信号与系统_CH6_2

1、第六章第六章 离散系统的离散系统的 z z 域分析域分析2时域差分方程时域差分方程时域响应时域响应y y(k)(k)Z Z域响应域响应Y Y( (z z) )Z Z变换变换逆逆Z Z变换变换解差分方程解代数方程Z Z域代数方程域代数方程36.4 6.4 z z域分析域分析 一一. .差分方程的变换解差分方程的变换解本节内容本节内容6.3 逆Z变换6.4 Z域分析域分析 差分方程变差分方程变换解换解 zYky 10ikkizikyzYziky zFkf zFzjkfj4设n阶LTI离散系统的差分方程为：nimjjminjkfbikya00在k=0时, 接入， kf初始状态：)(.)2(1nyyy

2、、jiba、 均为实数方程的两端同时做单边 z z 变换： 100ikkiniinzikyzYza zFzbjmjjm0 mjjjmikkniininiinzFzbzikyazYza01000)(5niiinzazA0)()()()()()()(zFzAzBzAzMzYmjjjmzbzB0)(100)()(ikkniinzikyazM)()(zYzYzszi)()()(kykykyzszi iniinmjjjminiinikkniinzazFzbzazikyazY000100)(6解：解：对差分方程做z变换，得) 1()2()( 2)1()()(121zyyzYzyzYzzY)(2)(2zFz

3、zF整理，得)(212121) 1(2)2(2) 1()(212211zFzzzzzzyyyzY122242222zzzzzzzzz)(zYzs)(zYzi例：例：若描述系统的差分方程为：)2(2)()2(2) 1()(kfkfkykyky已知 ，求)()(, 2/1)2(, 2) 1(kkfyy)()()(kykykyzszi、712224)(22zzzzzzzzzYzi12312122122)(22zzzzzzzzzzzzYzs)() 1()2(2)(kkykkzi)(23) 1(21)2(2)(kkykkzs)(23) 1(21)2(4)()()(kkykykykkzszi本节内容本节内

4、容6.3 逆Z变换6.4 Z域分析域分析 差分方程变差分方程变换解换解8例：例：若描述某LTI系统的差分方程为：) 1(2)(4)2(3) 1(4)(kfkfkykyky已知 ，求)()2()(,33) 1 (, 9)0(kkfyyk)()(kykyzszi、P306-P306-例例6.4-46.4-49二二.系统函数系统函数nimjjminjkfbikya00定义系统函数：)()()()()(zAzBzFzYzHzs)()()()(zFzAzBzYzsmjmmmjjmzbzbbzbzB0011.)(ninnniinzazaazazA0011.)(H(z)H(z)差分方程差分方程h(k)h(k

5、)-H(z)H(z)(*)()(kfkhkyzs)()()(zFzHzYzs本节内容本节内容6.3 逆Z变换6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数系统函数10例：例：若描述系统的差分方程为：) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky求系统的单位序列响应h(k).解：解：系统函数H(z)2116161121)()()(zzzzAzBzH6161222zzzz)31)(21(22zzzz)()(1zHZkh)()31(2)21(3kkk)31(2)21(3zzzz本节内容本节内容6.3 逆Z变换6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数系统函数11解：解：2129

6、3142123)(zzzzzzzYzs)21)(31)(21(223zzzzz21)()()21()(zzzFkkfk61612)()()(22zzzzzFzYzHzs例：例：系统在 时的零状态响应： )()21(29)31(4)21(23)(kkykkkzs求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。)()()(21kkfk本节内容本节内容6.3 逆Z变换6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数系统函数12例：例：若描述系统的差分方程为：) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky求系统的单位序列响应h(k).解：解：系统函数H(z)2116161121)()(

7、)(zzzzAzBzH6161222zzzz)31)(21(22zzzz)()(1zHZkh)()31(2)21(3kkk)31(2)21(3zzzz本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数系统函数13解：解：21293142123)(zzzzzzzYzs)21)(31)(21(223zzzzz21)()()21()(zzzFkkfk61612)()()(22zzzzzFzYzHzs例：例：系统在 时的零状态响应： )()21(29)31(4)21(23)(kkykkkzs求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。)()()(21kkfk本节内容本节内容6.4

8、Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数系统函数14三三. 系统的系统的z域框图域框图本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图域框图系统描述数学模型（差分方程）时域框图差分方程时域法求解变换域法求解z域框图z z域代数方程域代数方程15aa)(ZF)(zaF)(zF)(zaFaa)(kf)(kaf)(kf)(kaf数乘器加法器)(1kf)(2kf)()(21kfkf)(1zF)(2zF)()(21zFzFK域模型z域模型16K域模型z域模型)(kf延迟单元D) 1( kf)(ZFz-1) 1(f) 1()(1fzFz延迟单元)(kfD) 1( kf（零状态）)

9、(1zFz)(ZFz-117解解:(1):(1)画z域框图例：例：某LTI系统的k域框图如下所示。已知输入 （1）求系统的单位序列响应 和零状态响应 （2）若 ，求零输入响应 。 )()(kkf)(kh)(kyzs2/1)2(, 0) 1(yy)(kyziDD)(kf)(ky3231(2)(2)列z域代数方程，求系统函数H(z)1z)(zF)(zYzs32311z)(zX)(1zXz)(2zXz)(2)(3)()(21zXzzXzzXzF)(3)()(1zXzzXzYzs21123131)()()(zzzzFzYzHzs23322zzzz18212233)(22zzzzzzzzzH)() 2

