结构力学静定梁的内力计算学习教案

1、会计学1结构力学静定结构力学静定(jn dn)梁的内力计算梁的内力计算第一页，共125页。 静定梁的内力(nil)分析第三章第1页/共125页第二页，共125页。 静定(jn dn)梁有单跨静定(jn dn)梁和多跨静定(jn dn)梁两种形式。静定静定(jn dn)梁是基本的结构形式梁是基本的结构形式第2页/共125页第三页，共125页。v 通过学习多跨静定梁，了解静定结构几何组成对内力计算的影响，掌握静定结构内力分析(fnx)的基本途径和方法。 v 通过学习单跨静定梁，复习(fx)杆系结构内力概念及内力计算基本方法；第3页/共125页第四页，共125页。3.1 3.1 单跨静定单跨静定(j

2、n dn)(jn dn)梁梁 单跨静定单跨静定(jn dn)梁分为梁分为 v 悬臂梁v 伸臂梁v 简支梁第4页/共125页第五页，共125页。 (a) (b) (c) (d)第5页/共125页第六页，共125页。结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态（产生应变及相应的应力）。杆件结构的内力为杆件（垂直杆轴的）横截面上分布的应力，可以用一个合力(hl)来表示。在杆系结构的内力分析中，将这个合力(hl)分解成作用在横截面中性轴处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。1. 1.结构的内力结构的内力(nil)(nil)概念概念第6页/共125页第七页，共125页。v 轴力（FN） v 弯矩（M） v 剪力（

3、FQ） 典型杆件截面典型杆件截面(jimin)上的内力上的内力第7页/共125页第八页，共125页。横截面上应力(yngl)在截面法线（杆轴）方向上的投影（或横截面上正应力(yngl)）的代数和称为轴力。轴力使隔离体受拉为正（与截面法线方向相同）。轴力(FN)第8页/共125页第九页，共125页。横截面上应力在截面切线（垂直于杆轴）方向上的投影（或横截面上切应力）的代数和称为剪力。剪力使隔离(gl)体顺时针转动为正（左上、右下）。剪力（FQ）第9页/共125页第十页，共125页。横截面上应力（或横截面上正应力）对截面中性轴的力矩(l j)代数和称为弯矩。规定弯矩的竖标画在受拉侧。 弯矩（M）第

4、10页/共125页第十一页，共125页。MA杆件截面杆件截面(jimin)上的内力定义图上的内力定义图MB第11页/共125页第十二页，共125页。MAMB第12页/共125页第十三页，共125页。基本方法：内力计算基本方法：内力计算(j sun)(j sun)基本方法为截面法。静定结构的内力计算基本方法为截面法。静定结构的内力计算(j sun)(j sun)可归纳为：选隔离体、建立隔离体的静力平衡方程，和求解方程三部分主要工作。可归纳为：选隔离体、建立隔离体的静力平衡方程，和求解方程三部分主要工作。静定静定(jn dn)结构内力结构内力计算基本方法和步骤：计算基本方法和步骤：第13页/共12

5、5页第十四页，共125页。1. 1. 计算结构的支座计算结构的支座(zh zu)(zh zu)反反力和约束力和约束 取结构整体（切断结构与大地的约束）、或取结构的一部分（切开结构的某些约束）为隔离体，建立(jinl)平衡方程。截面法的一般截面法的一般(ybn)步骤：步骤：第14页/共125页第十五页，共125页。用假想的平面垂直于杆轴切开指定截面，取截面的任意一侧为隔离体并在其暴露的横截面上代以相应(xingyng)的内力（按正方向标出），建立平衡方程并求解。 2. 2. 计算控制截面计算控制截面(jimin)(jimin)的的内力内力( (指定截面指定截面(jimin)(jimin)的内的内

6、力力) )第15页/共125页第十六页，共125页。v 弯矩图 v 剪力图剪力图(lt) v 轴力图(lt) 3. 3. 绘制结构绘制结构(jigu)(jigu)的内力图的内力图第16页/共125页第十七页，共125页。 在静定结构(jigu)的受力分析中，正确有序地选取隔离体是解题的关键。 取隔离体的要点是，要保证隔离体的完全隔离，即隔离体与结构其他部分(b fen)的所有联系都要切断。 几点注意几点注意(zh y)(zh y)：第17页/共125页第十八页，共125页。 隔离体上原有的已知力（荷载和已求出未知力）要保留(boli)，不能有遗漏。 隔离体上与其他(qt)部分联系的截断处，只标

