2.4三角形的中位线.ppt

1、22.3.三角形的中位线三角形的中位线2.4 三三角形的中位线角形的中位线ADCBE1、在在ABCABC中中,AD=BD,AD=BD,线段线段CDCD是是ABCABC的的( ( ) ) 2、在在ABCABC中中,AE=EC,AE=EC, 线段线段BEBE是是ABCABC的的( )( )回顾：回顾：中线中线中线中线F 如果连结DE，那么DE是否是ABC的中线？3.三角形的中线平分三角形的面积ACDBCDSSVV什么叫三角形的中位线？什么叫三角形的中位线？连接三连接三角形两边中点的线段角形两边中点的线段叫叫三角形的中位线三角形的中位线EDCBA 如图：点如图：点 D、E分别是分别是AB、AC边的中

2、边的中点，线段点，线段DE就是就是ABC的中位线。的中位线。一个三角形共有几条中位线？一个三角形共有几条中位线？F答：三条答：三条 三三角形的中位线与三角形的中线有角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？什么区别与联系？EDCBAFCBA 区别区别:中位线中位线:中点中点-中点中点 中线中线:顶点顶点-中点中点联系联系:一个三角形有三条中线一个三角形有三条中线,三条中位线三条中位线,它们都在三角形的内部且都是线段它们都在三角形的内部且都是线段猜一猜：猜一猜： ABC的中位线的中位线DE与与BC的的关系怎样？（从位置和数量关系怎样？（从位置和数量关系猜想）关系猜想）获取新知获取新知DEBC,

3、BCDE21即：三角形的中位线即：三角形的中位线平行平行于第三边，于第三边，并且等于第三边的并且等于第三边的 一半。一半。你能验证你的猜想吗？ABCDE如图，将AEF绕点F旋转180，设点E的像为点G，易知点A的像是点C，又因为旋转不改变图形的形状和大小，点F的像还是点F，且E， F，G在一条直线上.所以有 CG=AE=BE，GF=EF，G=AEF.说一说说一说则 AECG. (内错角相等，两直线平行)即 BECG.又 BE=CG，所以四边形BEGC是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)所以EG=BC，EGBC.(平行四边形的对边平行且相等)又因为EF=GF，所以 EF =

4、EG = BC，EFBC.1212 三角形的中位线三角形的中位线平行平行于第三边于第三边，并且等于第三边的并且等于第三边的一半一半. .几何语言几何语言：DEDE是是ABCABC的中位线的中位线（或（或AD=BD,AE=CE)AD=BD,AE=CE)CEDBAB BC C2 21 1/ / /D DE E 证明证明平行平行问题问题 证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半用用 途途A AC CB BED DF F初试身手初试身手练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC的中点的中点若若ADE=65ADE=65，则，则B=B= 度，为什

5、么？度，为什么？若若BC=8cmBC=8cm，则，则DE=DE= cmcm，为什么？，为什么？65654 4若若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， 则则DEF的周长的周长=_练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，D、E、F分别分别是是AB、AC、BC的中点的中点9cm9cm若若ABC的周长为的周长为24，DEF的周长是的周长是_12121、 三角形三条中位线围成的三角三角形三条中位线围成的三角形的形的周长周长与原三角形的与原三角形的周长周长有什么有什么关系？关系？探究活动探究活动2、三角形三条中位线围成的三角形的、三角形三条中位线围成的三角形的面积面积与原三角与原三角形的形的面积面

6、积有什么关系？有什么关系？图中有图中有_个平行四边形个平行四边形若若ABC的面积为的面积为24，DEF的面积是的面积是_学以致用:l（1 1）你能把一块三角形）你能把一块三角形蛋糕平均分给四个人吗？蛋糕平均分给四个人吗？ l（2 2）若要求把这块蛋糕）若要求把这块蛋糕分成大小、形状均相等分成大小、形状均相等的四块，该怎样分呢？的四块，该怎样分呢？l l 设设 计计 方方 案：案： F （中点）（中点）(中点中点)DE(中点中点)ABC定理应用定理应用已知已知: :如图如图,A,B,A,B两地被池塘隔开两地被池塘隔开, ,在没有任何测量工具的情况下在没有任何测量工具的情况下, ,小小明通过学习明

