五导数与微分

1、第五章导数与微分§1导数在第一章我们研究了函数，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题化规律是科学技术中的一个重要课题、实例箭飞行速度的变化规律1、变速运动物体的速度问题在中学里我们学过平均速度：s：t平均速度只能使

2、我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”物体运动的路程是时间的函数物体运动的路程是时间的函数S(t)，则在to至Ut这段时间内的平均速度为t-t可以看出t与to越接近，平均速度v与to时

3、刻的瞬时速度越接近，当t无限接近to时，平均速度V就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在to时刻的瞬时速度，即物体在to时刻的瞬时速度为“S(t)-S(to)v(t°)=lim-(1)I。t-to按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为：12S二一gt2,to,T,2按照上面的公式1212gtgtov(t)=limlim2ittojt-to=ng(ttogto这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式2、切线问题设曲线的方程为f(x),Lp为过曲线上两点设曲线的方程为f(x),Lp为过曲线上两点Po(Xo,yo)与P(x,y)的割线，则Lp的斜率为

4、kp二kp二f(x)-f(xo)xXo如图，当点P(x,y)沿着曲线趋近Po(Xo,yo)时，割线Lp就趋近于点Po(X0,yo)处的切线，kp趋近于切线的斜率K，因此切线的斜率应定义为K=limf(X)f(Xo)X孔X-xo(2)上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看,它们有共同的本质：两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率limf(x)f°)XHoX-Xo、导数概念上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的

5、快慢程度，即都反映了函数的变化率limx>xof(x)-f(Xo)(3)xXo定义1设函数y二f(x)在点Xo的某邻域内有定义，若极限f(x)-f(Xo)f(x)-f(Xo)limXT0xxo存在，则称函数f在点xo可导，并称该极限为函数f在点Xo处的导数,f(xo),ylx%,X=Xo乎等.dx若上述极限不存在，则称f在点xo不可导.x=Xo.IX,y=f(Xo：=X)-f(Xo)，则(3)式可改写为.f(X0+X)_f(X0)、/八limlim00f(x0)(4)x>0xx0x所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比二y的极限，这个增量比称为函数关Ax于自变量的平均变化率(又称

6、差商)，而导数f(X0)则为f在X0处关于X的变化率，它能够近似描绘函数y=f(x)在点x0附近的变化性态.三、例题例1求函数f(x)二x2在点X=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程解：由定义求得f(xo)=lim0f(xo)=lim0xoxxolimxoxoxoxx(xox)1-1二Xo(Xox)x2例3证明函数f(X)=|x|在点x0=0证：因为f(X)-f(0)|x|'1,x>0=x-0x厂1,xc0例3证明函数f(X)=|x|在点x0=0证：因为f(X)-f(0)|x|'1,x>0=x-0x厂1,xc0处不可导.极限limf(x)f(0)不存在，

7、所以f(x)XTX_0在x=0处不可导.'xsinl证明函数f(x)=x在x=0处不可导证明由于极限limfXfx0X0不存在，所以f(x)在x=0处不可导.=c在任何一点x的导数都等于零，即可导与函数在点例5常量函数f(x)f(x)二0接下来我们来了解一下函数在点X量公式由无穷小量和导数的定义，(4)式可写为Ayf(x0)Axo(x)我们称这个是式子为有限增量公式注：此公式对x=0仍旧成立利用有限增量公式，可得下面结论：定理1若函数f(x)在xo处可导，则函数X0连续的关系，为此先介绍有限增f(x)在X0处连续.但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数y=|x|在x=0

8、处连续，但不可导例证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导其中d(x)为狄利克雷函数'1,当x为有理数D(x)=丿.0,当x为无理数证：当X0M0时，由归结原理可得f(x)在X=X0处不连续，所以,由定理5.1,f(x)=x在X=X0=0处不可导当X。=0时，由于D(x)为有界函数，因此得到f(0)f(0)=limXflf(x)-f(0)x-0二limxD(x)=0.函数在一点的单侧导数类似于函数在一点有左、右极限，对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念定义2设函数y=f(x)在点x。的某右邻域(

9、x0,X0-5)上有定义，若右极限(0v二xv、)(0v二xv、)limAlimf(X0AX)-f(X0)Ax0AxAypAx存在，则称该极限值为存在，则称该极限值为f(x)-f(Xo)limXX0X-Xo(x0:X:：x0)f在点X。的右导数，记作f'(x0)，类似地，可定义左导数f(xo)=limAx屮f(x0-AX)-f(x0)Ax右导数和左导数统称为单侧导数例f(X)a1-COSX,x_0：0讨论f(x)在x=0处的左、右导数f(0.：x)-f(0)1-cosxLX1,lx0f(0)=lim1COSx3+&=0如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是定理2

10、若函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(X°)存在的充分必要条件疋.阜.f(X0),f_(X°)都存在，且f'(X0)=f'_(X0).说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么f(x)=ixi,口0)=凹f(x)=ixi,口0)=凹|x|-0-Xf(0)=艸詈=何讨论函数f(x)=x2sgnx在f(0)=艸詈=何讨论函数f(x)=x2sgnx在=1由定理由定理=0的导数2X2-Xx_0x:0x2-00xX2f.(0)Pm口0)=凹-0X-0f(0)=0连续函数不存在导数举例例如函数x=0处