7、舍去的其他(qt)部分对隔离体的作用力。 第18页/共125页第十九页，共125页。用截面用截面(jimin)法，求图法，求图(a)所示伸臂梁截面所示伸臂梁截面(jimin)1上的内力。上的内力。 M(a) MFAxFAyFBy(b) 例3-1-1第19页/共125页第二十页，共125页。1)求支座(zh zu)反力 去掉支座约束，取整体(zhngt)为隔离体，见图(b)。建立隔离体的平衡方程并解之： 求解求解(qi ji)：第20页/共125页第二十一页，共125页。0542333aFaaqMaFPAyaFaaqMaFPAy54233310BM第21页/共125页第二十二页，共125页。0A

8、MaFaaqMaFPBy4542333104542333aFaaqMaFPBy第22页/共125页第二十三页，共125页。 0XF053PAxFFPAxFF53 0YF由 可校核所得支座反力。 第23页/共125页第二十四页，共125页。 截开截面1，取左侧为隔离体，见图（c），建立平衡(pnghng)方程并解之： 2)求截面(jimin)1处的内力第24页/共125页第二十五页，共125页。FAxMFAyM1FQ1FByFQ1M1(d)(c)第25页/共125页第二十六页，共125页。 0XF01AxNFFAxNFF1 0YF01aqFFAyQqaFFAyQ1第26页/共125页第二十七页，

9、共125页。 01M021MaFaaqMAyMaFqaMAy2121取截面1右侧为隔离体计算(j sun)可得同样结果用文字(wnz)写明受拉侧第27页/共125页第二十八页，共125页。由例3-1-1内力计算结果分析(fnx)，指定截面的内力可用该截面一侧的外力直接表示，即： 直接法求指定截面直接法求指定截面(jimin)(jimin)的内力的内力第28页/共125页第二十九页，共125页。截面一侧所有外力在指定(zhdng)截面法线方向投影的代数和，以与截面外法线方向相反为正。即轴力按外力左左、右右为正。 轴力（FN）第29页/共125页第三十页，共125页。截面(jimin)一侧所有外力

10、在指定截面(jimin)切线方向投影的代数和，左上、右下为正。 剪力（FQ）第30页/共125页第三十一页，共125页。截面一侧所有外力对指定(zhdng)截面形心力矩的代数和。左顺、右逆为正。弯矩（M）第31页/共125页第三十二页，共125页。 用直接法，求例3-1-1图(a)所示伸臂梁截面(jimin)2上的内力。 M(a)例3-1-2第32页/共125页第三十三页，共125页。MFAxFAyFBy支座(zh zu)反力计算同例3-1-1。内力可由下图所示受力图直接计算： 求解求解(qi ji)：第33页/共125页第三十四页，共125页。AxNFF2aqFFAyQ22aaqMaFMAy

11、222取截面(jimin)2左侧：第34页/共125页第三十五页，共125页。532PNFFqaFFFByPQ54222542aaqaFaFMPBy取截面(jimin)2右侧：第35页/共125页第三十六页，共125页。4. 4. 荷载与内力的关系荷载与内力的关系(gun (gun x)(x)(未考虑沿杆件轴向的荷未考虑沿杆件轴向的荷载作用载作用) ) dx图3-1-3 对于(duy)直杆段上，见图3-1-3第36页/共125页第三十七页，共125页。在图3-1-3所示杆件的连续分布荷载(hzi)段截取微段dx，见图3-1-4(a),建立微段的平衡方程： 荷载与内力荷载与内力(nil)之间有下

