动能定理0511

1、附录二附录二第三节第三节 动能定理动能定理功是代数量功是代数量一、一、 功与功率功与功率（1）常力在直线运动中的功）常力在直线运动中的功单位单位 J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm 1、功的概念、功的概念即即（2）元功）元功力力 在在 路程上的路程上的功功为为记记则则（3）变力在曲线运动中的功）变力在曲线运动中的功（1）重力的功）重力的功质点系质点系由由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。得得2、几种常见力的功、几种常见力的功（2）弹性力的功）弹性力的功弹簧刚度系数弹簧刚度系数k(N/m)弹性力弹性力弹性力的弹性力的功功为为因因式中式中得得即即

2、弹性力的弹性力的功功也与也与路径路径无无关关（3） 定轴转动刚体上的功定轴转动刚体上的功则则若若 常量常量由由得得从角从角 转动到角转动到角 过程中力过程中力 的功的功为为作用在作用在 点的力点的力 的元功为的元功为力系全部力的元功之和为力系全部力的元功之和为（4）平面运动刚体上力系的功）平面运动刚体上力系的功其中其中其中其中: 为力系主失，为力系主失， 为力系对质心的主矩。为力系对质心的主矩。 当质心由当质心由 ，转角由，转角由 时，力系的功为时，力系的功为 即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得受各力作功

3、的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。的力和力偶作功之和。说明：说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；、对任何运动的刚体，上述结论都适用； 2、C点不是质心，而是刚体上任意一点时，点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立；上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。含不作功的力。 3、 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率由由 ，得，得(1)功率：单位时间力所作的功称功率功率：单位时间力所作的功称功率即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 单位单位W（瓦

4、特），（瓦特），1W=1J/S作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为(2)功率方程功率方程称功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等称功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。于作用于质点系的所有力的功率的代数和。或或(3)机械效率机械效率机械效率机械效率有效功率有效功率多级转动系统多级转动系统解解:当当时时例例1 已知：已知：求：切削力求：切削力F的最大值的最大值若若 ，求，求F的最大值。的最大值。二、二、 动能定理动能定理（2）质点系的动能）质点系的动能（1）质点的动能）质点的动能 单位：单位：J（焦耳）（焦耳）1、动能平移刚体的动

5、能平移刚体的动能定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 即即 即即 （3）几种常见运动刚体的动能）几种常见运动刚体的动能即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。与绕质心转动的动能之和。得得速度瞬心为速度瞬心为P平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动。上面结论也适用于刚体的任意运动。将将 两端点乘两端点乘 ，由于由于2、 动能定理动能定理（1）质点的动能定理）质点的动能定理因此因此得得 上式称为质点动能定理的微分形式，即质点上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。动能的

6、增量等于作用在质点上力的元功。 称质点动能定理的积分形式：在质点运动的某称质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。作的功。积分之，有积分之，有（2）质点系的动能定理）质点系的动能定理 称质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增称质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。 由由求和求和得得 称质点系动能定理的积分形式：质点系在某一称质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作段运动过程

7、中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。积分之，有积分之，有理想约束理想约束 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零。类等约束的约束力作功等于零。称约束力作功等于零的约束为理想约束。称约束力作功等于零的约束为理想约束。 对理想约束，在动能定理中只计入主动力的对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。功即可。内力作功之和不一定等于零。内力作功之和不一定等于零。 例例1 已知：已知：m, h, k, 其它质量不计。其它质量不计。求：求：解：解：max2(

8、11)2(11) , stststmgkhkmghmgk 例例 2 已知：轮已知：轮O的的R1、m1, 质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上; 均均质轮质轮C的的R2、m2纯滚动纯滚动, 初始静止初始静止 ;, M为常力偶。为常力偶。求：轮心求：轮心C走过路程走过路程S时的速度和加速度时的速度和加速度解：轮解：轮C与轮与轮O共同作为一个质点系共同作为一个质点系式式(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对t求导，得求导，得求：冲断试件需用的能量求：冲断试件需用的能量 例例 3 冲击试验机冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，杆重不计，在在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，

9、冲断试件后摆至得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为解：解：圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C, 解：解：均不作功。均不作功。P将式将式(a)两端对两端对t求导，并利用求导，并利用得得不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算： 2、亦可将力系向点、亦可将力系向点O简化，即简化，即注意：注意：1、摩擦力、摩擦力Fd 的功的功 S 是力在空间的位移，是力在空间的位移，不是不是 受力作用点的位移。受力作用点的位移。例例 5：均质杆：均质杆OB=AB=l, m在铅垂面内；在铅垂面内；M=常量，初始静止，不计摩擦。常量，初始静止，不计摩擦。解：解： 求：当求：当A运动

10、到运动到O点时，点时， 例：已知：重物例：已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s匀速匀速下降，钢索下降，钢索 k=3.35 N/m 求求: 轮轮D突然卡住时，钢索的最大张力突然卡住时，钢索的最大张力卡住前卡住前 卡住时：卡住时：解：解：得得即即由由 有有 例：已知例：已知 均质园轮均质园轮m,r,R ，纯滚动，纯滚动求：轮心求：轮心的运动微分方程的运动微分方程解解:重力的功率重力的功率（ 很小）很小）本题也可用机械能守恒定律求解。本题也可用机械能守恒定律求解。得得 例：已知两均质轮例：已知两均质轮m,R;物块物块m, ，纯滚动，于纯滚动，于弹簧原长处无初速释放。弹簧原长处无初速释放。求：重物下降求：重物下降h时时 ，v、a及滚轮与地面的摩擦力。及滚轮与地面的摩擦力。解：解：将式（将式（a）对）对t 求导求导（a）得得其中其中例：已知例：已知 l, m求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。约束力。解：解：成成 角时角时（ a ）（ b）时时由（由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得得由由其中：其中： 铅直铅直 水平水平(c) 例：已知例：已知 轮轮I ：r, m1; 轮轮III