哈工大理论力学期末复习题(第七版)

1、理论力学复习纲要理论力学复习纲要静力学静力学运动学运动学动力学动力学静力学纲要静力学纲要 静力学基本公理静力学基本公理 平面力系平面力系 平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 平面任意力系平面任意力系* 空间力学空间力学 摩擦摩擦运动学纲要运动学纲要 点的运动学点的运动学 刚体基本运动刚体基本运动 点的合成运动点的合成运动 刚体平面运动刚体平面运动运动学纲要运动学纲要 质点运动微分方程质点运动微分方程 动量定理动量定理 动量矩定理动量矩定理11.2节节 动能定理动能定理00OLR一、平衡条件：一、平衡条件：二、平衡方程：二、平衡方程：力系中各力在两个任选的坐标轴中每一轴上的投影的代数

2、和分 别等于0，以及各力对于平面内任意一点之矩的代数和也等于0；0)(00FmFFOyx)0(00)(0)(yxBAFFFmFm或0)(0)(0)(FmFmFmCBA条件：条件：A.B.C三点不共线；三、基本方程的形式：三、基本方程的形式：三种三种平面一般力系平面一般力系条件：条件：A.B两点连线不能垂直于x轴（y 轴）；四、平面一般力系的平衡问题求解四、平面一般力系的平衡问题求解a) 选取研究对象；选取研究对象；b) 受力分析：画受力图；受力分析：画受力图；c) 列平衡方程求解列平衡方程求解a) 矩心应选取有较多的未知量的交点处；矩心应选取有较多的未知量的交点处；b) 使坐标轴选取沿较多的未

3、知量平行或垂直的方向；使坐标轴选取沿较多的未知量平行或垂直的方向；c) 不用的方程可以不列出，一个研究对象独立的平衡方不用的方程可以不列出，一个研究对象独立的平衡方程的个数只有三个。程的个数只有三个。五、平面平行力系：五、平面平行力系：各力的作用线位于同一平面且相互平行的力系；此情况下，在三个方程中S SFx=0不用列，只有两个平衡方程注：注：解：先选解：先选BC杆，再选取整体求解杆，再选取整体求解1、研究研究BCBC杆，画受力图杆，画受力图FC60aCFBxFByFB2、研究整体，画受力图研究整体，画受力图先分析附属部分，再分析基本部分方便。先分析附属部分，再分析基本部分方便。 0BM02/

4、60sin0aFaFC02/360sin20ACMMFaF 0 xF 0AM 0yF060cos0 FFAx060sin0CAyFFFMFaMFFFFFFAAyAxC4343243四个方程四个未知数四个方程四个未知数060ABFMC例例1 已知已知 F，M ，AB = BC = a，F作用在作用在BC杆的中点，求杆的中点，求 A、C 的约束力的约束力AyFABFMC060aaCFAxFAM例例2 图示结构图示结构AB段受均布段受均布q的作用，在的作用，在CD杆上受集中力偶杆上受集中力偶 M=qa,杆尺寸杆尺寸a已知；求已知；求A和和D处的约束反力。处的约束反力。2aaa3qABCDMABMAF

5、AyFAxFB解：解：1）分析）分析BC：二力构件：二力构件2）分析）分析CD：力偶平衡：力偶平衡3）分析）分析AB：aMFFFFAxBAxx93030sin, 000230cos2,00aFaaqMMBAAaMFaFMMCC9320233,0aMqaFqaFFFAyBAyy320230cos, 00 FBFCBC30FCFDCDM30DCBFFF3222MqaMA 练练1下图梁受力和尺寸已知，分布载荷为下图梁受力和尺寸已知，分布载荷为q,集中力偶集中力偶M=qa，长度为长度为a。求：。求：A、B、C三处的反力。三处的反力。aaaaACDBMqMqFDyFDxFBFBFCFA解：解：1）分析）

