随机变量的方差、协方差与相关系数4-2

1、退出退出退出退出一一四四三三退出退出 二二式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为 退出退出返回返回1. 方差、协方差与相关系数的定义方差、协方差与相关系数的定义() ,D X 随机变量随机变量X 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出对其均值的偏差以差的平方的形式所给出的波动，称为该随机变量的方差，记为的波动，称为该随机变量的方差，记为 亦即亦即 2() () .D XEXE X (,) ,Cov X Y 两随机变量两随机变量X 与与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形对各自均值的偏差以差之乘积的形亦即亦即 (,) ()( ) .Cov X YEXE XY

2、E Y 比值，称为二者的相关系数，记为比值，称为二者的相关系数，记为 , ,X Y 两随机变量两随机变量X 与与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的的协方差与该二变量标准差乘积的亦即亦即 (,) .()( )XYCov X YD XD Y 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为随机变量的标准差称为随机变量的标准差.()D X退出退出返回返回2. 方差与协方差的理论计算公式方差与协方差的理论计算公式2()()( )D XxE Xf x dx 2()()( , ).D XxE Xf x y dxdy 21()()iiiD XxE Xp 对离散型变量对离散型变量 对连续型变量对连续型变量211()()

3、 ;iijjiD XxE Xp或或或或11(,)()( )ijijijCov X YxE XyE Yp(,)()( ) ( , ).Cov X YxE XyE Yf x y dxdy (,)( ,) .Cov X YCov Y X 易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广Cov X XD XCov Y YD X(,)(); ( ,)() ;并且显然还有并且显然还有退出退出协方差（含相关系数）协方差（含相关系数）( 设设 C 是常数是常数 )方差方差2)( ) 0DC ()( ) 2CCD XD X当当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 恒有恒有

4、Cov X Y2(,) ( )XXCDD1)3)( )(D X D X Y D Y )( )(D X D X Y D Y ( )() ( ) 22D XE XE X4)(,)20CCov X(,)( , )1212CovXYCCC ovCXCY Cov XX YCov X YCov X Y1212(,)(, )(, ) ()0 ,Cov X,Y 当当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 恒有恒有3)1)2)4)(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y (, ),10CovYC(,)(, )2CovXYCoCvCXCY(,)120C CCov0XY XYCovX YD X D

5、 Y2(5) (,)() ( ) , | 1 . 退出退出方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一返回返回Cov X,Y()0 又又 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 总有总有XYCov X YD XD Y(, )0 .()( ) Cov X Y(,)E XYXE YYE XE X E Y ( )()() ( ) E XYE Y E XE X E YE X E Y()( ) ()() ( )() ( ) E XYE X E Y()() ( ) E XYE X E Y()() ( ) , 当当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 恒有恒有Cov X YE

6、XE XYE Y (,) ()( ) 以及以及从而从而, 作为协方差的特例，方差也应有作为协方差的特例，方差也应有D XCov X XE XXE X E XE XE X 22()(,)()() ()() () . 证证退出退出方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二返回返回惟当惟当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, D XYD XD Y ()()( ) . D XYE XYE XY22 ()() () E XXYYE XE Y2222 ()( ) E XE XYE YE XE X E YE Y2222()2 ()() ()2 () ( ) ( ) E

7、XE XE YE YE XYE X E Y2222() ()() ( )2 ()() ( ) Cov X,Y ()0 , 故此时必恒有故此时必恒有D XD YE XYE X E Y()( )2 ()() ( ) D XD YCov X Y()( )2(, ) D XYD XD YCov X Y()()( )2(, ) 一般而论一般而论, 总有总有由于由于证证CovX YD X D Y2(,)() ( ) , XYCov X YD XD Y|(, )|1 .()( ) 退出退出方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三返回返回Cov X YD XD YCov

