有限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计IIR数字滤波器的优点： 可以利用模拟滤波器的设计结果，方便简单IIR数字滤波器的缺点： 非线性相位 若需线性相位，要采用全通网络进行相位校正FIR数字滤波器的优点： 可以做到严格线性相位 可以具有任意的幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算,但阶次比IIR滤波器要高得多第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第七章学习目标掌握线性相位FIR数字滤波器的特点掌握窗函数设计法理解频率抽样设计法了解设计FIR滤波器的最优化方法理解IIR与FIR数字滤波器的比较第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限

2、脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器滤波器7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 FIR滤波器的单位冲激响应：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系统函数：在 z 平面有N 1 个零点在 z = 0

3、 处是N 1 阶极点 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计1. 线性相位条件幅度特性，为的实函数，可能取负值相位特性（1）线形相位的定义h(n)为实序列时，其频率响应：()()jjH ee 10()( )Njj nnH eh n e()( )jHe 即群延时 是常数( )dd 线性相位是指 是 的线性函数 0( ) 第二类线性相位：( ) 第一类线性相位：第一类线性相位 的充要条件：( ) ( )(1)01h nh NnnN 12Nn = (N 1) /2 为h(n)的偶对称中心（2）线形相位的条件证明第二类线性相位 的充要条件：0( ) ( )(1)01h n

4、h NnnN 12N0/2 n = (N 1) /2 为h(n)的奇对称中心证明第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计将线性相位的条件代入上式得令m=N-n-1,则有第一类线性相位条件证明：按照上式可以将H(z)表示为10( )( )NnnH zh n z10( )(1)NnnH zh Nn z 1(1)0( )( )NN mnH zh m z1(1)0( )NNmnzh m z(1)1( )()NH zzH z1(1)1(1)011( )( )()( )22NNnNnnH zH zzH zh n zzz1111()22201( ) 2NNNNnnnzh nzz

5、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 将z=e j代入上式，得到： 幅度函数Hg()和相位函数分别为返回11()211()( )cos() 2NNjjnNH eeh nn101( )( )cos() 21( )(1)2NgnNHh nnN 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计令m=N-n-1,则有 同样可以表示为第二类线性相位条件证明：1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nnz 1(1)1(1)011( )( )()( )22NNnNnnH zH zzH zh n zzz1(1)0( )( )NN mnH z

6、h m z 1(1)0( )NNmnzh m z (1)1( )()NH zzH z 1111()22201( ) 2NNNNnnnzh nzz 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计因此，幅度函数和相位函数分别为101( )( )sin ()21( )()22NgnNHh nnNQ 1120112201()( )( )sin21( )sin2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNjeh nn频率响应：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )cos2jNNjjz enNH eH zeh nn12N1）h(n)偶对称为第一类线性相位1

7、( )2N 相位函数：频率响应：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )sin2jNNjjz enNH eH zjeh nn12N112201( )sin2NNjjnNeh nn0/22）h(n)奇对称1( )22N 相位函数：为第二类线性相位3、幅度函数的特点1）h(n)偶对称，N为奇数11cos(1)cos22NNNnn 11cos22NNn对呈偶对称101( )( )cos2NnNHh nn幅度函数：1cos2Nn-32011( )2 ( )cos22NnNNHhh nn121112cos()22NmNNhhmm12Nnm令120( )( )cos()NnHa nn1(0)

8、2Nah其中：11,.,2Nn1( )22Na nhn120( )( )cos()NnHa nn1(0)2Nah11,.,2Nn其中：1( )22Na nhn( )0, , 2 H对呈偶对称cos()0, 2 n对，呈偶对称120( )( )cos()NnHa nn2）h(n)偶对称，N为偶数12012 ( )cos2NnNh nn101( )( )cos2NnNHh nn幅度函数：2112cos22NmNhmm2Nnm令/211( )( )cos2NnHb nn( )22Nb nhn1,.,2Nn 其中：1201( )2 ( )cos2NnNHh nn/211( )( )cos2NnHb n