6、分析BD，画受力图，列方程为，画受力图，列方程为022, 0aqaMaFMBD43qaFB2）再分析整体，画受力图，列方程为）再分析整体，画受力图，列方程为02, 0aqFFFFCBAy0224, 0aaqMaFaFMBCA43qaFAqaFC2练练2 图示多跨梁图示多跨梁ACB,已知梁的尺寸及已知梁的尺寸及求：求：A和和B处的反力。处的反力。2,200aqMaq和2aaCBAq0M解：解：1）分析）分析BC杆，画受力图杆，画受力图 列方程如下列方程如下0, 0aFMMBC20aqaMFBMFBFCyFCxFAyFAxFBMA2)再分析整体，画受力图，列方程再分析整体，画受力图，列方程0332

7、22, 0022, 00, 000aFMaaqMMaqFFFFFBAABAyyAxx32200aqMaqFAAy练练3图示结构在图示结构在D处受水平处受水平P力作用，求结构如图示平衡时，力作用，求结构如图示平衡时，作用于作用于E处的处的M=？并求并求A处的反力。处的反力。解：解：1）分析）分析BC可知其为二力构件可知其为二力构件 故故C和和B处的受力方向可定。处的受力方向可定。 作用线沿作用线沿BC的连线方向。的连线方向。 AB杆为力偶平衡杆为力偶平衡2）分析）分析CD杆，画受力图，可得杆，画受力图，可得0230cos, 00PFMCD3PFCCBAFFFm3m3m1m1m1m1PABCDME

8、PFDxFDyFC3）分析）分析AB知受力如图知受力如图02, 0AFMM3PFFFCBA得32PM m3m3m1m1m1m1PABCDMEFB2mm3m1ABMEFA13 一般是研究临界状态，这时可增加补充方程一般是研究临界状态，这时可增加补充方程，其它方法与平面任意力系相同。其它方法与平面任意力系相同。NFfFmax三类问题三类问题 1）临界平衡问题；）临界平衡问题； 2）平衡范围问题；）平衡范围问题； 3）检验物体是否平衡问题。）检验物体是否平衡问题。考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题几个新特点：几个新特点：2 严格区分物体处于临界、非临界状态严格区分物体处于临界、非临界状态；3 因因

9、 ，问题的解有时在一个范围内。，问题的解有时在一个范围内。maxFFs01 画受力图时，必须考虑摩擦力；画受力图时，必须考虑摩擦力；例例1 已知：已知： 物块重为物块重为G ，放在倾角为，放在倾角为 的斜面上，它与斜面的斜面上，它与斜面间的摩擦系数为间的摩擦系数为fs ，当物体平衡时，试求水平力当物体平衡时，试求水平力Q的大小。的大小。解：解：分析知分析知 Q太大，物块会上滑太大，物块会上滑 Q太小，物块会下滑。太小，物块会下滑。 Fy=0 FN - Gcos - Q sin = 0F f sF NFNFxy Fx =0 Q cos - G sin - F = 0 补充方程补充方程tantan

10、1tantanmm G)tan(m GQ :解得tan1tanssffG（1）有上滑趋势时）有上滑趋势时FNFxy（2）有下滑趋势时）有下滑趋势时 Fy=0 FN - G cos - Q sin = 0 Fx =0 Q cos - G sin + F = 0F f sF N 补充方程补充方程sincoscossinssffGQ)tan(mG例例2 梯子长梯子长AB=l，重为，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数，若梯子与墙和地面的静摩擦系数f S=0.5，求，求 多大时，梯子能处于平衡？多大时，梯子能处于平衡？解：解： FNAFNB分析梯子，画受力图分析梯子，画受力图 Fy =0FNB - F

11、A = 0 Fx =0FNA + FB -P = 0补充：补充：FA = fS FNAFB = fS FNB0sincoscos2, 0minminminlFlFlPMNBBA梯子平衡倾角梯子平衡倾角 应满足应满足009087360min8736 解得练练1 制动器构造及尺寸如图，已知制动块与轮表面的摩擦因数制动器构造及尺寸如图，已知制动块与轮表面的摩擦因数为为fS，求制动轮逆钟向转动时所需的力，求制动轮逆钟向转动时所需的力F1的最小值。的最小值。BWOAabcF1O1rRFO1xFO1yFNFmaxF1FmaxFNFOxFOy解：解：1）以轮为研究对象，受力如图）以轮为研究对象，受力如图0