8、 XYD XD Y*|(,)| ()( ) |(,)| ()( ) , Cov X YCov XE X YE Y (,)(),( ) * Cov X ,Y 1()0, 以及以及D XD Y Cov X Y*()( )(,) D XD Y Cov X YCov X Y *()()2(,)22(,)0 , 其中其中 X* 与与 Y * 是标准随机变量是标准随机变量, 并且显然满足并且显然满足D XD Y*()()1 证证XE XYE YD XD Y CovD XD Y()( )()( ),()( ) D XY *()0 , 即满足即满足* |Cov X ,Y ()|1 . 可见可见【说明】本例只能

9、求前者的方差【说明】本例只能求前者的方差 退出退出方差方差数学期望数学期望()()( )231E UE XE Y返回返回D( X ) = 4, D( Y ) = 1, D( Z ) = 3. 试求随机变量试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 解解( )() ;2 53 11144( )()()4E VE YZE X( )( )( )4E Y E ZE Z()( )( ) .11 84 568()()( )22230D UD XD Y( )( ) ;4 49 125例例2-1 设设 X, Y , Z 相互独立相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) =

10、8. ()(4D YZDXD V()()()244EXYZEX E YZ()( )?16 40D YZ与随机变量与随机变量V =YZ4X 的数学期望和前者的方差的数学期望和前者的方差. 难以准确地求出后者的方差难以准确地求出后者的方差. 事实事实 上，后者的方差只能求出一部分上，后者的方差只能求出一部分 退出退出返回返回1. 方差的具体计算公式与实际计算步骤方差的具体计算公式与实际计算步骤 对离散型变量对离散型变量D XE XE X22()()() .iiiiiijiijiE Xx px px p1111() () , 或或iiiiiijiijiE Xx px px p22221111() ,

11、() 或或 对连续型变量对连续型变量XE Xxf x dxxfx dxxf x y dxdy()( ) ( )( , ) ,() 或或XE Xx f x dxx fx dxx f x y dxdy2222()( ) ( )( , ) () , 或或D XE XE X22()()() .退出退出返回返回2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤协方差的具体计算公式与实际计算步骤 对离散型变量对离散型变量Cov X YE XYE X E Y(,)()() ( ) .iijiiijiE Xx px p111() ,() 或或jijjjijjE Yy py p111( ) ,() 或或 对连续型变量对连

12、续型变量XE Xxf x y dxdyxfx dx()( , ) ( ) (,) 或或YE Yyf x y dxdyyfy dy( )( , ) ( ) (,) 或或Cov X YE XYE X E Y(,)()() ( ) .ijijijE XYx y p11() , E XYxyf x y dxdy()( , ) , 是是 X 与与Y 的协方差的协方差.*3. 方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称 k 阶原点矩阶原点矩退出退出返回返回(), 1,2,kE Xk 【注【注】就是就是 X 的数学期望的数学期望. X 的一阶原点矩的一阶原点矩()E X

13、是是 X 平方的数学期望平方的数学期望. X 的二阶原点矩的二阶原点矩2()E X X 的二阶中心矩的二阶中心矩2 () EXE X 是是 X 的方差的方差. k + l 阶混合中心矩阶混合中心矩 klEXE XYE Yk l () ( ) , ,1,2, k + l 阶混合原点矩阶混合原点矩 klEX Yk l (), ,1,2, k 阶中心矩阶中心矩 () , 1,2,kEXE Xk X 的二阶混合原点矩的二阶混合原点矩是是 X 与与Y 乘积的数学期望乘积的数学期望.E XY() X 的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩EXE X YE Y()( )退出退出返回返回3. 方差与协方差的实际计

14、算公式与计算步骤方差与协方差的实际计算公式与计算步骤E Xxf x dx()( ) XE Xxf x y dxdyxfx dx()( , ) ( ) , 或或 对连续型变量对连续型变量或或E XYxyf x y dxdy()( , ) ; Cov X YE XYE X E Y(,)()() ( ) .易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广Cov X XD XCov Y YD X(,)(); ( ,)() ;D XE XE X22()()() .2()()( )D XxE Xf x dx 2()()( , ).D XxE Xf x y dxdy