7、通过学习, ,估测出了估测出了A,BA,B两地之两地之间的距离间的距离: :先在先在ABAB外选一点外选一点C,C,然后然后步测出步测出AC,BCAC,BC的中点的中点M,N,M,N,并测出并测出MNMN的长的长, ,由此他就知道了由此他就知道了A,BA,B间的距间的距离离. .你能说出其中的道理吗你能说出其中的道理吗? ?CMBAN其中的道理是其中的道理是: :连结A、B, MN是ABC的的中位线,AB=2MN.定理应用定理应用 已知：在四边形ABCD中，ADBC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点求证PMNPNM已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、

8、F、G、H分别是分别是 AB、BC、CD、DA的中点的中点.猜想四边形猜想四边形EFGH的形状并证明。的形状并证明。ABCDEFGHE，F是是AB，BC的中点，你联想到什么？的中点，你联想到什么？ 要使要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？ 证明：如图，连接证明：如图，连接ACEF是是ABC的中位线的中位线A AC C2 21 1E EF F 同理得：同理得： ACAC2 21 1GHGH E EF FG GH H 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形典例示范典例示范 答：答： 四边形四边形EFGH为平行四边形。为平行四边形。EFACG

9、HACGHEF. （1）顺次连结）顺次连结对角线相对角线相等等的四边形各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形是什么？的四边形是什么？（3）顺次连结）顺次连结对角线相等对角线相等且垂直且垂直的四边形各边中点的四边形各边中点所得的四边形是什么？所得的四边形是什么？ （2）顺次连结顺次连结对角线垂对角线垂直直的四边形各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形是什么？的四边形是什么？菱形菱形矩形矩形正方形正方形ABCD结结 论论原四边形两条对角线原四边形两条对角线连接四边中点所得四边形连接四边中点所得四边形互相垂直互相垂直矩形矩形相等相等菱形菱形互相垂直且相等互相垂直且相等正方形正方形既不互相垂直也不

10、相等既不互相垂直也不相等平行四边形平行四边形 实际上，顺次连接四边形各边中点所得实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是到的四边形一定是平行四边形平行四边形，但，但它是否特它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关或者是否相等，与是否互相平分无关.它的对角线是否垂直它的对角线是否垂直或者是否相等或者是否相等它的对角线是否垂直它的对角线是否垂直或者是否相等或者是否相等 （1） 顺次连结顺次连结平行四边平行四边形形各边中点所得的四边形是各边中点所得的四边形是什么？什么？（2）顺次连结）顺次连结菱形菱形各边中点各边中

11、点所得的四边形是什么？所得的四边形是什么？平行四边形平行四边形矩形矩形（3）顺次连结）顺次连结矩形矩形各边各边中点所得的四边形是什中点所得的四边形是什么？么？（6）顺次连结）顺次连结等腰梯形等腰梯形各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形是什么？是什么？菱形菱形平行四边形平行四边形（5）顺次连结）顺次连结梯形梯形各边各边中点所得的四边形是什中点所得的四边形是什么？么？ （4）顺次连结）顺次连结正方正方形形各边中点所得的四各边中点所得的四边形是什么？边形是什么？ 正方形正方形如图: ABC的中线AF与中位线DE相交于O点,AF与DE有怎样的关系?为什么?CABD E oF 1. 设四边形ABCD

12、的两条对角线AC， BD的长分别为5cm，4.4cm， E，F，H，M分 别是边AB，BC，CD，DA的中点，则EFHM 的周长（ ） 练习练习9.4 cm图图3-29 2.已知ABC的各边长度分别为 3cm，3.4cm，4cm，求连结各边中 点所构成的DEF的周长（ ）5.2 cm3. 如图3-30，ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F.（1）四边形AFDE是平行四边形吗？ 为什么？图图3-30 答：四边形AFDE是平行四边形. 因为 所以四边形AFDE是平行四 边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)1,21,2DFACAEDEABAF （2）四边形AFDE的周长等于AB

13、+AC吗？ 为什么？11112222. DFAE DEAFACACABABACAB 答答：是是 因因为 图图3-30中考中考 试题试题例例1 如图，在如图，在ABCD中，中，AC与与BD交于点交于点O，点点E是是BC边的中点，边的中点，OE=1，则，则AB的长是的长是 .解析解析四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OC=OA，又又点点E是是BC边中点，边中点， OE为为ABC的中位线，的中位线， AB=2，OE=2.2中考中考 试题试题例例2 如图，如图，ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，点，点E是是CD的中点，的中点，ABD的周长为的周长为16cm，则则 DOE的周长是的周长是 cm.解析解析E是是CD的中点，的中点，O是是BD的中点，的中点，OE是是BCD的中位线，的中位线， DOEDBC，相似比为，相似比为1:2，又又DBC BDA， DOEBDA，相似比为，相似比为1:2，故故 DO