12、0max1rWRFMORfrWfFFWRrFssNmaxmax ; 解得NsFfFmaxWO1F1FmaxFNFOxFOy2）再取制动杆为对象，受力如图）再取制动杆为对象，受力如图0 0min1maxaFbFcFMNO)(1maxmin1cFbFaFN代入上式且知RrWFRfrWFFsNNmax)(min1cfbaRWrFsPPACBPFBxFByFNCFmax练练2 结构如图，结构如图，AB=BC=l，重均为，重均为P，A，B处为铰链，处为铰链，C处靠在粗糙的铅垂面上。平衡时两杆与水平面的夹角均为处靠在粗糙的铅垂面上。平衡时两杆与水平面的夹角均为，求：求：C处的摩擦系数处的摩擦系数fS=?解

13、：解：1）分析整体）分析整体FmaxFNC FAyFAx0cos22sin2, 0LPLFMNCANCsFfFmax0cos2cossin, 0maxLPLFLFMNCB2）分析）分析BCsin2sf一、三种运动：一、三种运动：绝对运动：动点相对于静系的运动。 绝对速度用 ； 相对运动：动点相对于动系的运动。 相对速度用 ； 牵连运动：动系相对于静系的运动。 牵连速度用 ；avrvev二、牵连速度的概念：牵连点的速度；二、牵连速度的概念：牵连点的速度； 牵连点： 1、瞬时量； 2、在动系上； 3、与动点相重合的那一点；三、点的速度合成定理：三、点的速度合成定理：点的合成运动点的合成运动注意：注

14、意：在此矢量式中有四个已知因素（包括速度的大小和方向)时，问题才可求解。 A、选取动点和动系：注意动点必须与动系有相对运动， 动系上牵连点的速度易于分析；B、分析三种运动、三种速度；C、按速度合成定理作出速度矢图，并用三角关系式或矢量投影关系求解；点的合成运动点的合成运动四、用速度合成定理解题的步骤：四、用速度合成定理解题的步骤：点的合成运动总结点的合成运动总结一概念及公式一概念及公式 1. 一点、二系、三运动一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连 运动的合成 2. 速度合成定理速度合成定理 (牵连点牵连点) reavvvreaaaa 即：当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于

15、牵连加速即：当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。度与相对加速度的矢量和。naaa nrrneenaaaaaaaa一般式可写为：3 牵连运动为牵连运动为平动平动时点的加速度合成定理时点的加速度合成定理4 当牵连运动为转动时，加速度合成定理为当牵连运动为转动时，加速度合成定理为：Creaaaaa 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式Cnrrneenaaaaaaaaa 一般情况下一般情况下 科氏加速度科氏加速度

16、的计算可以用矢积表示的计算可以用矢积表示) (不垂直时与rvCarCva2解：解：(1) 动点：动点：A点点(OA杆杆)； (2) 动系：摆杆动系：摆杆O1B ； (3) 三种运动：绝对轨迹为圆周三种运动：绝对轨迹为圆周; 相对轨迹是直线相对轨迹是直线 ； 牵连运动为牵连运动为O1B的转动的转动; 例例1 曲柄摆杆机构；已知：OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1大小：大小：方向：方向：？22sinlrrsinaevv222lrr11AOve又AOve11222221lrrlr222lrr速度合成定理：速度合成定理：eravvv作出速度平行四边形作出速度平行

17、四边形 如图示。如图示。例例2 摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，沿OA 线牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，aavvaa,?,rravOODaOAODanee指向 ?;?,2OAODve?,sinsin,coscosvvvvvvaraehvhvODve2cos )cos/(cos/（）avh,:已知已知 求求: OA杆的 , 。根据速度合成定理速度合成定理做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示。reavvv解解：动点动点:销子销子D (BC上上); 动系动系: 固结于固结于OA； 静系静系: 固结于机架。固结于

18、机架。投至 轴：ceaaaacoscossincos2cos22ahvaaaace2222cos2sincoshahvODae（）根据牵连转动的加速度合成定理牵连转动的加速度合成定理crneeaaaaaasincos22,cos)cos(cos23222vhvvahvhvharcneac练练1 ：如图大环固定，半径如图大环固定，半径R，杆，杆AB由小环由小环M套在大环上套在大环上可绕可绕A以角速度以角速度和角加速度和角加速度转动，此瞬时转动，此瞬时=30；求：求：小环小环M 的速度和切向加速度。的速度和切向加速度。ABMR解解：1）动点）动点M环，动系环，动系AB且牵连转动且牵连转动动点绝对运

