1） 求点M的轨迹E的方程； （2 2） 设圆x2 y2二r2与点M的轨迹E交于不同的四

15、个点 D,E,F,G，求四边形 DEFG的面积的最大值 及相应的四个点的坐标. . 2 2 【答案】（1 1） y 1（ 2 2）矩形DEFG的面积的最大值为 4、.3，此时, 4 3 四个点的坐标为： ，臨, 1 2后 ， v2 1 2丿 1 2丿 1 2 ) 1 2丿 【解析】试题分析：（1 1）由线段垂直平分线性质得 MA +|MB =|AC，再根据椭圆定义确定轨迹，最后根 据基本量求方程（2 2）由题意得四边形 DEFG为矩形，各点关于对称轴对称，因此可设点坐标，表示四边 形DEFG的面积，再根据基本不等式求最值，最后求对应点坐标 试题解析：解：（I）由已知得： MA +MB = AC

16、 =4，而AB =2c4, 所以点M的轨迹是以 A , B为焦点，长轴长2a =4的椭圆， 2 2 设M （x, y），所以点M的轨迹E的方程： =1 . 4 321 (ID由对称性可灿 四边形DEFG为矩形，不妨设更吗)为椭圆E上第一象限的洁 则,5函丙、 当且仅当手曲即“妊”半时，取7, 所以矩形DEFG的面积的最犬值为4历,此时, 四个点的坐标为: 15.15. 【河北省定州中学 20172017- -20182018 学年高二上学期第一次月考】如图，设 切宀 与定点 的距 (1)(1) 求点.的轨迹曲线的方程： (2)(2) 过定点的直线 交曲线于二 H H 两点，以： 三点(：为坐标

17、原点)为顶点作平行四边形 -, , 若点刚好在曲线上，求直线 的方程. K | _ 【答案】(1 1) I I ；(2) (2) 于士 ,2,2：- - 2 2 ; ; 3 3 3 3 【解析】试题分析： ( (I ) )设点M的坐标为 M( x, y),结合点到直线距离公式可得 2 2 K y y . . 3 3 2 2 ( (n) )很明显直线斜率不存在时不满足题意，当直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到而吗0, 离和它到直线丨；二的距离的比是常数 C的方程为 3 3 关于斜率的方程，解方程可得 则直线 的方程是. 试题解析: (】)设点,V) ),贝U抿题意有 IT 3

18、则 3( (X- 1) 2-严=匕一3) 2, 2 2 即 +3=6, ,L + L=1, 1 2 故曲线C的方程为1+L = 1. 3 2 (n)当直线I 2的斜率不存在时，显然不适合题意; 当直线I 2的斜率存在时，设直线 I 2的方程：V - 1 K 1 16.16. 【四川省宜宾市南溪区第二中学校 20162016- -20172017 学年高二 1212 月月考】已知动点 屈山川到定点.的距离 与丁到直线：的距离之比为 (1 1 )求点卜；的轨迹的方程； (2 2)过点 的直线与曲线交于：两点，且一，为线段.中点，求直线的方程 2 2 即P , ,又点P刚好在曲线 b b + + 3

19、k3k? ? 2 + 2 + 3k3k? ?J J C上, 解得：罕 所以直线I 2的方程为: 寸(九-、辺 联立方程: ? 2 + + JkJk2 2j j 23 【答案】(1 1)-二_ 】(2 2) - 1 11 4 4 3 32 MA M(x,y )满足 1 设动点M的轨迹为C . 【解析】试题分析：(1 )按照题目意思点到点的距离与点到线的距离成比例列出轨迹方程 因为知道中点，可以采用点差法求得直线方程。 试题解析：二M到定点粗的距离与朋到直线： 的距离之比为 ： ： I(3分厂点：的轨迹C的方程为 =. 卜一4| 2 4 3 注：此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分 汕解法

20、一：设叫宀儿由只0在曲线 丁“在椭圆內且不在工轴上二直沏0与椭圜恒有两个不同交克血巧，) 又j门 j j - 、 : 3 :r. , - 直线吃的方程为3工 轴I 了 0 解法二：设Hi”)，也-山，二理中点N不在丄轴上，二逬込瀚潍號疑 设.；.1. . f . i. - . 联 立 也 4 3 (3+4t?+84(jk+I)r+t+52-12 = 0-. 椭圆内二 AN 恒成立 8k(k+l) _ 3 - 直线 的方程为八吐订 r - 3 + tt2 4 点睛：当题目的条件里给出了 “某条直线与曲线相交两点，一点为中点”并给出点坐标时，往往可以运用 点差法求出直线斜率，然后再求出直线方程。将

