内部专用钢结构稳定理论-59

1、 1）开口截面的两种扭转形式）开口截面的两种扭转形式v自由扭转自由扭转纵向纤维自由伸缩，产生翘曲变形纵向纤维自由伸缩，产生翘曲变形v约束扭转约束扭转纵向纤维不能自由伸缩，不能产生翘曲变形纵向纤维不能自由伸缩，不能产生翘曲变形2）开口截面的自由扭转）开口截面的自由扭转由材料力学得，外扭矩与扭转角的关系：由材料力学得，外扭矩与扭转角的关系： 其中其中It为为抗扭惯性矩抗扭惯性矩。对由几个狭长矩形组成的开口薄壁截面。对由几个狭长矩形组成的开口薄壁截面由下式计算：由下式计算： bi、ti为为第为为第i块板件的宽度和厚度；块板件的宽度和厚度； k考虑热轧型钢在板件交接处凸出部分的有利影响，其值由考虑热轧

2、型钢在板件交接处凸出部分的有利影响，其值由试验确定。对角钢取试验确定。对角钢取1.0，对，对T形截面取形截面取1.15，槽形截面取，槽形截面取1.12，工字形截面取工字形截面取1.25。 由材料力学得最大剪应力与外扭矩的关系为：由材料力学得最大剪应力与外扭矩的关系为：所以最大剪应力所以最大剪应力t与构件扭转角的变化率与构件扭转角的变化率呈正比例关系。呈正比例关系。 ttGIMniiittbkI133tttItM自由扭转的截面剪应力分布形式在截面厚度范围内形成封闭的剪力流，方向与壁厚平行，大小相等，方向相反，中心线处剪应力为0。3）开口截面的约束扭转）开口截面的约束扭转如果杆件端部的如果杆件端部

3、的翘曲变形受到约束翘曲变形受到约束，即端部支承条件能够限，即端部支承条件能够限制翘曲变形的发生，将产生纵向纤维的制翘曲变形的发生，将产生纵向纤维的翘曲正应力翘曲正应力，并伴随，并伴随产生产生翘曲剪应力翘曲剪应力。翘曲剪应力绕截面剪心形成抵抗外扭矩的能力。翘曲剪应力绕截面剪心形成抵抗外扭矩的能力。因此开口截面构件不仅产生因此开口截面构件不仅产生自由扭转自由扭转而且可能产生而且可能产生约束翘曲约束翘曲扭转扭转，约束扭转力矩为：，约束扭转力矩为： EIM其中Iw为截面翘曲扭转常数，又称扇性惯性矩，其一般计算公式为： wn为主扇性坐标，参见相关文献。 dAtdsIsAnn022MMMtz EIM EI

4、GIMtz4）开口截面的扭转平衡方程）开口截面的扭转平衡方程ttGIM约束扭转力矩自由扭转力矩所以外荷载将与上述两个扭转力矩相平衡所以外荷载将与上述两个扭转力矩相平衡1）梁的整体稳定的概念）梁的整体稳定的概念上翼缘受压；下翼缘上翼缘受压；下翼缘受拉。受拉。上翼缘可能发生平面上翼缘可能发生平面外失稳。外失稳。上翼缘平面外变形带上翼缘平面外变形带动梁的整体转动。动梁的整体转动。整体为整体为弯扭失稳弯扭失稳。失稳时的弯矩为临界失稳时的弯矩为临界弯矩；最大弯曲应力弯矩；最大弯曲应力为临界应力。为临界应力。为第一类稳定问题。为第一类稳定问题。2）双轴对称工字型截面简支梁纯弯作用）双轴对称工字型截面简支梁

5、纯弯作用下的整体稳定承载力下的整体稳定承载力 两端支承条件：两端支承条件： 简支梁两端是夹支座，简支梁两端是夹支座，即在支座处梁不能发生即在支座处梁不能发生x, y方向的位移，也不能发生方向的位移，也不能发生绕绕z轴的转动，可发生绕轴的转动，可发生绕x,y轴的转动。（轴的转动。（夹支座夹支座） 梁端左支座不能发生梁端左支座不能发生z方方向位移，右支座可以。向位移，右支座可以。 梁端截面不受约束，可梁端截面不受约束，可自由发生翘曲。自由发生翘曲。坐标系：坐标系：失稳前：失稳前：x、y、z；失稳后；失稳后(1-1截面截面)：、。承受荷载：承受荷载：纯弯矩作用。纯弯矩作用。失稳前后的位移变化：失稳前