12、列关系：之间有下列关系：(1)(1)微分微分(wi fn)(wi fn)关系关系第37页/共125页第三十八页，共125页。d x图3-1-4(a)第38页/共125页第三十九页，共125页。 0YF0qdxFdFFQQQqdxdFQ(a) 0M02)(2dxqdxFMdMMQQFdxdM(b) 第39页/共125页第四十页，共125页。qdxMd22(c) 以上三式，为荷载(hzi)与内力的微分关系。式(b)忽略了二阶微量。 由(a)、(b)两式得:第40页/共125页第四十一页，共125页。v 若直杆段上无荷载作用(zuyng)，则剪力图是与轴线平行的一条直线，弯矩图是一条斜直线；微分关系

13、微分关系(gun x)的几何意义：的几何意义：第41页/共125页第四十二页，共125页。v 若直杆段上作用均布荷载(hzi)，则剪力图为一条斜直线，弯矩图为抛物线；v 若直杆段上作用(zuyng)三角形分布荷载，则剪力图为抛物线，弯矩图为三次曲线； 以此类推以此类推(y c li tu)第42页/共125页第四十三页，共125页。v 荷载图、剪力图和弯矩图的特征(tzhng)依次为：零、平、斜；平、斜、二曲；斜、二曲、三曲；第43页/共125页第四十四页，共125页。(2)(2)荷载与内力的增量荷载与内力的增量(zn (zn lin)lin)关系关系 在图3-1-3所示杆件上，取含有集中(j

14、zhng)力和集中(jzhng)力偶在内的微段dx，见图 3-1-4(b)，建立微段平衡方程：第44页/共125页第四十五页，共125页。dx图3-1-4 (b)第45页/共125页第四十六页，共125页。 0YF0PQQQFFFFPQFF(d) 0M0mdxFMMMQmM 以上两式，为荷载与内力(nil)的增量关系。式(e)忽略了一阶微量。 (e) 第46页/共125页第四十七页，共125页。v 在集中力作用点（集中力垂直与杆轴或有垂直于杆轴的分量(fn ling)）两侧截面，剪力有突变，突变值即为该集中力或垂直于杆轴的分量(fn ling)；弯矩有转折点（即尖点），且尖点方向与集中荷载方向

15、一致。增量关系的几何增量关系的几何(j h)意义：意义：第47页/共125页第四十八页，共125页。v 在集中力偶作用截面两侧(lin c)，弯矩有突变，突变值即为该集中力偶；剪力相同。第48页/共125页第四十九页，共125页。(3)(3)荷载与内力荷载与内力(nil)(nil)的的积分关系积分关系取图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段（AB段），见图3-1-5，建立平衡(pnghng)方程并求解： 第49页/共125页第五十页，共125页。dx图3-1-5第50页/共125页第五十一页，共125页。 0YFBAQAQBqdxFF (f) 0MBAABABQAABdxxlqlFMM)(g)B

16、AQABdxFMM 即以下两式，为荷载与内力的积分(jfn)关系。 第51页/共125页第五十二页，共125页。式(g)原式等号右侧(yu c)的第二、三项可写成： BABAQABQAdxFdxqxqlF)(f)、(g)两式又可由前述微分(wi fn)关系得出注：注：第52页/共125页第五十三页，共125页。有连续分布(fnb)荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，B端的剪力等于A端的剪力减去该段分布(fnb)荷载图的面积。B端的弯矩等于A端的弯矩加上该段剪力图的面积。积分关系积分关系(gun x)的几何意义的几何意义 ：第53页/共125页第五十四页，共125页。5.5.区段区段(q dun

17、)(q dun)叠加叠加法作弯矩图法作弯矩图叠加法的基本含义是，若结构在线弹性(tnxng)阶段且为小变形时，若干荷载作用下结构的内力或位移，可由各荷载单独作用下的内力或位移叠加求得。自然弯矩图（剪力图、轴力图）也可按叠加法得到第54页/共125页第五十五页，共125页。根据叠加法的基本含义，下图(a)上所示简支梁在两端力偶和均布荷载(hzi)所用下，其总弯矩图（图(a)下）等于，两端力偶、均布荷载(hzi)分别单独作用下弯矩图（图(b)右、图(c)右）的叠加。(1)(1)简支梁的弯矩叠加法简支梁的弯矩叠加法第55页/共125页第五十六页，共125页。BAq图3-1-6(a)BA82qlC第5

