普遍的光振动的复振幅表达式

1、普遍的光振动的复振幅表达式：普遍的光振动的复振幅表达式：U(P) = a(P) e jj j(P)光强分布光强分布:I = UU*球面波的复振幅表示（三维空间）：球面波的复振幅表示（三维空间）：jkreraPU0)(P(x,y,z)0zyx源点源点S(rk球面波的复振幅表示（球面波的复振幅表示（x-y 平面）：平面）：z20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxUPU对给定平面对给定平面是常量是常量随随x, y变化的二次位相因子变化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相（续）平面波的复振幅（三维空间）：平面波的复振幅（三维空间）：)coscoscos(exp

2、 )exp(),(zyxjkajazyxUrk线性位相因子线性位相因子常量振幅常量振幅平面波的复振幅平面波的复振幅 (在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上的平面上):)coscos(exp ),(yxjkAyxU光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念空间频率的单位空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周周/mm, 条数条数/mm 等等空间频率的正负空间频率的正负:表示传播方向与表示传播方向与x(或或y)轴的夹角小于或大于轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的任意单色平面波有

3、一组对应的fx和和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向它仅决定于光波的波长和传播方向.反之反之, 给定一组给定一组fx和和fy, 对于给定波长的单色平面波就能对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向确定其传播方向cos =l l fx , , cos =l lfy 要与光的时间频率严格区分开要与光的时间频率严格区分开空间是有形的空间是有形的, 比时间更具体比时间更具体,更直观更直观.在在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布分布,即即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维二

4、维F.T.在光学上的意义在光学上的意义:yxyxyxdfdfyfxfjffGyxg)( 2exp)(),(,光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 :三个空间频率不能相互独立：三个空间频率不能相互独立： 1222222zyxffflll因此因此 lll)1(2222yxzfff)exp(),()exp()(exp),(yxyxyxffzjyxUffzjyfxfjazyxUllllll在任一距离在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在的平面上的复振幅分布，

5、由在 z =0 =0平面上的复平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题了最基础的平面波衍射问题 2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播 1、复振幅分布的角谱、复振幅分布的角谱Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution即即: 把把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数看作不同空间频率的一系列基元函数e

6、xpj2 (fxx+fyy) 之和之和, 各分量的叠加权重是各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). dxdyyfxfjzyxUzffAyxyx)(2exp),( ),(称为称为x-y平面平面上复振幅分上复振幅分布的频谱布的频谱 对在对在 z 处的处的x-y平面上单色光场的复振幅分布平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换作傅里叶变换:yxyxyxdfdfyfxfjzffAzyxU)(2exp),(),( 物理上物理上, expj2 (fxx+fyy) 代表传播方向余弦为代表传播方向余弦为cos =l lfx, cos =l lfy 的单色平面波在的单色平面波在xy平面的复振幅

7、分布平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分是不同平面波分量分布的线性叠加布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定决定. 其逆变换为：其逆变换为：2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播1、复振幅分布的角谱、复振幅分布的角谱根据根据llcos ;cosyxff可将频谱函数可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：用表示各平面波传播方向的角度为宗量： dxdyyxjzyxUzA)coscos(2exp),( ),cos,cos(llll ),cos,cos(zAll称

8、为称为xyz平面上复振幅分布的角谱平面上复振幅分布的角谱, 表示不表示不同传播方向同传播方向(,)的单色平面波的振幅的单色平面波的振幅(|A|)和初位相和初位相(argA)角谱是角谱是xyz平面上复振幅分布平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱的空间频谱, 其空其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示复振幅分布的角谱：复振幅分布的角谱： 例例在在x-y平面上平面上, 光场复光场复振幅分布为余弦型振幅分布为余弦型:)2cos( ),(0 xfAyxU可以分解为可以分解为:)2exp()2exp(2)( ),(00 xfjxfjAxUyxUU(x,y)的空间频谱