15、或或(,)()( ) ( , ).Cov X YxE XyE Yf x y dxdy YE Yyf x y dxdyyfy dy( )( , )( ) , 退出退出返回返回【注【注2】 显然，对连续随机变量而言显然，对连续随机变量而言()( )E Xxf x dx 22()( )E Xx f x dx 22 () ()( )EXE XxE Xf x dx 2. 常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称 k 阶原点矩阶原点矩 k 阶中心矩阶中心矩 (), 1,2,kE Xk () , 1,2,kEXE Xk X 的一阶原点矩的一阶原点矩 X 的二阶原点矩的

16、二阶原点矩 X 的二阶中心矩的二阶中心矩 例例4 -1 已知已知 X 的分布律如下表所示，试求的分布律如下表所示，试求 E ( X )， E ( X 2 ) 和和 E ( 2X3X 2 ).X2349Pi1/85/81/81/841()iiiE Xx p ( )( )( )( )151123498888 ,308 4221()iiiE Xx p ( )( )( )( )15114916818888 ,1468 EXX2(23) E XE X22 ()3 () .3788 解解退出退出返回返回2.1()iiiE Xx p 0(0.2)1(0.8) . 0 82.1( )jjjE Yy p ( .

17、 )( . )0 0 91 0 1. 0 1 E XY()E XE Y()( ) .0 80 10 9解解 例例4-2 已知已知 (X ,Y )的联合分布的联合分布律如右表所示律如右表所示. 求求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和和 E ( XY ) . X Y01P. j00.10.10.80.80.90.910.10.10 00.10.1P i .0.20.20.80.8 X Y0100.10.10.80.810.10.10 0E XY() 2211ijijijx yp (0 0)(0.1)(0 1)(0.1)(1 0)(0.8)(1 1)(0) 0 E XY()

18、2211()ijijijxyp (00)(0.1)(0 1)(0.1)(1 0)(0.8)(1 1)(0) . 09 注意注意: :E XY() ()( )E XE Y 但一般讲但一般讲, ,()() ( ) !E XYE X E Y 退出退出返回返回例例4-3 随机变量随机变量X 的概率密度的概率密度Y = 2X 和和 Y = e -2X 的数学期望的数学期望。试求试求0,( )00,xxef xx 解解EXxf x dx(2)2( ) xxedx02 2 XxE eef x dx22()( ) xedx30 13 退出退出返回返回2 xxe 20 xe xe 02xxedx 0(22)|x

19、xe (22)xxeC 例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .试求试求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = x( )( , )E Yyf x y dxdy 201(12)y xyydxdy 130012xdxy dy 1403x dx 35 解解x = 1()( , )E Xxf x y dxdy 201(12)y xxydxdy 120012xxdxy dy 1404x dx 45退出退出返回返回(1)例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度

20、E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .试求试求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = xE XYxyf x y dxdy()( , ) y xxyydxdy201(12) xxdxy dy130012 x dx1503 12 解解x = 12222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 22201()(12)y xxyydxdy 12240012()xdxx yydy551012()35xxdx 1615 退出退出返回返回(2)例例4-5 X 和和Y 相互独立相互独立, 二者的概率密度二者的概率密度则则

21、 E (XY ) ( ).2 , 01( )0 , Yyyfy 其其它它38 , 2( ) ,0 , Xxfxx 其其它它C. 8 / 3 D. 7 / 3CE Xdxx228()4 , E Yy dy1202( )23 EXYEXE Y8 3 A. 4 / 3 B. 5 / 3退出退出返回返回退出退出 例例4-64-6 天若无雨天若无雨, , 水果商每天可赚水果商每天可赚100100元元; ; 天若有雨天若有雨, , 水果水果商每天损失商每天损失1010元元. . 一年一年365365天天, , 贩卖水果地的下雨日约贩卖水果地的下雨日约130130日日. 问水果商在该地卖水果问水果商在该地卖