18、6页/共125页第五十七页，共125页。BABAqBA82qlC图3-1-6(c)图3-1-6(b)CBA2ABMM第57页/共125页第五十八页，共125页。将先分别计算和绘制各荷载单独作用(zuyng)下的弯矩图后再叠加的过程在总弯矩图上一次完成，其步骤是: 第58页/共125页第五十九页，共125页。 上一步所作的直线为新的基线(jxin)，叠加梁中部荷载作用下的弯矩图 。 梁的轴线(zhu xin)为原始基线，将梁两端的弯矩竖标连以直线。 第59页/共125页第六十页，共125页。简支梁在两支座端有外力偶作用时，梁两端截面(jimin)有等于该端力偶的弯矩，无外力偶在端部作用时端部截面

19、(jimin)的弯矩为零。所以简支梁两端支座处的弯矩值竖标可直接绘出。第60页/共125页第六十一页，共125页。v 图的叠加是弯矩竖标的(bio de)叠加，而不是图形的简单叠加。 v 每叠加一个每叠加一个(y )弯矩图，都以紧前一次弯矩图外包线为新基线，并由此基线为所叠加的弯矩图的拉压分界线。见图弯矩图，都以紧前一次弯矩图外包线为新基线，并由此基线为所叠加的弯矩图的拉压分界线。见图3-1-6。注意注意(zh y)：第61页/共125页第六十二页，共125页。区段叠加法指结构的任意一区段叠加法指结构的任意一段直杆段的弯矩图叠加方法段直杆段的弯矩图叠加方法(fngf)。见下图。见下图3-1-7

20、图图(a)上所示一刚架结构，要绘制上所示一刚架结构，要绘制直杆直杆AB区段的弯矩图。区段的弯矩图。 （2 2）区段）区段(q dun)(q dun)叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图 第62页/共125页第六十三页，共125页。qABFQBABAqFQABFNABFNBA图3-1-7(a)将直杆段AB取出，见图(a)右，两端(lin dun)截开截面上的弯矩MAB、MBA已求出（其它杆端内力也可求出）。 第63页/共125页第六十四页，共125页。另做一与区段AB等长的简支梁，见图(b)左，其上作用有杆端力偶MA、MB和与刚架相同(xin tn)的均布荷载q。 ABqFAyFByABq图3-1-7(

21、b)第64页/共125页第六十五页，共125页。v 若简支梁的杆端外力偶分别(fnbi)等于区段AB两端的弯矩，MA=MAB,MB=MBA,容易看出，区段AB两端的剪力与简支梁的支座反力将相等，即，FQAB=FAy, FQBA=FBy 比较比较(bjio)(a)(bjio)(a)右、右、(b)(b)右两受力图右两受力图第65页/共125页第六十六页，共125页。v 又由于区段AB两端(lin dun)的轴力在弯曲小变形的假设下对弯矩不产生影响v 所以(suy)从弯矩图的角度说，(a)右、(b)右两受力图是相同的。第66页/共125页第六十七页，共125页。 求出直杆区段两端的弯矩值，在杆轴原始

22、基线相应(xingyng)位置上画出竖标，并将两端弯矩竖标连直线。区段AB的弯矩图可以(ky)利用与简支梁相同的叠加法制作。其步骤相类似：第67页/共125页第六十八页，共125页。 在新的基线上叠加相应简支梁与区段相同(xin tn)荷载的弯矩图。（相应简支梁，指与所考虑区段等长且其上荷载也相同(xin tn)的，相应于该区段的简支梁） 上述(shngsh)方法即为直杆区段弯矩图的叠加法。 第68页/共125页第六十九页，共125页。计算(j sun)图示简支梁，并作弯矩图和剪力图。 4mq=14kN/m1m1m1m例3-1-3第69页/共125页第七十页，共125页。去掉支座约束(yush

23、)，以整体为隔离体，由静力平衡条件得 0BM 0AM求解：求解：注：结构力学绘制内力注：结构力学绘制内力(nil)图，主要采取按控制点内力图，主要采取按控制点内力(nil)值值分段连线的方法。分段连线的方法。1)求支座(zh zu)反力第70页/共125页第七十一页，共125页。mkNFAy30) 673414(71mkNFBy33) 174414(71() () F =0AxF =30kNA yq=14kN/mF =33kNByF =33kNBy(a) 第71页/共125页第七十二页，共125页。mkNFFMPAyD531723012kNFFFPAyQD237302)计算(j sun)控制截