6、后的位移变化：u、v、。vz轴与轴与轴的夹轴的夹角：角： du / dz 列出平衡方程后，可得三个微分方程：列出平衡方程后，可得三个微分方程：第一个方程可以独立求解，它是在弯矩第一个方程可以独立求解，它是在弯矩M作用平面内的弯作用平面内的弯曲问题，与梁的扭转无关。曲问题，与梁的扭转无关。后两个方程必须联立求解。第三个方程微分一次，与第二后两个方程必须联立求解。第三个方程微分一次，与第二个方程联立消去个方程联立消去u得：得： 下面对上述关于转角的微分方程进行求解。下面对上述关于转角的微分方程进行求解。 假设两端简支梁的扭转角符合正弦半波曲线分布，即：假设两端简支梁的扭转角符合正弦半波曲线分布，即

7、： 0 MvEIx0 MuEIxuMEIGIt 02 ytIVEIMGIEIlzAsin满足边界条件代入后，得：代入后，得：要使上式对任意要使上式对任意z值都恒成立，必须方括号中的数值为零：值都恒成立，必须方括号中的数值为零：则在此可以解出双轴对称工字型截面梁整体失稳时的临界则在此可以解出双轴对称工字型截面梁整体失稳时的临界弯矩弯矩Mcr： 其中其中k为梁的为梁的弯扭屈曲系数弯扭屈曲系数0sin)()(224lzAEIMlGIlEIyt0)()(224ytEIMlGIlEIlGIEIkEIlGIIIlEIMtytyycr)1 (22222)(1lGIEIkt对于双轴对称工字型截面对于双轴对称工

8、字型截面 所以梁的弯扭屈曲系数变为：所以梁的弯扭屈曲系数变为： 其中：其中：k越大，梁的稳定承载力越高。越大，梁的稳定承载力越高。 它与梁的它与梁的侧向抗弯刚度侧向抗弯刚度、抗扭刚度抗扭刚度、梁的夹支跨度梁的夹支跨度l及及梁高梁高有关。有关。 22221)2(1)(1lhGIEIlGIEIktytyIhIhI422122)2(lhGIEIty3）荷载及跨中约束对梁的整体稳定影响）荷载及跨中约束对梁的整体稳定影响 荷载种类的影响荷载种类的影响 采用弹性稳定理论可以推出在各种荷载条件下梁的临界弯采用弹性稳定理论可以推出在各种荷载条件下梁的临界弯矩表达式，表中列出双轴对称工字型截面的矩表达式，表中列

9、出双轴对称工字型截面的k值。值。荷载作用于梁的形心时：纯弯情况荷载作用于梁的形心时：纯弯情况k值最低；均布荷载情况稍不值最低；均布荷载情况稍不利于集中荷载；集中力作用于跨中形心上时利于集中荷载；集中力作用于跨中形心上时k值最高。值最高。 荷载作用位置的影响荷载作用位置的影响 显然当荷载作用于上翼缘时，梁一旦扭转，荷载会对剪显然当荷载作用于上翼缘时，梁一旦扭转，荷载会对剪心心s产生不利的附加扭矩，促进扭转，加速屈曲。而当荷载产生不利的附加扭矩，促进扭转，加速屈曲。而当荷载位于下翼缘时，会产生减缓梁扭转的附加扭矩，延缓屈曲。位于下翼缘时，会产生减缓梁扭转的附加扭矩，延缓屈曲。 荷载作用于上翼缘时稳

10、定承载力最低；荷载作用于下翼缘时稳定承载力最高；跨中侧向约束条件的影响跨中侧向约束条件的影响 随梁端约束程度的加大，随梁端约束程度的加大，和跨中侧向支承点的设置，和跨中侧向支承点的设置，将使梁的侧向计算长度减小将使梁的侧向计算长度减小为为l，使梁的临界弯矩显著提，使梁的临界弯矩显著提高。高。因此增加梁端和跨中约束是因此增加梁端和跨中约束是提高梁的临界弯矩的一个有提高梁的临界弯矩的一个有效措施。效措施。 2)(1lGIEIkt4）单轴对称工字型截面简支梁纯弯作用）单轴对称工字型截面简支梁纯弯作用下的整体稳定承载力下的整体稳定承载力 采用能量法可求出在不同荷载种类和作用位置情况下的梁的采用能量法可

