2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第93讲极坐标系与参数方程问题的处理

1、第93讲极坐标系与参数方程问题的处理【知识要点】、在平面内取一个定点 0为极点，引一条射线0X为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及XOM，称它的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系对于平面内的点 M，设|0M |,为点M的极径、极角，有序数对 (，)就叫做M的极坐标.平面内任二、直角坐标系的原点 0为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x, y)和(，)，则由三角函数的定义可以得到:COs (求 sin2 x2点的直角坐标的公式)，ytan x2y(求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量)(R)表示过原点且倾斜角为

2、0)表示过原点且倾斜角为的向上的射三、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C上任一点M的坐标x,y都是某个变数tOx = f (t)的函数1，反过来，对于t的每个允许值，由函数式y = g(t)Ox = f (t)_ 丿所确定的点M(x, y)都在曲线C上,y = g(t)ox = f (t)那么方程彳叫做曲线C的参数方程，联系变数y = g(t)x, y的变数t是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程.四、常见曲线的参数方程:(1)圆(x Xo)2 (y y。)2r2的参数方程为 yx0 rcos(为参数)；yo r si n(2)2芯 1的参

3、数方程为b2acosbsi n(为参数)；2(3)双曲线令a2每 1的参数方程b2asecbta n(为参数)；(4)抛物线y2x2 px参数方程y2 pt22 pt(t为参数)x x0 tcos(5)过定点P(x0,y0)、倾斜角为的直线的参数方程(t为参数).当动点A在定点y y tsinP(x0, y0)上方时,t 0,且t | PA|.当动点B在定点P(x0, y0)下方时,t 0,且t| PB|.【方法讲评】方法转化法解题步骤先把已知条件都化成直角坐标，再利用解析几何的知识解答【例1】【2017课标3，理科22】在直角坐标系 xoy中，直线l 1的参数方程为( t为参数)，y kt.

4、x直线I 2的参数方程为ym,(m为参数).设11与12的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设13: p (cos 0 +sin 0)-2 =0, M为 13与C的交点，求M的极径【解析】淆去裁数t得h的普通內 t二盘匕一2消去蜃数曲得h的普迪方稈厶: 二*(卄2)y =圧(x_2)1,消去占得疋-於二4。二0),所以G的普通方程为工0) 鸟的直甬坐标方程为_3血2 2 2 1 18 2 =JT+j =-H- = 5 ,?=一-”仏与住的交点M的根径対历、【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子

5、问直接把条件化成直角坐标再解答，比较直接，解题效率也比较高x【反馈检测1】在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1的参数方程为y2cos 1,(为参数)以平2si n面直角坐标系的原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（i）求曲线g的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）求曲线Ci和C2公共弦的长度.方法二用极坐标解决解析几何问题解题步骤把已知条件化成极坐标，再利用极坐标的知识解答【例2】【2017课标II ,理22】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci的极坐标方程为cos 4.（1）M为曲线G上的动点，点P

6、在线段0M上，且满足|OM | |0P| 16,求点P的轨迹C2的直角坐 标方程；（2）设点A的极坐标为（2,），点B在曲线C2上，求 OAB面积的最大值3【解析】设尸的根坐标为S #）（4）, M的极坐标为（必 （必沁），由题a oAfop = i&得q的极坐标方程严宓詔30）因此G的直角坐标方程为2尸* J 4（如0）（2）设点B的极坐标为b,b0 ,由题设知OA =2, b =4cos1SOAB sin AOB 4cossin232 sin 2232当 二12时，S取得最大值2+ 3，所以 OAB面积的最大值为2+. 3 .如果用极坐标【点评】（1）本题的两问，如果用直角坐标来解答，思路

7、难找，计算量大，解题效率低来解答，问题就简单了很多 （2）怎么联想到利用极坐标解答呢？因为已知里面有信息，譬如，第1问中,|OM |就是点M的极径，|OP|就是点P的极径，并且点 M ,P的极角相同，所以用极坐标解答就自然了,所以我们要注意观察已知的信息第2小问的观察和思维类似x 1 COS【反馈检测2】在直角坐标系xOy中，曲线Ci : x y 4，曲线C2:（为参数），以坐y sin标原点|O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线Ci,C2的极坐标方程；（2） 若射线l:p 0分别交Ci,C2于代B两点，求堕的最大值.|0A|方法三用圆锥曲线参数方程解决解析几何的问题解题步骤

8、先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答.x 3cos【例3】【2017课标1，理22】在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为 3COS （为参数），y sin ,x a 4t直线I的参数方程为（t为参数）y 1 t,（1）若a 1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为.17，求a.【解析】 曲线C的普通方程为二L当盘=1吋，直线/的昔通方程为丸+4p*4卩-3二0由打卫f解得21x=2524F 二25从而C与l的交点坐标为（3,0）,（,）.25 25直线I的普通方程为掘十4y44=0,故C上的点08词血巧到的距禽为13co殊B + 4sib 34 4|加

