第5章-误差理论

1、491492什么是误差误差（Error)（真误差）： 观测值L与真值X的差值。 = L X真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。一、 测量误差产生的原因494495496 钢尺尺长误差 Dk 钢尺检定,尺长 钢尺温度误差 Dt 钢尺检定,温度 水准仪视准轴误差 i 中间法水准,前后视等距 经纬仪视准轴误差 C 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。 偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，

2、在实践中发现具有统计学规律。 偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响。497（四）误差处理原则498系统误差系统误差 找出发生规律，用观测方法和 加改正值等方法抵消。iilX 499l1, l2, ln1,2,n4910 4911误差区间 d 负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.03

3、6130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810505177049535810004912d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f0nlimnlimnn21n491322221)(efnnnnlimlim2nnnnn2222212limlim式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”, 方差为偶然误差(真差)平方的理论平均值：4914nmn2n2221按观测值的改正值计算中误差4915m1= 2.7m2= 3.6=xy= f()()f()fm1m1m2m21

4、2m1m2+-22 1149164917二、相对中误差demdfpm22221)()(将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的概率：4918%7 .999973. 0)m3(%4 .959545. 0)m2(%3 .686826. 0)m(PPPd21)km(222 memp4919一、 算术平均值nllllnlniixnn211x算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：证明算术平均值是最或然值nn2211lXlXlX4920Xlim0limnlnnnnlXn根据偶然误差特性：Xnlx将上列等式相加，并除以n,得到

5、：二、 观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值) v :4921n)1(ilxvii0lxnvvimin)(2lxvvnlxlx, 0)(上列各式相加：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。0)(2lxxdxvvd5-4 观测值的精度评定49221112nvvnvmniinmxiiiilxvlX,两式取总和1nvvn1nvvm4923nllx01nvvm4924 次序观测值l(m)l(cm)改正值v(cm)vv (cm2)1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017 (m)观测值中误差:=3.

6、0 (cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 nllx01nvvm一、 已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差：4925iilX nmilxivnlolx1nvvm真误差5-5 误差传播定律4926n21dddD.),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121 cosSD4927 aabbababP = b-+-+ababaPdbbPdaaPdPba

7、aPddbdbaabP4928)1(,bPiniabiai nabnannbabbaaPP2b22, 0limnbannannbbaaPPb22222222222,baPbaPmambmmambm49292222222121nnZmxfmxfmxfm ),(21nxxxfZ ixf4930iikxZnnxkxkxkZ 2211按照误差传布定律，得到线性函数的中误差：2222222121nnZmkmkmkm x22222212111nxmnmnmnm 4931)1(nnvvnmmxnkxZ xkmzm4932m1 .0)mm2 .0(500m35.67mm7 .134500DmDm1 . 0m3

8、5.67D4933yxzyxz222yxzmmm大气仪器读数瞄准对中方向22222大气仪器读数瞄准对中方向mmmmmm第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作 为自变量。如果观测值之间是相关的，则得到 的结果将是不严格的。4934),(21nxxxfZ 2222222121nnZmxfmxfmxfm 5-6 误差传布定律的应用493522220NnfCNSffSnnSnfCSddd4d0493622222204fmSnmSmnfCmfnS22)(bSamS4

9、9375 . 8262 mm0 .1225 . 82 mm712212 mm多边形水平角观测角度闭合差的规定多边形内角(水平角)之和在理论上应为(n-2)180,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：4938180)2(180)2(21 nnfnnmmn2m允f06381232 m4939mm4 . 12 mmhmm22hhmm4940)()()(2211nnbababah nmnmmhh2dLn2LmLdmdLmmh0dmm 0，Lmmh04941Lmmoh水准测量等级 一等一等 二等二等 三等三等 四等四等mo1 mm2 mm6 mm10 mmmm225mm10hm4942sin,c

10、osDyDxcossinsincosdDdyddDdxdDD4943222222222222)(sin)cos()(sin)(cos)sin()(cos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx222222utDyxABmmmDmmmM 49442iimCP ioiioiPmmmmP1,224945n,nm()(测回）测回nnPm又例如水准测量以一公里的高程测量中误差mo作为单位权中误差，则L(km)高差测量中误差及其权为：LLmmPLmmookmLokmL1,22)()(4946212211ppLpppLpLpLpxnnnPLPLxo4947nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPm 222210PPPPPPmmnx,PPPmmxox494822ioimmP 2222222112,nnooomPmmPmmPm 取以上各式总和，并处以n，得到:nPmmn