24、面弯矩值取D截面(jimin)以左（下侧受拉）第72页/共125页第七十三页，共125页。mkNFMByC331331kNFFByQC33取C截面(jimin)以右(下侧受拉)第73页/共125页第七十四页，共125页。弯矩图：见图(b)，以梁轴线为基线，画出控制截面弯矩竖标并连以直线(zhxin)；分段叠加各段相应简支梁的弯矩图，并计算各段中点的弯矩值。 3)3)作内力图作内力图(lt)(lt)第74页/共125页第七十五页，共125页。AD段中点(zhn din)： mkNME30427253DC段中点(zhn din)： mkNMDC718414233532130kN/m53kN/m71

25、kN/m33kN/m(b) M图 第75页/共125页第七十六页，共125页。30kN33kN/m(c) FQ图 剪力图(lt)：见图(c) ，按图(a)外力从梁的任意一端开始逐段绘制。注意剪力正负号的确定。第76页/共125页第七十七页，共125页。计算(j sun)图示伸臂梁，并作弯矩图和剪力图。 1mq=20kN/m2m1m1m例3-1-2第77页/共125页第七十八页，共125页。1)求支座(zh zu)反力（略） F=5kNAyF=75kNByq=20kN/m(a) 求解求解(qi ji)：第78页/共125页第七十九页，共125页。取截面(jimin)C以左（上侧受拉） mkNqF

26、MAyC301220251222)求控制(kngzh)截面弯矩值第79页/共125页第八十页，共125页。mkNMAC52308220213)作内力图(lt)各区段中点(zhn din)弯矩值：AC段中点(zhn din)第80页/共125页第八十一页，共125页。mkNMDl653024030D右： mkNMDr53024030CB段中点(zhn din)：D左： 第81页/共125页第八十二页，共125页。弯矩图：见图(b)，剪力图(lt)：见图(c)。 5kNm65kNm5kNm40kNm30kNm40kN35kN5kN(b) M图(c) FQ图 第82页/共125页第八十三页，共125

27、页。v 区段叠加法作弯矩图时，需要熟练计算简支梁的内力，并应熟记(sh j)简支梁在单一荷载形式下的弯矩图，如下图3-1-8所示。说明说明(shumng)：第83页/共125页第八十四页，共125页。Lbaqq2qL82qL2qLLbaPFLa bPFLaPFLb图3-1-8 (a) (b) 第84页/共125页第八十五页，共125页。LbaMLbMLaLMLM图3-1-8(c) 第85页/共125页第八十六页，共125页。v 集中力在跨中，简支梁跨中弯矩为 。 4LFPv 在均布荷载所用下，简支梁跨中弯矩为 。 82qL结论(jiln)：第86页/共125页第八十七页，共125页。v 集中力

28、偶作用点两侧截面的弯矩竖标异侧，绝对值之和等于该集中力偶（突变值）。注意到力偶作用点两侧的弯矩图斜直线相互平行，由此几何关系可确定两侧截面上的实际弯矩值。当集中力偶在跨中时(zhn sh)，梁中点两侧截面的弯矩值的绝对值相等，均为集中力偶的一半。第87页/共125页第八十八页，共125页。v 当内力(nil)图完成后，注意用荷载与内力(nil)的微分和增量关系定性检查。并熟练掌握用叠加法作直杆的弯矩图。第88页/共125页第八十九页，共125页。3.2 3.2 多跨静定多跨静定(jn dn)(jn dn)梁梁多跨静定梁可看作是由若干个单跨静定梁顺序首尾铰接(jioji)构成的静定结构。常见于桥

29、梁、屋面檩条等。它有两种基本的形式，即阶梯式和悬跨式。 第89页/共125页第九十页，共125页。q(a)阶梯式 图3-2-1q(b)悬跨式 第90页/共125页第九十一页，共125页。1. 多跨静定多跨静定(jn dn)梁的组成特征梁的组成特征 以阶梯式为例。见图3-2-1（a），这类形式的多跨静定梁的外在组成形式是，以一根与大地独立形成几何不变体的杆件开始，以后各杆件顺序首尾(shuwi)铰接，并每根杆有一根落地支座链杆，逐一按两个刚片的规第91页/共125页第九十二页，共125页。则（或依次(yc)加二元体的方式）组成。各单杆（单跨静定梁）之间有互为依赖关系，即，除与大地独立有三个支座链