11、求出在不同荷载种类和作用位置情况下的梁的临界弯矩为：临界弯矩为： 1、2、3和荷载类型有关的系数。和荷载类型有关的系数。)1 ()(2223232221EIlGIIIBaBalEIMtyyyycr a为荷载作用点至剪心s的距离，荷载在剪心以下时为正，反之为负。By截面不对称修正系数：y0为剪力中心与截面形心的距离，如图所示，在形心以上时为负。)1 ()(2223232221EIlGIIIBaBalEIMtyyyycrAxyydAyxyIB022)(21令By=0，11、20、31时，上式将变为双轴对称截面承受纯弯荷载时的稳定承载力。可以看出增大受压翼缘截面对梁的整体稳定承载力是有利的。 1）单

12、向受弯梁）单向受弯梁为保证梁不发生整体失稳，梁中最大弯曲应力应不超过临界为保证梁不发生整体失稳，梁中最大弯曲应力应不超过临界弯矩产生的临界应力，即：弯矩产生的临界应力，即： 考虑材料抗力分项系数后：考虑材料抗力分项系数后： 或或式中式中b为梁的整体稳定系数：为梁的整体稳定系数：xcrcrxxWMWMfffbRyycrRcrfWMxbxycrycrbMMf将上节中的临界弯矩将上节中的临界弯矩Mcr代入代入b的表达式中，得纯弯作用下的表达式中，得纯弯作用下简支的双轴对称焊接工字型截面梁的整体稳定系数：简支的双轴对称焊接工字型截面梁的整体稳定系数： 其中：其中： y为梁在侧向支承点间绕为梁在侧向支承

13、点间绕y轴的长细比，轴的长细比，A为梁的毛截为梁的毛截面面积，面面积，t1为受压翼缘的厚度。为受压翼缘的厚度。上式是由纯弯情况推导得到的，对于其它荷载种类我们仍可上式是由纯弯情况推导得到的，对于其它荷载种类我们仍可以通过相同方法求得整体稳定系数以通过相同方法求得整体稳定系数 ，定义等效临界弯矩，定义等效临界弯矩系数：系数： 这样在这样在 中乘以中乘以b就可以考虑其他荷载情况了。就可以考虑其他荷载情况了。yyxybfhtWAh235)4 . 4(14320212bbbbb对于在两个主平面内受弯的对于在两个主平面内受弯的H型钢截面构件或工字形截面构型钢截面构件或工字形截面构件，其整体稳定可按下列经

14、验公式计算：件，其整体稳定可按下列经验公式计算： Wx、Wy为按受压纤维确定的对为按受压纤维确定的对x和对和对y轴的毛截面模量；轴的毛截面模量； 为绕强轴弯曲所确定的梁整体稳定系数。为绕强轴弯曲所确定的梁整体稳定系数。 fWMWMyyyxbxb2）双向受弯梁）双向受弯梁1）薄板的定义与特点）薄板的定义与特点板面最小宽度板面最小宽度b与厚度与厚度t的比值的比值b/t58的板称为薄板，板件剪的板称为薄板，板件剪切变形与弯曲变形相比很微小，可以忽略不计。切变形与弯曲变形相比很微小，可以忽略不计。如图所示，当面内荷载达到一定值时板会由平板状态变为微微弯曲状态，这时我们称板发生了屈曲（失稳）。 根据弹性

15、力学小挠度理论，得到薄板的屈曲平衡方程为： 022222224422444ywNyxwNxwNywyxwxwDyxyxw为板的挠度；Nx、Ny为x, y方向单位宽度上所承受的力，压正，拉负； Nxy为单位宽度上的剪力；D为板单位宽度的抗弯刚度：)1 (1223EtD2）薄板的屈曲方程）薄板的屈曲方程对于如图所示四边简支板，在单向荷载作用下方程变为： 02224422444xwNywyxwxwDx上述方程的解可以用双重三角级数形式表示： 式中：m为板屈曲时沿x方向的半波数，n为沿y方向的半波数。 11sinsinmnmnbynaxmAw3）屈曲方程的解）屈曲方程的解将通解代入微分方程，可得单向均