19、动为圆周；相对运动为动点绝对运动为圆周；相对运动为直线；牵连点轨迹为曲线；直线；牵连点轨迹为曲线；2）速度分析：）速度分析：reavvv？大小大小方向方向？cos2RRvvea2cosRRvvar212sinavevrvABMR大小：大小：方向：方向：？Crenenaaaaaaaarv2Rva22cos2Rcos2R？避开避开 ，向垂直于，向垂直于 的方向投影得的方向投影得raraRRRaatgaaaaaaeCnaaeCnaa334coscos1sincos22naaaaneaearaCa其中m/s 15. 03015. 0nOAvarad/s5515.0503.0 m/s 503.0sin1

20、1AOvvveae）(解：解：动点：轮动点：轮O上上A点点; 动系：动系：O1D , 静系：机架静系：机架根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形 。reavvvm/s 506. 0cos)55sin ,552(cosarvv练练2 刨床机构刨床机构已知已知: 主动轮O转速n=30 r/min,OA=150mm , 图示瞬时, OAOO1,求求: O1D 杆的 1、1根据根据crneeaaaaaa做出加速度矢量图做出加速度矢量图rcavaa12215. 0 投至方向投至方向：caecaaaacos222m/s 5518. 0506. 05255215. 0ea22211rad/s 256515

21、.015518.0/AOae）(ac一、平面运动定义：一、平面运动定义：刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变；二、平面运动的简化：二、平面运动的简化：平面图形S在其自身所在的平面内运动；三、平面运动分解为：三、平面运动分解为：平动和转动四、平面运动刚体上速度各法求解步骤：四、平面运动刚体上速度各法求解步骤：1、分析系统中各刚体运动形式；2、确定研究对象，分析各特殊点的速度，确定方法(基点法或瞬心法)；3、应用选定的速度合成方法求解：先画速度矢图，再列方程投影求解；MooMvvv1、合成法（基点法）：、合成法（基点法）：2、速度投影法：、速度投影法：任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在两

22、点连线上的 投影相等；MOMMoovv五、求解速度方法：五、求解速度方法：（三种）（三种）刚体的平面运动刚体的平面运动速度瞬心的确定方法速度瞬心的确定方法：A、已知某瞬时任两点的速度方向，则其瞬心在两速度方向垂线的交点上；B、当刚体上两点的速度方向平行与两点连线垂直，且已知两速度大小不等时， 速度瞬心在两速度矢端连线与两速度矢始端垂线的交点上；CABAvBvCABAvBvCABAvBvCABAvBvCABAvBvC、当刚体上两点的速度方向平行，且已知两速度大小相等时，速度瞬心在无 穷远处，称刚体此状态为瞬时平动；瞬时平动； ABAvBvABAvBvABAvBvABAvBvD、图形在一固定平面上

23、只滚不滑只滚不滑时，图形与该平面的接触点处即为瞬心。3、瞬心法：、瞬心法：MCvvMCM0以瞬心为基点的基点法，则平面图形上任一点M的速度大小为：例例1 曲柄滚轮机构 滚子半径R=15cm, n=60 rpm求：当 =60时 (OAAB),滚轮的，解解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：rad/s 32153 /30/1APvAAB（）cm/s 30215rad/s 230/6030/OAvnAP为其速度瞬心)(cm/s 3203215321ABBBPv分析分析: 要想求出滚轮的, 先要求出vB, aBP2P1vBP2为轮速度瞬心取A为基点，2222cm/s60)2(15OAaA指

24、向O点nBABAABaaaa),3320)32(153(222BAABaABnBA沿大小 ？ ？ 方向 作加速度矢量图，将上式向BA线上投影nBABaa0030cos)(cm/s5 .13134023/332030cos/222nBABaarad/s25. 715/320/2BPvBB22rad/s77. 815/5 .131/BPaBB）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心OAB练练1：已知：已知：OA=R，以，以 常数绕常数绕O转动，转动，AB=2R，轮半径为，轮半径为R，轮作纯滚动。求图示位置时轮和轮作纯滚动。求图示位置时轮和AB的角速度。的角速度。解：）分析解：）分析OARv）分析（瞬心在