9、“时，嘶大林需由题设得器“胁当7 的最大值疥由题设得芮F + =荷，所以盘=_16综上，口 = &或口=16一、【点评】(1)本题就是利用圆锥曲线解决解析几何问题的典型例子本题如果把已知条件都化成直角坐标再解答，计算量比较复杂，解题效率比较低.但是如果利用圆锥参数方程设点的坐标，再利用三角函数的知识来解答，计算量小，解题效率高了很多 (2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用x 3 cosy sin极坐标设点，大家要注意灵活选用【反馈检测3】(2016年全国III高考)在直角坐标系 xOy

10、中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为(I)写出Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；(II )设点P在Ci上，点Q在C2上，求|PQ的最小值及此时P的直角坐标方法四用直线参数方程解决解析几何的冋题解题步骤先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答x 3 t【例4】在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为2 _ （t为参数）在极坐标系（与直角坐y忑马2标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 2 一弔sin（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线I交于点A, B，

11、若点P的坐标为3/ 5，求I PA PB 【解析】（D由“2话血e,得尸二2右“血肛：*十b =即/+0-厉尸二5将J的参数方程RAC的直角坐标方程.得（3-#厅+ （弓-缈=5,即“-3血44 = 0由 dLr人=（?卩仆4 = d0,故可设仆z是上述方程的两实根，所法卜十勺“厲又直线f过点p（31X/5）, Vi=故由上式及r的几何意义得円|十|刊|比田剧卡估今血【点评】（1）直线参数方程中参数 t的几何意义是这样的：如果点 A在定点P的上方，则点 A对应的参数tA就表示点A到点P的距离|PA|,即tA |PA|.如果点B在定点P的下方，则点B对应的参数tB就表示点B到点P的距离|PB|的

12、相反数，即tB| PB| .（ 2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上 代B两点间的距离|AB|,不管A, B两点在哪里，总有|AB| |tA tB|.【反馈检测4】在极坐标系中，曲线 C的方程为 2cos29，点P(2、3,_) 以极点0为原点，极6轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.(1) 求直线0P的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；_ _ _ 1 1(2) 若直线0P与曲线C交于A、B两点，求的值.|PA| |PB|【反馈检测5】在直角坐标系xOy中，直线I过M (2,0)，倾斜角为(0).以0为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2 4cos .

13、(1)求直线l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；(2)已知直线I与曲线C交于A、B两点，且|MA| 2|MB |，求直线I的斜率k .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第93讲:极坐标系与参数方程问题的处理参考答案【反馈检测 1 答案】(1) C1 :x2 y2 2x 3, C2 :x2 (y 2)2x= 2cdSt+L【反馈检测详细解析】门 曲线G的參数方程为,1_（化为券数人消去参数口可得普通方y = 2sin a程：仪一1尸4八=4即/+于一=曲线q的极坐标方程为p=4心匹 即可得宜目尘咏-J=4y.配勺粵疋+（.，一2=4.（2） +/-2x=3与壬十戸二4#相减可得公共所在的直线方

14、程古-匕十3 = 0.|2亠3|w到公共渐在的聲的距离-何百=7 p 共弦长=21【反馈检测 2 答案】(1 )p (cos 0 + sin 0 ) = 4,p= 2cos 0; (2)(2+ 1).【反馈检测2详细解析】(1) C: p (cos 0+ sin 0 ) = 4, C2的普通方程为(x 1)2+ y2= 1，所以p= 2cos 0.4p 1= cos a + sin a 卩 2=沁-nn(2)设 A( p i,a ) , B( p 2,a ) , VaV ，则|OB| p 21x|OA| p 141=(cos 2 a+ sin42cos a (cos a + Sin a )2

15、a+ 1)=】i 2cos (2 a)+1,当a= 8时，|OA|取得最大值 专（.2 + 1）.【反馈检测3答案】2x 2(1) C1 :y1,C2: x y30 ；（2）最小值为2，此时P的坐标为幕）.【反馈检测23详细解析】（1）G的普通方程为 31, C2的直角坐标方程为 x+y-4=0 .由题意,可设点P的直角坐标为（一 3 cos ,sin因为C2是直线，所以|PQ|的最小值，即为P到C2的距离d（）的最小值cos sin 41 d( ) | 一石一|in(-) 2|.当且仅当2k（k z）时，d（）取得最小值，最小值为 J2此时P的直角坐标为（-,丄）.6 2 2x 3逅t【反馈检测4答案】(1)2, x2 y29 ； (2)2 .1 x y 9vy . 3 -t.2【反馈检测4译细解析】1T化为直角坐标可得 2 拒）,6二直线0P的参数方程为/ p1 cos2 & Slfi2 = 9 ,二曲线u的直角坐诉方程：-/=9, w： H十4屁S ,t1+t2 =-+= -6 0 ?丄+丄=丄+丄=旦=屈t4cos tt8t22， tit22sinsin2t2，消去ti与t2，得tan 2，即k|皿|朋| K