9、函数的空间频谱函数:)()(2)2cos( ),(000ffffAxfAffAxxyxU(x,y)的空间的空间角谱角谱函数函数:llllcos,cos),( )cos,cos(yxffyxffAA00coscos2)cos,cos(ffAAllll复振幅分布的角谱复振幅分布的角谱练习练习: P47, 2.2第一步第一步: 写出屏的透过率函数写出屏的透过率函数 t(x,y):第二步第二步: 写出入射波的复振幅分布写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0) 单位振幅的单色平面波垂直入射照明单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1第三步第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分

10、布写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)第四步第四步: 求出求出U(x,y,0)的频谱的频谱A(fx, fy,0)llcos ;cosyxff第五步第五步: 利用利用 将将 A(fx, fy, 0)改写成角谱改写成角谱作业：作业： P47: 2.1, 2.3z2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum 光场分布光场分布U0(x,y,0)光场分布光场分布U (

11、x,y,z)孔径平面（孔径平面（ z =0）P(x,y,0)观察平面（观察平面（ z =z）P(x,y,z)U0(x,y,0)与与U (x,y,z)的关系如何？的关系如何？传播的问题传播的问题先找到相应的角谱先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和和A(fx, fy,z)之间的关系之间的关系角谱的传播角谱的传播角谱是角谱是xy平面上复振幅分布平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱的空间频谱, 其空间其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示频率宗量用传播矢量的方向余弦表示按角谱的观点按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方均看成许多不同方向传播的单色

12、平面波分量的线性组合向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位每一平面波的相对振幅和位相取决于相应的角谱相取决于相应的角谱2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播角谱是传播距离角谱是传播距离 z 的函数的函数在孔径平面在孔径平面(x,y, 0)的光场的光场U0(x, y , 0) :传播距离传播距离z后到达后到达z=z平面平面, 光场变化为光场变化为U(x,y,z), A是空间频率是空间频率(角度角度)的函数的函数, 同时是同时是z的函数的函数. )cos()cos()coscos(2exp)0 ,cos,cos()0 ,(0llllllddyxjAyxU )cos()cos()

13、coscos(exp),cos,cos(),(llllllddyxjzAzyxU 传播的效应体现为角谱由传播的效应体现为角谱由 变化为变化为 . )0 ,cos,cos(llA ),cos,cos(zAll2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播思路思路: 找出并求解找出并求解A满足的对满足的对z的微分方程的微分方程,从而得到角谱随从而得到角谱随 z 变化的函数关系变化的函数关系0coscoscoscos2exp,cos,cos)(22 llllllddyxjzAk22z2222yx对任何对任何 x,y,z 均应成立均应成立, 故故0,cos,cos,cos,coscoscos4,cos,cos

14、2222222zAkzAdzdzAlllllll代入亥姆霍兹方程代入亥姆霍兹方程 ( 2+k2)U(x,y,z)=0, 并交换积分和微分的顺序并交换积分和微分的顺序)cos()cos()coscos(exp),cos,cos(),(llllllddyxjzAzyxU 将将U(x,y,z)的表达式的表达式 2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播角谱沿角谱沿 z 传播遵循的规律传播遵循的规律0,cos,cos)coscos1 (,cos,cos22222zAkzAdzdllll)coscos1exp(0 ,cos,cos,cos,cos22lllljkzAzA方向余弦方向余弦 cos2 cos2

15、: : 代表倏逝波代表倏逝波初始条件初始条件: z = 0 时时, A = (孔径平面孔径平面). 微分方程的解为微分方程的解为: )0 ,cos,cos(llA0,cos,cos,cos,coscoscos4,cos,cos2222222zAkzAdzdzAlllllll2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统传播现象作为线性空不变系统 )coscos1exp(0 ,cos,cos,cos,cos22lllljkzAzAffyxcos ,cos表征系统频谱特性的传递函数表征系统频谱特性的传递函数 ：yxyxyxyxffjkzffAffAffHllexp),(),(,系

16、统的系统的传递函数传递函数:他其011exp,22222yxyxyxffffjkzffHyxffA,系统的输出系统的输出yxffA,0系统的输入系统的输入2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统传播现象作为线性空不变系统 1/lfxfy0系统的系统的传递函数传递函数:他其011exp,22222yxyxyxffffjkzffH把光波的传播现象看作一个带宽有限把光波的传播现象看作一个带宽有限的空间滤波器。在频率平面上的半径的空间滤波器。在频率平面上的半径为为1/1/l l的圆形区域内，传递函数的模为的圆形区域内，传递函数的模为1 1，对各频率分量的振幅没有影响。但，对各频