11、是焦点,例如函数x=0处是焦点,f(x)=«不可导X,x乞0x0函数f(x)=xsin)Xx=0处振荡，左右导数都不存罡-0二0二导函数若函数在区间I上每一点都可导端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称f为I个导数x(x)(或单侧导数)与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为f在I上的导函数,也简称为导数，记作上的可导函数此时对每一个xI,f(x),y：dy,兰等即dxdxf(x)Jimf(X人X)f(X),xI.TAx说明：1°区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念2。在物理学中导数y/也常用牛顿记号y表示，而记号dy是莱布尼茨dx首先引用的.目前我们把dy看

12、作为一个整体，也可把它理解为dy施加于y的求导运dxdx算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种表示导数的形式，fix或字匚。dx例6证明：(i) (xn)=nxn，n为正整数；(ii) (sinx)"=cosx,(cosxT=-sinx(iii) (logax)=loga(a0,a=1,x0),特别(Inx)=.xx三、导数的几何意义我们知道f(x)在点x=x0的切线斜率k,正是割线斜率在X-；x0时的极限即=limf(xLLf(x£)XfoXX0由导数的定义，k=f'(x)，所以曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程是y-

13、y。=f'(x0)(x-x°)(7)这就是说：函数f在点xo的导数f'（x0）f0P1得到Qa解：由于=3x023xx2x222f(x0)=Jxim)(3x03x0AxAx)=3x0所以根据（7）式，曲线y=x3在点P的切线方程为线方程为§5.3隐函数与参数方程的导数设t=to对应曲线上的P点，如果P点由切线，那么切线斜率也可由割线斜率去极限是曲线y=f（x）在点（xo，yo）处的切线y-y°=3x°2(x-Xo)线斜率为因此曲线3y_xor(x-Xo)3xo若x0=0，则法线方程为x=0.平面曲线C一般的可表示为参变量方程形式:x=(t

14、),y-(t),tC)旦（t。：t）-'-（t。）p人x一申（t。+*t）取极限得切线斜率斜率，若a表示这条切线与x轴正向的夹角，则0f'(x0)=tana从而f'（x°）>0意味着切线与x轴正向的f:：0例7求曲线y=x3在点P（X。，y。）处的切线方程与法线方程由解析几何知道，若切线斜率为3y=x过点P（X。=。）的法法线割线PQ的斜率为夹角为锐角；f'（x°）=0表示切线与x轴平行.k，则法+切线-，从而过点P的法线方程为k(x_X。)y-y0f(xo)(3)式表示在曲线:':)上的点M(,R处切线MT与极轴OX轴的夹角的

15、正切，如图证明由（5）,对每一个二都有tan'：二即在对数螺线上任意一点的切线6于是得到下面结论讪讥忖伽/魚）g-0AxQm半（t°+At）_甲（t。）甲'（t°）结论：设函数x=：%t),y=：(t)可导且(t)=0，贝Udy(t).dx®'(t)证（法一）用定义证明（法二）由（t）=0,=恒有.0或（t）：0=严格单调（这些事实的证明将在下一章给出.）因此，:（t）有反函数，设反函数为t=J（x）,有y(t)J(x),用复合函数求导法，并注意利可用反函数求导公式.就有dydydydt=-dt呎dxdtdxdxdt例ix=acost,y=

16、bsint.求dy.dx解dydydx(bsint)b=cottdxdtdt(aost)a若曲线C由极坐标J二珥）表示，则可转化为一极角-为参数的参量方程x=cos(Rcosry="inv-：()sinrdy(;?C-)sinJ(Rsin(v)cosv"(Jta-),o.=(3)dx(r)cosr)：(r)cosv-(r)sin(旳-;-)tan=21 F2e2与向径的夹角等于arctg2§5.4微分一.微分概念：由导数定义f(X0)呷f(X0"f(xo)利用第三章讲过的极限与无穷小量之间的关系，上式可写为y-f(xo=x)-f(xo)利用第三章讲过的极

17、限与无穷小量之间的关系，上式可写为y-f(xo=x)-f(xo)二f(xo).：Xo(.：x)即函数在Xo处的改变量.绍可表示成两部分：X的线性部分f(Xo).；X与x的高阶无穷小部分o(=x).当6X充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替yf(x0x例正方形面积的测问题.设正方形的实际边长为x0，由于测量不可能绝对准确，设边长测量的最大误差为.IX，试问由于边长测量不准造成的面积误差最多有多大？A=(x°：x)2-Xo2二2xo=x(=x)即面积误差由两部分组成：第一部分2xx是x的线性部分；第二部分C：x)2是x的高阶无穷小，所以A2xox2微分定义Th(可微与可导的关系).