25、）分析（瞬心在）AvBvABBCBvOABARCAv333OABBOOABRRvRR3OBRv轮对轮 练习练习1 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长长0.2m，连杆连杆AB长长1m，OA以匀角速度以匀角速度 =10rad/s 绕绕O轴转动。轴转动。求图示位置滑块求图示位置滑块B的加速度和的加速度和AB杆的角加速度。杆的角加速度。解：解：AB作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在 点，则点，则CCsmOAvA2sradACvAAB2转向如图。转向如图。AB AB作平面运动，以作平面运动，以A点为基点，则点为基点，则B点的加速度为点的加速度为nBABAABaaaaOAB4

26、545OAB4545AaAaBaBAanBAa其中其中2220smOAaanAAAvBv224smABaABnBA取如图的投影轴，由取如图的投影轴，由nBABAABaaaa将各矢量投影到投影轴上，得将各矢量投影到投影轴上，得BAABaaa45sin轴得沿nBABaa45cos轴得沿解之得解之得266. 5smaB216smaBA于是于是216sradABaBAAB方向如图所示方向如图所示。OAB4545AaAaBaBAanBAaABOAB练练2：已知：已知：OA=R，以，以=常数绕常数绕O转动，转动，AB=2R，轮半径轮半径=R，轮作纯滚动。求图示位置时轮和，轮作纯滚动。求图示位置时轮和AB的

27、角速度，的角速度，B点的加速度。点的加速度。解：）分析解：）分析OARv0Aa2OnARa）分析（瞬心在）分析（瞬心在）AvBvABBCBvOABARCAv333OABBOOABRRvRR3OBRv轮对轮?32?22OOBAnBAnABRRaaaaBanAanAanBAaBAa避开避开 向连线方向投影向连线方向投影BAanBAnABaaacoscos)9341 ()3232(222OOOBRRRa思考题思考题 曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平求该位置时的、 及ABBD Dv解：解：OA,BC作

28、定轴转动, AB,BD均作平面运动 根据题意： 研究AB, P为其速度瞬心rad/s103030030nm/s 5 . 11015. 0OAvA（ ）rad/s 16.7376.025.160sin5.11ABAPvAABm/s 72. 216. 75 . 076. 016. 760cos1ABBPvABB研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BDrad/s 13.553.073.22BPvBBD)(m/s 72.213.553.02BDDDPv（）此题用投影法做课后自己练习动能定理动能定理一、几种常见力的功一、几种常见力的功)(2)()(2)(222120220

29、1021crrrrcdrrrcWrr2、弹力功：、弹力功：MMdFMW21)()(123、作用在转动刚体上力的功：、作用在转动刚体上力的功：)(2121zzmgmgdzWzz1、重力功：、重力功：4、摩擦力功：、摩擦力功：W=Ff S)(12)( ; FFWTTWdT三、质点系的动能定理：三、质点系的动能定理：二、刚体的动能：二、刚体的动能：22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT1、平动刚体：、平动刚体：222221)(2121ziiiiIrmvmT2、定轴转动刚体：、定轴转动刚体：2221 21CCIvMT3、平面运动刚体：、平面运动刚体：例例1 图示系统中,均质圆盘A、B各

30、重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)解解：取系统为研究对象)/( )(RhQhmWF01T2222212121BCAOJvgQJT )78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162上式求导得：)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(8 例例2 半径为半径为R、重量为、重量为W1 的大圆轮，由绳索牵引，在重的大圆轮，由绳索牵引，在重量为量为W2 的重物的重物A 的作用下，在水平地面上作纯滚动，系的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。统中的小圆轮重量忽略不计。求：大圆轮与地面之间的滑动摩擦力求：大圆轮与地面之间的滑动摩擦力W1F 2 根据动能定理：根据动能定理：2122122221)(21(2121vgWRvRgWvgWTsW)gW23gW(212212vvtsdd0T1得到：得到：12223WWgWa对上式求导，注意到