17、率分量的振幅没有影响。但要引入与频率有关的相移。在这一圆要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。形区域外，传递函数为零。对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于大于1/1/l l的信息，在单色光照明下不能沿的信息，在单色光照明下不能沿z z方向向前传方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Effect of Diffraction Aperture

18、on Angular Spectrum孔径的复振幅透过率：孔径的复振幅透过率：t (x0,y0) = 1 在在 内内0 其它其它光场通过衍射屏后的变化：光场通过衍射屏后的变化：Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) 角谱的变化：角谱的变化：At (fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy) F.T.由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分

19、布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Ui (x0,y0)Ut(x0,y0)例例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化求角谱的变化At (fx,fy) = (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽角谱展宽孔径限制了入射波面的范围孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱展宽了入射角谱故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波

20、。 Ai (fx,fy)= (fx,fy)Ui (x0,y0) = 1 T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b) (2)衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P P 的复的复振幅振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。能否用光场中各源点的复振幅表示出来。 P PU2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 几几何何阴阴影影区区平面波入射平面波入射衍射现象衍射现象2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲

21、涅耳原理到基尔霍夫衍射公式 1. 惠更斯包络作图法惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子把波阵面上每一面元作为次级子波的中心波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射, 也能预见光在通也能预见光在通过简单孔径时的衍射现象过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向但它只能判断光的传播方向,不不能定量计算能定量计算.衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为衍射理论要解决的问题

22、是：光场中任意一点为P P 的复的复振幅振幅 U U( (P P) ) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。 2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉说菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉子波间应当互相干涉,并且应当并且应当考虑不同方向子波的差异考虑不同方向子波的差异. 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个产生一个与原波频率相同的子波与原波频

23、率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这此后空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果些子波叠加的结果. 其数学表述为其数学表述为:dsreKPUcPUjkr)()()(0常数常数幅相幅相因子因子倾斜倾斜因子因子球面球面子波子波表达式表达式源点源点光扰动光扰动U(P0)ds: 球面子波的振幅球面子波的振幅相干叠加相干叠加观察点观察点(场点场点)复振幅复振幅 球面球面子波源子波源2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式原波阵面原波阵面源点处的面元法线源点处的面元法线场点场点源点到场点的距离源点到场点的距离所考

24、虑的传播方向与面元法线的夹角所考虑的传播方向与面元法线的夹角源点源点dsreKPUcPUjkr)()()(0成功成功: 可计算简单孔径可计算简单孔径的衍射图样强度分布的衍射图样强度分布.局限局限:难以确定难以确定K( ).无法引入无法引入- /2的相移的相移dsreKPUcPUjkr)()()(0惠惠-菲原理菲原理dsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,l基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫基尔霍夫边界条件边界条件2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面

25、孔径的情况下在单色点光源照明平面孔径的情况下:P0nPPrr常数幅相因子常数幅相因子 1/jl l 自动出现，自动出现，K( )函数形式确定函数形式确定2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式随近似程度的不同随近似程度的不同, 将衍射现象分为将衍射现象分为菲涅耳衍射菲涅耳衍射和和夫琅和费衍射夫琅和费衍射.在傍轴近似下在傍轴近似下20202)()(yyxxzr基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式dsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,l12) cos()cos(rn,rn,2-3 标

26、量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式略去略去 (x-x0)/z 和和 (y-y0)/z 的二次以上的项的二次以上的项, 则则202021211zyyzxxzr在振幅部分取在振幅部分取r的一级近似的一级近似, 位相因子用位相因子用r的二级近似的二级近似,代入基尔霍夫公式代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式即得菲涅耳衍射公式0020200,0,)()(2exp)()exp(1)(dydxyyxxzkjyxUjkzzjyxU l在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 llllcoscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzAxyz平面的光场分布的角谱与平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