22、水果, 每天可期望赚多少钱每天可期望赚多少钱 ?返回返回21 ()iiiE Xx p 2351303651001()()0365 235/365,p 水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为解解130/365q 从而水果商每天所赚钱数从而水果商每天所赚钱数 X 的分布律为的分布律为60.82 即水果商每天可期望赚即水果商每天可期望赚 60.82 元元 .XiP Xx 100 10130/365235/365寿命不到一年的概率显然为寿命不到一年的概率显然为 例例4-7 设备的寿命设备的寿命XE( ). 该设备售出一台盈利该设备售出一台盈利100元元 , 因

23、年因年内损坏而调换则亏损内损坏而调换则亏损200元元. 求出售一台设备的盈利数学期望求出售一台设备的盈利数学期望. 因此，一台设备出售的盈利值因此，一台设备出售的盈利值Y 有分布律有分布律从而寿命超过一年的概率即从而寿命超过一年的概率即111144400011( )()1.4xxP Xf x dxedxee 11441111(1)P XP Xee .退出退出返回返回解解 可见可见YiP Yy 200 10014e 141e 21( )iiiE Yy p)ee 14200003e 第第 i 站有人下车记为站有人下车记为Yi = 1，第，第 i 站无人下车记为站无人下车记

24、为Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 则专线车停车的次数则专线车停车的次数 * *例例4-84-8 载有载有2020名旅客的专线车名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车。在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等，且是否下车个站下车的可能性相等，且是否下车相互独立，那么若以相互独立，那么若以 X 记专线车停车的次数，则记专线车停车的次数，则 E（X）= = ？.+ 202099100 ()11() 8.7841010 因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/101/10

25、，不下车的概率为，不下车的概率为9/109/10，从而，从而，从而就有，从而就有iiXY101 iP Y 2090(),10iP Y20911() ,10iiE XE Y .101()() iiiE XE Y =E Y101()()10 () 退出退出返回返回解解 .2 122任一弹着点与目标间的距离显然为任一弹着点与目标间的距离显然为 *例例4-9 用用( X , Y )记炮击的弹着点坐标记炮击的弹着点坐标. 设坐标设坐标XN( 0,2), 坐坐标标Y N( 0,2) , 且二者相互独立且二者相互独立. 试求弹着点与目标试求弹着点与目标 ( 0, 0 ) 间间的平均距离的平均距离. X 与与

26、Y 相互独立，且相互独立，且XN( 0,2), YN( 0,2), 可见可见, ,弹弹ZXY22. xyXYf x yfx fye222()221( , )( )( )2 xyE Zxy edxdy222()22221()2 E ZEXYxy f x y dxdy .2222()()( , ) ed d222220012 退出退出返回返回解解着点与目标间的平均距离应为着点与目标间的平均距离应为 从而从而ed222201 d e2220() ed2220 韩旭里等编韩旭里等编概率论与数理统计概率论与数理统计教材教材第四章第四章 习题四习题四 P112P117 批改题批改题 P112: 1. (

27、求离散变量的数学期望求离散变量的数学期望 ) P113: 5. 11.( 求连续变量的数学期望与方差求连续变量的数学期望与方差 ) 7. ( 利用算子演算性质计算数学期望与方差利用算子演算性质计算数学期望与方差) 8. 9. （利用独立性简化数学期望的求算（利用独立性简化数学期望的求算 ） 10. ( 求连续变量的数学期望求连续变量的数学期望 ) 12. ( 对实际问题求数学期望与方差对实际问题求数学期望与方差 )退出退出返回返回退出退出返回返回P112P113参考答案参考答案5. 122232017()( )(2) ,6E Xx f x dxx dxxx dx 221()()() .6D XE XEX 12201()( )(2)1 ,E Xxf x dxx dxxx dx1. 2222211115()( 1) ( )(0) ( )(1) ( )(2) ( ) ,82844E X (23)2()34 .EXE X 11111()( 1)( )(0)( )(1)( )(2)( ) ,82842E X 退出退出返回返回P112P113参考答案参考答案8. 11300001,0122 .4xxy xxydxdyxdxydyx dx 2 .k ()( , )E XYxyf x y dxdy 7. 2222(32 )3()2( )