30、杆连接的梁外，按加二元体的顺序，后续的每根梁都以前面已形成的刚片为第92页/共125页第九十三页，共125页。依托形成扩大的刚片。换句话说，若切断后续的杆件与紧前杆件的联系，或去掉前面任意一根(y n)梁或任意约束，则切断处剩下的部分便成为几何可变体系，见图3-2-2第93页/共125页第九十四页，共125页。FByFBxFByqFBx图3-2-2-(a) 第94页/共125页第九十五页，共125页。FCxqFCyFCyFCx图3-2-2-(b) 第95页/共125页第九十六页，共125页。从受力的角度看，其中(qzhng)AB可独立承受荷载，并可承受其他部分由铰B传来的力，而其他部分则不能。

31、 分析分析(fnx)上图：上图：第96页/共125页第九十七页，共125页。在多跨静定梁中，可独立承受荷载的部分，叫做基本部分；依赖于其他部分才能(cinng)承受荷载的部分，叫做附属部分。 由以上(yshng)可定义:第97页/共125页第九十八页，共125页。多跨静定梁的组成顺序是，先基本部分，后附属(fsh)部分。用分层图表示见下图3-2-3，并容易看出，多跨静定梁的传力顺序是组成顺序的反方向，即，由附属(fsh)部分传向基本部分。 第98页/共125页第九十九页，共125页。qFDyFCyFCxFByFCyFCxqFBxFAyFByFAxFBx(a) (b) 图3-2-3第99页/共1

32、25页第一百页，共125页。q图3-2-3 (c) 第100页/共125页第一百零一页，共125页。多跨静定梁的实用计算方法，是以各独立的杆件为隔离体，其计算顺序是：先附属(fsh)部分，后基本部分。2.2.多跨静定多跨静定(jn dn)(jn dn)梁的实用计算方法梁的实用计算方法第101页/共125页第一百零二页，共125页。基本部分(b fen)上的荷载对附属部分(b fen)不产生影响，而附属部分(b fen)上的荷载对其以下的基本和相对基本部分(b fen)均产生影响。 第102页/共125页第一百零三页，共125页。计算图(a)所示多跨静定(jn dn)梁，并作内力图。 2m1mq

33、=6kN/m2m1m1m1m3m(a) 例3-1-2第103页/共125页第一百零四页，共125页。该多跨静定(jn dn)梁为阶梯式，分层图如图(b) (b) 求解(qi ji)：第104页/共125页第一百零五页，共125页。从最高层附属部分依次取单根杆件计算(j sun)，见图(e)以从右向左的顺序计算(j sun)。据此作内力图见图(c)、(d)。 第105页/共125页第一百零六页，共125页。F =2kNAyFByqF =6kNCyF =1kN2FByF =11kNByF=6kNDyF=6kNCy第106页/共125页第一百零七页，共125页。(c)M图第107页/共125页第一百

34、零八页，共125页。2kN(d)FQ图 第108页/共125页第一百零九页，共125页。计算(j sun)图示多跨静定梁，并作内力图。 q =32kN/m13m1m1m3m1m4m1m1m2mq =12kN/m2(a)例3-1-2第109页/共125页第一百一十页，共125页。计算(j sun)见下图(b)(c)(d)(e)示 ：(b)第110页/共125页第一百一十一页，共125页。F =10kNAyF =20kNByq =12kN/m2F=18kNCyF=18kNDyq =32kN/m1F =77.5kN2F =120.5kN120kN18kNF =10kN3F =8kNEy18kN(c)第111页/共125页第一百一十二页，共125页。q =32kN/m1(d)M图 第112页/共125页第一百一十三页，共125页。20kN68.5kN52kN59.5kN18kN18kN8kN10kN(e)FQ图 第113页/共125页第一百一十四页，共125页。本例