9、n( )22Nb nhn1,.,2Nn 其中：( )H对呈奇对称( )01Hz 则是零点1 cos02n时 1z 为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器 ( )0, 2H对呈偶对称/211( )( )cos2NnHb nn3）h(n)奇对称，N为奇数11sin(1)sin22NNNnn 11sin22NNn对呈奇对称101( )( )sin2NnNHh nn幅度函数：1sin2Nn -3201( )2 ( )sin2NnNHh nn12112sin()2NmNhmm12Nnm令121( )( )sin()NnHc nn1( )22Nc nhn11,.,2Nn其中：1( )02Nh nNh奇对称且

10、 为奇数121( )( )sin()NnHc nn1( )22Nc nhn11,.,2Nn其中：( )0, 2H故对， 呈奇对称( )01Hz 则是零点0, , 2 sin()0n时 121( )( )sin()NnHc nn sin()0, 2 n因对，呈奇对称4）h(n)奇对称，N为偶数101( )( )sin2NnNHh nn幅度函数：12012 ( )sin2NnNh nn1201( )2 ( )sin2NnNHh nn2112sin22NmNhmm2Nnm令/211( )( )sin2NnHd nn( )22Nd nhn1,.,2Nn 其中：/211( )( )sin2NnHd nn

11、( )22Nd nhn1,.,2Nn 其中：( )01Hz 则是零点10, 2 sin02n时 ( )0, 2H对呈奇对称 h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时( )H对呈偶对称/211( )( )sin2NnHd nn第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计4、零点位置( )0iH z*, 1/iizz即 也是零点(1)1( )()NH zzH z 得：由1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点2）h(n)为

12、实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对(1)1()( )0NiiiH zzH z 11( )(1)(1)iijjiiiH zrezrez111111iijjiiezezrr1222112 cosiiiirzr zr2122 cosiiirrzz1522NN10ijiiiizrer 或1）11iiiijjjjiiiirereeerr零点：12221( )12 cosiiiiiH zrzr zr2122 cosiiirrzz11( )11iijjiH zezez1212 cosirzz 1312NN10ijiiiizrer 或2） ，即零点在单位圆上iij

13、jee零点：111( )11iiiH zrzzr1211iirzzr 1312NN i负实轴上 0 i正实轴上10ijiiiizrer 或3） ，即零点在实轴上1iirr零点：1( )(1)iH zz11222NN 1 01iizz 10ijiiiizrer 或4）即零点既在实轴上，又在单位圆上1零点：第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计令m=N-n-1,则有 5. 线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有因为(7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出， (7.1.23) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的

14、设计图7.1.2 第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.3 第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数11111111110()( )()Njj njdnH eh n eHe1( )2jj nddh n

15、Heed( )( )( )dh nw n h nw(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 1.窗函数法设计FIR滤波器的思路第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计以低通滤波器为例讨论：以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：()0,jjccdcceHe 1sin()( )2()ccjj nccdcnh needn其理想单位抽样响应：中心点为 的偶对称无限长非因果序列 取矩形窗：( )( )Nw nRn 1sin201 120cccNnnNh nNnn其它( )01( )( ) ( )0ddh nnNh nh n

16、 w nn其它则FIR滤波器的单位抽样响应：12N按第一类线性相位条件，得sin()( )()ccdcnh nn 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计加窗处理后对频率响应的影响：加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积1()2jjjdH eHeW ed 1120sin2()( )sin2NNjjj nRnNW ew n ee而矩形窗的频率响应：( )( ) ( )dh nh n w nsin2 ( )sin2RNW其幅度函数： 理想滤波器的频率响应：12()( )NjjddHeHe11()221()( )()2NNjjjdRH eHeWed 121(

17、)()2NjdReHWd1( )0cdcH其幅度函数：则FIR滤波器的频率响应： 1( )()2dRHHWd其幅度函数： (0)( )RHW近似于的全部积分面积()0.5(0)cHH2cHN为最大值，正肩峰2cHN为最小值，负肩峰( )H随，绕零值波动( )(0)HH随，绕波动0 c 2cN 2cN 2cN 2cN 1( )( )()2dRHHWd幅度函数：第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计加窗函数的影响：加窗函数的影响：u不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。u在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和

18、多少取决于旁瓣的幅度和多少2cNu改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应sinsinsin22 ( )sin22RNNxWNNxN幅度函数：第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2、各种窗函数、各种窗函数窗函数的要求： 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计( )( )Nw nRn矩形窗4N主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大 1120()( )NNjjj nRRnW ew n eWe窗谱：sin

