几类不同增长的函数模型

1、函数模型及其应用函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋18591859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到不到100100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到7575亿只可爱的兔子变得可恶起来，亿只可爱的

2、兔子变得可恶起来，7575亿只兔子吃掉亿只兔子吃掉了相当于了相当于7575亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气 材料：澳大利亚兔子数材料：澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”例例1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有假设你有一笔

3、资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：如下：方案一、每天回报方案一、每天回报40元；元；方案二、第一天回报方案二、第一天回报10元，以后每天比前一元，以后每天比前一天多回报天多回报10元；元；方案三、第一天回报方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报元，以后每天的回报比前一天翻一番。比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题。下面我们先来看两个具体问题。分析：分析：2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？、如何建立日回报效益与天数的函数模型？1、依据什么标准来选取投资方案？

4、日回报效益，、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？还是累计回报效益？解：设第解：设第x天所得回报是天所得回报是y元元方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述；方案二可以用函数方案二可以用函数 进行描述；进行描述；方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述.40()yxN1*0.4 2()xyxN3、三个函数模型的增减性如何？、三个函数模型的增减性如何？4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？况进行分析，如何分析？)(10*Nxxy表表1y(元)y(元) 增加量增加量(元元)y(元)y(

5、元) 增加量增加量(元元) y(元)y(元) 增加量增加量(元元)140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4x(天)x(天)方案一方案一方案二方案二方案三方案三 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4图-1我们看到，底为我们看到，底为2的指数函数模的指数函数模型比线性函数模型比线性函数模型增长速度要快型增长

6、速度要快得多。从中你对得多。从中你对“指数爆炸指数爆炸”的的含义有什么新的含义有什么新的理解？理解？函数图象是分析问题函数图象是分析问题的好帮手。为了便于的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连观察，我们用虚线连接离散的点。接离散的点。由表由表-1和图和图-1可知，方案一的函数是常数函数，可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第可以看到，尽管方案一、方案二在第1 1天所得回天所得回报分别是方案三的报分别是方案三的100

7、100倍和倍和2525倍，但它们的增长倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第量是成倍增加的，从第7 7天开始，方案三比其他天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一方案二所方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在无法企及的，从每天所得回报看，在第第1414天，方案一最多，在天，方案一最多，在5858天，方案二最多；天，方案二最多；第第9 9天开始天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第得多，到第3030天，所得回报已超过天，所得回报已超过2 2亿元。亿元。根据以上的分析，你应当作出根据以上的

8、分析，你应当作出什么样的选择？什么样的选择？投资投资5天以下先方案一天以下先方案一投资投资58天先方案二天先方案二投资投资8天以上先方案三天以上先方案三0100200300400500600051015方案一 回报(元)方案二 回报(元)方案三 回报(元)线性 (方案一回报(元)多项式 (方案二 回报(元)指数 (方案三回报(元) 因此，投资因此，投资8天以下天以下(不含不含8天天)，应选择第一种投资方，应选择第一种投资方案；投资案；投资810天，应选择第天，应选择第二种投资方案；投资二种投资方案；投资11天天(含含11 天天)以上，刚应选择第三以上，刚应选择第三种投资方案。种投资方案。表-2

9、表-2 累计回报效益累计回报效益回报(元)回报(元) 回报(元)回报(元) 回报(元)回报(元)1 1404010100.40.42 2808030301.21.23 312012060602.82.84 41601601001006 65 520020015015012.412.46 624024021021025.225.27 728028028028050.850.88 83203203603601021029 9360360450450204.4204.41010400400550550409.2409.21111440440660660818.8818.8x（天）x（天）方案二方案二

10、方案三方案三方案一方案一例例 2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，万元时，按销售利润进行奖励，且奖金按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，万元，同时奖金总数不超过利润的同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？,002. 1 1log

11、 25. 07xyxyxy，分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，x奖金总数不超过奖金总数不超过5万元，万元， 由于公司总由于公司总的利润目标为的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。利润。同时奖金不超过利润的同时奖金不超过利润的25%， 于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公上，检验三个模型是否符合公司要求即可。司要求即可。 注意：注意：X的取值范围，即函数的定义域的取值范围，即函数的定义域要满足哪些条件？要

12、满足哪些条件？通过图象说明选用哪个函数模型？通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？为什么？不妨先作出函数图象，通过观察函不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。具体计算，确认结果。解：解： 借助计算机作出函数借助计算机作出函数的图象的图象,25. 0, 5xyy xyxy002. 1, 1log7解：解： 借助计算机作出函数借助计算机作出函数 的图象的图象(图图3.2-2)。5, 0.25 , yyx1.002xy 7log1, yx 观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间10 ,1000上，模型上，模型 的图象都有一部分

13、在直线的图象都有一部分在直线 的上方，只有的上方，只有模型模型 的图象始终在的图象始终在 的下方，这说明只的下方，这说明只有按模型有按模型 进行奖励时才符合公司的要求，下进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。面通过计算确认上述判断。 ,25. 0 xy 5y1log7xy5y1log7xyxy002. 1 它在区间它在区间 10 ,1000 上上递增，而且当递增，而且当 时时 ， ，所以它符合奖金总数，所以它符合奖金总数不超过不超过5万元的要求。万元的要求。 ，由函数图象，并利用计算，由函数图象，并利用计算器，可知在区间器，可知在区间 内有一个点内有一个点 满足满足，由于它在区

14、间，由于它在区间 10 ,1000上递增，因此当上递增，因此当 时，时， 因此该模型也不符合要求；因此该模型也不符合要求；对于模型对于模型 ， 它在区间它在区间10 ,1000上递增，上递增，当当 时，时， 因此该模型不符合要求；因此该模型不符合要求；首先计算哪个模型的奖金总数不超过首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万。万。对于模型对于模型 ，对于模型对于模型 ， xy25. 0 xy002.11log7xy)1000,20(x5 y)806,805(0 x5002. 10 x0 xx 5 y1000 x, 555. 41log10007xy令令 。 利用计利用计算机作出函数算机作出函数 的图

15、象的图象 （ 图图3.2.1例例2.gsp），由图象可），由图象可知它是递减的，因此知它是递减的，因此即即所以当所以当 时，时， 。 说说明按模型明按模型 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%。再计算按模型再计算按模型 奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当 时，是否时，是否有有 成立。成立。1log7xy1000,10 x25. 01log7xxxy1000,10,25. 01log)(7xxxf)(xf, 03167. 0)10()( fxfxx25.01log725. 01log7xx1000,10 x1log7xy综上所述，模型 确实能很符合公

16、司要求。1log7xy小结与反思：小结与反思：通过实例和计算机作图体会、认识直通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美用价值，享受数学的应用美 1、四个变量四个变量 随变量随变量 变化的数据如下表：变化的数据如下表：43,21,yyyyx1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050 x1y2y3y4y51037. 67102 . 181028. 2关于关于x呈指数型函数变化的变量是呈指数型函数变化的变量是 。2y 2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的台