16、匀受压荷载下四边简支板将通解代入微分方程，可得单向均匀受压荷载下四边简支板的临界屈曲荷载的临界屈曲荷载Nxcr： 即讨论当即讨论当m, n取何值时，取何值时，Nxcr最小。最小。显然当显然当n=1时，时，Nxcr最小，意味着板屈曲时沿最小，意味着板屈曲时沿y方向只形成一方向只形成一个半波。个半波。则此时屈曲荷载变为：则此时屈曲荷载变为： k称为板的称为板的屈曲系数屈曲系数，可以用它来衡量板的临界承载力。，可以用它来衡量板的临界承载力。 2222mbanambbDNxcr22222bDkmbaambbDNxcr2mbaambk4）临界荷载的最小值）临界荷载的最小值当m取1，2，3, 4时，将k与

17、a/b的关系画成曲线，如图所示，图中这些曲线构成的下界线是k的取值。 当边长比a/b1时，板将挠曲成几个半波，而k基本为常数； 只有a/b1时，才可能使临界力大大提高。 因此当a/b1时，对任何m和a/b情况均可取k=4，即：224bDNxcr2mbaambk其它边界条件和面内载荷情况，矩形板的屈曲临界荷载都可写成前式，只是k的取值有变化而已。为使用方便，将D的表达式代入后，除t得临界应力：考虑到钢梁受力时，并不是组成梁的所有板件同时屈曲，板件之间存在相互约束，可在上式中引入约束系数，得到： 222)1 (12btEkcr42222106 .18)1 (12btkbtEkcr5）其它边界条件和

18、荷载形式下的临界荷载）其它边界条件和荷载形式下的临界荷载1) 梁受压翼缘板临界应力表达式梁受压翼缘板临界应力表达式梁的受压翼缘主要承受弯矩产生的均匀压应力，为充分发挥梁的受压翼缘主要承受弯矩产生的均匀压应力，为充分发挥材料的强度，翼缘的临界应力应材料的强度，翼缘的临界应力应不低于钢材屈服点不低于钢材屈服点。同时考。同时考虑梁翼缘允许发展一定的塑性，引入塑性系数虑梁翼缘允许发展一定的塑性，引入塑性系数 后，得到：后，得到：塑性发展系数：塑性发展系数： ycrfbtk42106 .18EEt/2) 箱形梁受压翼缘板箱形梁受压翼缘板腹板较薄，对翼缘没有什么腹板较薄，对翼缘没有什么约束作用，翼缘相当于

19、宽度约束作用，翼缘相当于宽度为为b0的的四边简支板四边简支板，故，故k=4.0、 =1.0；同时取；同时取 =0.25。则得到翼缘达强度极限承载则得到翼缘达强度极限承载力时不会失去局部稳定的宽力时不会失去局部稳定的宽厚比限值为：厚比限值为：yftb2354003) 工字形、工字形、T形梁受压翼缘板形梁受压翼缘板属于属于一边自由、三边简支板一边自由、三边简支板，k值为：值为：a是纵边长度。是纵边长度。b是翼缘板悬伸部是翼缘板悬伸部分的长度。分的长度。2425. 0abk一般一般a大于大于b，按最不利情况，按最不利情况a/b= 考虑，考虑，k0.425，取，取 =1.0、 =0.25，可得不失去局

20、部稳定的宽厚比限值为：，可得不失去局部稳定的宽厚比限值为： 按弹性设计时：按弹性设计时：yftb23513yftb235151) 腹板的纯剪屈曲腹板的纯剪屈曲梁腹板横向加劲肋之间的部分，属四边支承的矩形板。梁腹板横向加劲肋之间的部分，属四边支承的矩形板。如果此腹板处于纯剪状态，板中主应力与剪力大小相等并与如果此腹板处于纯剪状态，板中主应力与剪力大小相等并与它成它成45o角，主压应力可引起板的屈曲，屈曲时呈现出大约角，主压应力可引起板的屈曲，屈曲时呈现出大约沿沿45o方向倾斜的鼓曲，与主压应力方向垂直。方向倾斜的鼓曲，与主压应力方向垂直。如不考虑发展塑性，临界剪应力同样可以写为：如不考虑发展塑性