19、2( )sin2RNW幅度函数： 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计三角形（Bartlett）窗21012( )212112nNnNw nnNnNN8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小 12()NjjW eWe窗谱：2sin24( )sin2NWN幅度函数： 1N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）12( )1 cos( )21Nnw nRnN8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度小22( )0.5( )0.25RRRWWWWNN幅度函数： 1N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设

20、计海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小22( )0.54( )0.23RRRWWWWNN幅度函数： 1N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）24( )0.420.5cos0.08cos( )11Nnnw nRnNN12N主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小22( )0.42( )0.25RRRWWWWNN440.04RRWWNN幅度函数： 1N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计凯泽（Kaiser）窗 ：

21、第一类变形零阶 贝塞尔函数0( )I 2002111( )( )nINw nI01nN改变 可同时调整主瓣 宽度和旁瓣幅度 旁瓣幅度 但主瓣宽度窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-5724443.35.55-21-25-44-53-74-80/ 2 / N/ 2 / N7.865阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关3、窗函数法的设计步骤给定理想的频率响应函数及技术指标()jdHe2,求出理想的单位抽样响应( )dh n根据阻带衰减

22、选择窗函数( )w n计算频率响应 ，验算指标是否满足要求()jH e/NA根据过渡带宽度确定N值( )( )( )dh nh nw n求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应公式法：()jdHe( )dh n, ( )( )dMMNh nhn当时IFFT法：1( )2jj nddh nHeed( )()Mdrhnh nrM计算其IFFT，得：对 M点等间隔抽样：()jdHe2()jkMdHe第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn例7.2.1 用矩形窗、汉

23、宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。解: 用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn用布莱克曼窗设计： 11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh nnnnnRn 用汉宁窗设计：第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 1、设计方法 对理想

24、频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值2( )( )()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN( )h n( )H z()jH e10()( )()Njj njdnH eh n eHe1( )()2jj nddh nHeed( )( )( )dh nw n h n窗函数设计法：1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz 102NjkH eH kkN12sin12( )sin2NjNeN 11(1)20sin21sin2kNNjNjjNkkNNH eeH kekNN内插公式：抽样点上，频率响应严格相等抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近

25、理想值，逼近误差较小1、线性相位的约束1）h(n)偶对称，N为奇数 12NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH幅度偶对称：1 2112kNkkNN 相位函数：2kN2）h(n)偶对称，N为偶数12()( )NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH 幅度奇对称：11kkN 相位函数：2kN第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计( )()1,0,1,2,( )0,1,2,11( ),0,1,2,1ggcgcccHkHNkkkHkkkkNkNkk kNN (7.3.12)设用理想低通作为希望设

26、计的滤波器，截止频率为c，采样点数N，Hg(k)和(k)用下面公式计算：N=奇数时，N=偶数时，( )1,0,1,2,( )0,1,2,1()1,0,1,2,1( ),0,1,2,1gcgcccgcHkkkHkkkkNkHNkkkNkk kNN (7.3.13)小于等于cN/2的最大整数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计1( )()2jj nddh nHeed则由频率域采样定理知道，在频域02之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘以RN()，即( )()( )dNrh nh nrN Rn 2. 逼近误差及其改进措施

27、如果待设计的滤波器为Hd(ej),对应的单位取样响应为hd(n)，（1）时域分析误差来源增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减（2）频域分析误差来源不加过渡抽样点：220dB 加一点：240 54dB 加两点：260 75dB 加三点：280 95dB 102NjkH eH kkN增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量优点：频域直接设计缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍， 截止频率 不能任意取值2 / Nc/N第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计( )(33)1,0,1,2,8( )0,9,10,23,2

28、432( ),0,1,2,3233gggHkHkkHkkkkk 对理想低通幅度特性采样情况如图7.3.2所示。将采样得到的( )( )jkdgHHk e例7.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率c=/2rad，采样点数N=33，选用h(n)=h(N-1-n)情况解：用理想低通作为逼近滤波器。按照(7.3.12)式第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.3.2 对理想低通进行采样第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.3.3 例7.3.1的幅度特性第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.3.4 例7.3.1(N=65)有两个