18、由微分的定义刊:dy-o(，x)当x充分小时y:dy即f(Xo：x)：f(x°)f(x°)：x这后一式中的近似号若换成等号就是过(Xo,f(Xo)点的切线方程，所以这种近似计算的实质是“以直代曲”用这种方法近似计算时，要注意它的前提：应充分小！这一点可以从图(d52)看得很清楚.微分的几何意义例1求dsin23x和darctgx.例1求dsin23x和darctgx.微商.例222y=xInxcosx,求dy和Fy.例3y二严,求dy和y二微分的应用：微分运算法则：法则14只证2.-阶微分形式不变性.利用微分求导数o0xx1、建立近似公式：原理：Ly-dy,即f(x)：f(

19、Xo)f(Xo)(x-Xo).特别当xq=0时，有近似公式f(x)：、f(0)f(0)x.具体的近似公式如sinxx,也+x"+X,nex1x等2.作近似计算：原理:f(x0亠：、x)=f(x0)f(x0)：x例求sin29的近似njinnnsin29=sin(-)=sincos(-)：0.485618066180sin29精确到万分之一等于sin(29*pi/180)，ans=0.4848误差不超过210000提问：这里能用度作单位近似计算吗？为什么例求.0.97和3127的近似值.3.估计误差：绝对误差估计：yf(x0)x,相对误差估计：y=f(x)(0),Iny=Inf(x),

20、=dy=dInf(x)0.2cm.试例4设已测得一根圆轴的直径为43cm，并知在测量中绝误差不超过求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差2.求速度:原理：y=f(x),dyf(x)dx,汁3赛在初等数学中“直”就是“直”，“曲”就是“曲”，二者是不会等同的，微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限，在“直”和“曲”之间架起了一个桥梁但是，并不是任何直线和曲线都可以无条件转化的我们知道，任何一条割线与曲线的联系都是个别的，特殊的，只有切线与曲线的联系才是一般的、本质的微分学中正是利用切线的“直”去代替“曲”的，反映到数量上，就是用函数改变量的线性主要部分代替函数的改变量恩格斯指出：“高等数学

21、的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”“一定条件”那就是“细分”，细分的一定程度，它们之间的差是一个高阶无穷小，“直”和“曲”可以“等同”起来但“直”和“曲”的等同是在相差一个高阶无穷小意义下的等同，是有差别的等同，而不是无条件的等同，这正是“直”和“曲”等同这一辨证思想的核心莱布尼兹（G.W丄）生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍.55岁入来比锡大学学法律，20岁获博士学位，以法律和国际政治为职业，作法律顾问.1672年因外交事务到巴黎，接触了一些数学家，激发了他对数学的兴趣，从此利用业余时间研究数学，他是靠自

22、学成才的.他在数学上最杰出的贡献就是与牛顿各自独立的创立了微积分，他巧妙的建立了微积分的符号体系，这是一伟大功绩.他一方面从事政治、外交活动，一方面进行科学研究，他涉足的面很广，如哲学、数学、物理、地质、生物、机械、文学、神学、法律、历史等都有杰出贡献.被誉为德国的百科全书式天才§5.5高阶导数与高阶微分高阶导数的概念我们知道，加速度我们知道，加速度a(t)=lim7V(t)-V(t。)t-to因此加速度函数是速度函数的导数，从而是路程函数的导数的导数，这就产生了高阶导数的概念.定义：f(Xo)=啊“Xf(X)二f(X),f(n)(x)二f2(x).注意区分符号（X。）和f（X。）几

23、个特殊函数的高阶导数：求幕函数y=xn的各阶导数2.2.正弦和余弦函数：计算sinx5)、cosx(n)sinx5)、cosx(n)sinkx、coskx(n)3.3.xkxe和e的高阶导数:11的高阶导数:5多项式的高阶导数.Q（X）二32x2I*2x求Q(48)(0)和Q(49)(-0.235).的高阶导数:(xa)(xb)5.分段函数在分段点的高阶导数：以函数(x2)=2x,(x2)=2,(x2)=(x2)(n)=0；(sinx)(80)二sinx,(sinx)(79)=-cosx,(sinx)(78)=-sinx.y(80)=(x2sinx)(80)=x2sinx802x(cosx)8

24、0792sinx)2=(x-6320)sinx-160xcosx.y=f(arctgx),其中f(x)二阶可导.验证函数y二arcsinx满足微分方程并依此求y(n)(0).(1-x2)y(n2)-(2n1)xy(nt-n2y(n0.(n-3)2小x,x兰0,f(x)=2为例，-x,xc0.求f(x).三.高阶导数的运算性质设函数u(x)和v(x)均n阶可导.贝y1.(ku(x)=ku(n)(x).2.u(x)_v(x)二u(x)_v(n)(x).3.乘积高阶导数的Leibniz公式：(uv)(n)=u(n)v(0)+C1nU(n)v+C；u(2)v(2)+cnuWi+u(0)v(n)例1设y=x3ex求y(50)利用萊布尼兹公式，取u=ex,v=x3(50)x3x22x3xyex50e3xC50e6xC50e6注意：利用萊布尼兹公式时要注意u与v的选取次序，否则会使计算复杂例2y二excosx,求y(5).解c5=c5=1,c5=c5=5,c5=d=10.=y(5)二ex(cosx-5sinx-10cosx10sinx5cosx-