21、，临界剪应力同样可以写为： b为板的边长为板的边长a与与h0中较小者，中较小者，tW是腹板厚度，是腹板厚度，h0是腹板高度。是腹板高度。考虑翼缘对腹板的约束作用考虑翼缘对腹板的约束作用 取取1.23。屈曲系数屈曲系数k与板的边长比有关，其关系为：与板的边长比有关，其关系为： 42106 .18btkWcr 随随a的减小临界剪应力提高。的减小临界剪应力提高。当然增加当然增加tW，临界剪应力也，临界剪应力也提高，但不经济。提高，但不经济。 一般采用在腹板上设置横一般采用在腹板上设置横向加劲肋以减少向加劲肋以减少a的办法来提的办法来提高临界剪应力。高临界剪应力。 梁腹板不设横向加劲肋的条件： 此时a

22、/h0，若要求cr=fv，由此可得： 考虑到梁腹板中的平均剪应力一般低于fv，故规范规定仅受剪应力作用的腹板，其不会发生剪切失稳的高厚比限值为： Vwfth2358 .75/0ywfth2358002) 腹板的纯弯屈曲腹板的纯弯屈曲腹板纯弯屈曲形式腹板纯弯屈曲形式 腹板可认为是四边支承板件。腹板可认为是四边支承板件。 在弯曲压应力作用下腹板会发生屈曲，形成多波失稳。沿在弯曲压应力作用下腹板会发生屈曲，形成多波失稳。沿横向（腹板高度方向）为一个半波，横向（腹板高度方向）为一个半波，波峰在压力作用区偏上波峰在压力作用区偏上的位置的位置。沿纵向形成的屈曲波数取决于板长。沿纵向形成的屈曲波数取决于板长

23、。 屈曲系数k 屈曲系数k的大小取决于板的边长比。 k与a/h0的关系如图所示，a/h0超过0.7后k值变化不大，对于四边简支板kmin=23.9。 只有小于0.7后k才显著变化，可见横向加劲肋配置的相当密才能显著提高临界应力，否则意义不大。一般不用此法。腹板纯弯屈曲的临界承载力腹板纯弯屈曲的临界承载力 如不考虑上、下翼缘对腹板的约束作用，将如不考虑上、下翼缘对腹板的约束作用，将kmin=23.9和和b=h0代入前面公式中可得腹板简支于翼缘的临界应力公式：代入前面公式中可得腹板简支于翼缘的临界应力公式： 但当受压翼缘连有刚性铺板或焊有钢轨时，很难发生扭转，但当受压翼缘连有刚性铺板或焊有钢轨时，

24、很难发生扭转，因此腹板的上边缘也相当于完全嵌固，此时嵌固系数因此腹板的上边缘也相当于完全嵌固，此时嵌固系数可取为可取为1.66；当无构造限制其转动时，腹板上部的约束介于简支和嵌；当无构造限制其转动时，腹板上部的约束介于简支和嵌固之间，可取固之间，可取为为1.23。限制转动时：限制转动时： 否则：否则：42010445htwcr42010738htwcr42010547htwcr腹板不发生纯弯屈曲时高厚比的限值腹板不发生纯弯屈曲时高厚比的限值 取取cr=fy作为临界应力的最大值，则代入临界应力计算公作为临界应力的最大值，则代入临界应力计算公式可得腹板高厚比限值为：式可得腹板高厚比限值为： 梁受压翼缘的扭转受到约束时：梁受压翼缘的扭转受到约束时： 梁受压翼缘的扭转未受到约束时：梁受压翼缘的扭转未受到约束时：ywfth2351770ywfth23515303) 腹板在局部压应力作用下的屈曲腹板在局部压应力作用下的屈曲局部压应力下的屈曲形式局部压应力下的屈曲形式 集中荷载及吊车荷载作用下，腹板处于局部压应力集中荷载及吊车荷载作用下，腹板处于局部压应力c作用作用下。应力在上边缘处最大，到下边缘减为零。下。应力在上边缘处最大，到下边缘减为零。 局部压应力下的临界应力局部压应力