21、问题转化为其几何意义，先求斜率再求直线方程。 17 【江西科技学院附属中学 2017-2018学年上学期高二第一次月考】已知 A -1,0 , B 2,0，动点 *1 工工 4 3 X. -得丄 *r*22 * - l 3 即 3% -訓 1 + 幼 + 4(为-yp( (yx *yp=o 25 （1 1）求动点 M M 的轨迹方程; （2 2）设直线I : y = x m交轨迹C于P,Q两点，是否存在以线段 PQ为直径的圆经过 A ?若存在，求出实 数m的值；若不存在，说明理由. . 【答案】（1 1）见解析（2 2）m = 3 “3 3. . 2 【解析】试题分析：（1 1 ）先将条件化简

22、即得动点 M的轨迹方程，并说明轨迹 C是图形：轨迹C是以（- -2 2，0 0） 为圆心，2 2 为半径的圆；（2 2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段 PQ为直径的圆经过 A,再利 用PAL QA求出m的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在. 试题解析：（1） :斗 化简可得：（x+2）1 + / = 4?轨迹C是以（-2Q为圆心，彷半 （耳一 2 +y 2 径的圆 3）,以B为圆心， BA为半径作圆，交圆C于点P , 且.PBA的平分线交线段 CP于点Q. .=乎满足 xOy中，已知圆C : (1 )当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线.上运动，求曲线.的方程； (2

23、)已知直线I过点 C，且与曲线.交于M , N两点，记 OCM面积为 S ：-：0, 0 I ：，求乂的取值范围 2 S2 X2 y2 【答案】(1 1) 1 ；( 2 2)i丄,3 . . 4 3 13 丿 【解析】试题分析：(I )推导出 QAIA QPB从而Q(+ +Q/=4=4,由椭圆的定义可知, 为焦点， 2a =4的椭圆，由此能求出点 Q的轨迹方程. (II )设直线 I : x= =my1 1，设 M (X1,中)，N ( (X X2, y2),推导出 =,上. S2 y2 3m2 4 y2 -6my -9 =0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出S1 , OCN面积

24、为 Q点的轨迹是以 C, A x = my _ 1 -由 x2 y2 得 1 4 3 -S1的取值范围. . S2 27 试题解析: (1) BQ = BQ, ZPBQ = ZABQ ? .&QAB 辿QPB ,Q4 = QP , rCP = CQ +QP = QC+ QAi QC+ QA =耳， 由椭圆的定义可知Q点的轨迹是以 6 /为焦巨，24的椭圆, 故点12的轨迹方程为工+莖 4 3 (2)由题可知，设直线 l : x =my-1，不妨设 M为， , N x2,y2 0C 汉 yi , S2 = S霑NC = X OC 沃 y2 , x = my 1 6m W+4 （”+乃）

25、. =-4 41 ,即也+吃+ 2e| f-ST 3异+4 I 3, J I 3 泌=_ S S2 yi y2 yi y2， 3 = S.OMC 二 2 （3 加=+ 4）于 _ 砂 9 = 0, Al 44m2+ 144 0, -1 9 鱼一里1,3 S2 y2 3 19.19. 【四川省宜宾市南溪区第二中学校 20162016- -20172017 学年高二上学期期末】已知点：是平面直角坐标系中的动 1 2 1 2 点， ，一.二一，在 忌中，Im ；心. 9 8 9 8 ( (I) )求点丁的轨迹的方程及求AAiir/的周长的取值范围; ( (n n) )直线 i i让与轨迹的另一交点为

26、M ,求 - 的取值范围. . J i MM B 【答案】 点T的轨迹方程为，- ； , 4； -：. . -E2的周长的取值范围.(2)(2) -的轨迹的方程；利用特殊位置，即可求 上&EI7的周长的取 值范围; 点的轨迹方程为2;. 在，容EW 中， ，?,则 甘 1 1 血的周长 =|AB + MA| + 3 + 3|MB = 3 + 3(x + 1)? + y2 3 + 35 + 2x E (6,12) 诽阳的周长的取值范围.，. .【解析】试题分析：(I) 利用直接法求点 A AMB (n) 直线1：小 与轨迹的另一交点为.， FT AM Vi | |以 Vi ，利用韦达定理

27、，即可求 的取值范围. 试题解析：( (I ) )由已知有 x+ir+y 29 (II)设直线MB的方程为 x = rny 7,代入丿+ y2 = 4(y畢6 得：( (m仃lj/ - 2my = 0 2m 3 Vi 二设M( (xitVih M( (Kry2t 贝I：Vi4 Vj = 一，/2 = -* 设一 m +1 m +1 2 .1 *1 *i 4m2 10 4 10 入 + 一 = + 看 - 2 雷 - 2 -* + (-( 2 h Va x /iVj 3(ni2+l 3 3(m24 1) 3 J 二的取值范围为 5 M 3 【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系的运用，对学生的思维能力和计算能力要求较高 20.20. 【广东省汕头市金山中学 20182018 届高三上学期期中】在平面直角坐标系 xoy中，设点F (1 (1 , 0)0)，直线I： x x = =1，点P在直线I上移动，R是线段PF与y轴的交点,异于点R的点Q满足：RQ _ FP , PQ _丨 (1) 求动点Q的轨迹的方程； (2) 记Q