10、(2 )(kkhk(3)零状态响应1) 2)(1() 3()()()(zzzzzzzFzHzYzs2213) 1(22zzzzzz( )232(2) ( )kzsykkk 本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图域框图19) 1(3)() 2(2) 1(3)(kfkfkykyky(4)零输入响应)(kyzi21123131)(zzzzH0) 2(2) 1(3)(kykykyzizizi0) 1() 2()( 2)1()( 3)(121zyyzYzyzYzzYzizizizizizi211231) 1(2)2(2) 1(2 )(zzzyyyzYzizizizi2

11、/ 1) 2() 2(, 0) 1() 1(yyyyzizi221)(zzzzzYzi)() 2 ( 21 )(kkykzi20)() 1(32)2(321 )(kkykkzs例：例：某LTI系统的系统函数为：当激励 时，其全响应为：（1）求零输入响应 （2）求初始状态。 。 )() 1()(kkfk233)(22zzzzzH)2(),1(yy)() 1(32)2(342)(kkykk)(kyzi解解: :(1)求零状态响应)(kyzs1233)()()(22zzzzzzzFzHzYzs1322321zzzzzz21)()2(21 )() 1(32)2(321 )() 1(32)2(342)(

12、)()(kkkkykykykkkkkzszi(2)求零输入响应)(kyzi(3)求初始状态 和。)2() 1(yy由上式得5) 1 (, 3)0(ziziyy应满足差分方程)(kyzi0)2(2) 1(3)(kykykyzizizi)1(3)(21)2(kykykyzizizi2)0(3) 1 (21) 1() 1(ziziziyyyy23)1(3)0(21)2()2(ziziziyyyy22本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与与Z域关系域关系四、四、s域与域与z域的关系域的关系sTez zTsln1jez jsTeT 当0时,s平面的右半平面映射为

13、z平面的单位圆的外部;当=0时, s平面的j轴映射为Z平面的单位圆。23TeT1.s平面上的实轴(s=,j=0)映射为z平面的正实轴;2.s平面上的原点(=0,j=0)映射为z上的z=1的点；Tsiez is3.s平面上任一点 映射为z平面上的点4.当从-/T增大到/T时，从-增大到.在z平面上，每变化2，相应于s平面上变化2/T。因此,从z平面到s平面的映射是多值的，z平面上一点z=rej映射到s平面将是无穷多个点。jez js本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与与Z域关系域关系24本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数

14、Z域框图 S与Z域关系 频率响应频率响应五、系统的频率响应五、系统的频率响应)(jeH 为离散系统的正弦稳态响应函数，称为离散系统的频率响应或频率特性。写成指数形式：)(| )(|)(jjjeeHeH频率响应幅频响应相频响应)(|cos| )(|)(111keAHkyjss)cos()(1kAkf当 ，则:)()()()(kfeHeAeHkyjjkjjkAekf)(当 ，则:25jezjzHeH| )()(在z平面上的单位圆为 。所以若 在单位圆上收敛，则：)(zHjez 本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应频率响应26) 1(2)

15、()2(81) 1(41)(kfkfkykyky)sin(2)(sTkkf6sT例：例：描述某LTI离散系统的差分方程为输入取样序列 ， 求该系统的稳态响应 。 )(kyss解：解：（1）写出系统函数2118141121)(zzzzH8141222zzzz收敛域包收敛域包含单位圆含单位圆81412| )()(22jjjjezjeeeezHeHj6sT1276075. 1)(jjeeH本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应频率响应)6sin(2)()(6keHkyjss)1276sin(15. 2k27理想高通理想高通| )(|jeHs

16、T2o| )(|jeHsT2o理想低通理想低通类似于模拟滤波器，离散系统也有数字滤波器，按频率特性也分为低通、高通、带通、带阻。由于频率特性的周期性，所以这些特性只能限于 之间来划分。028| )(|jeHsT2o理想全通理想全通2o| )(|jeHsT理想带阻理想带阻| )(|jeHsT2o理想带通理想带通29)()()()()()(2121nkmjmpzpzpzpzzzzzzzzzb niimjjmpzzzb11)()(六、系统函数与系统特性六、系统函数与系统特性 01110111azazazabzbzbzbzAzBzHnnnnmmmm系统函数的零点系统函数的零点jz系统函数的极点系统函数

17、的极点ipH(z)的极点和零点可能是实数,虚数或复数。由于A(z)和B(z)的系数ai,bj都是实数,所以,若极点（零点）为虚数或复数时,则必然共轭成对出现。本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应 系统函数系统函数300j 1j 12j 2j1 （2）系统零极点系统零极点 确定系统函数确定系统函数H(z)H(z)例例：H(z)的零极点分布如图示，且H(0)=5，求H(z)。)4(3)(1()5 . 2(24)(zzzzzH）) 2)(2() 1() 11)(11()(2jzjzzjzjzzzH：在z平面上，画出H(z)的零、极点图：极

18、点用表示，零点用 表示。31 H(z)H(z)是离散系统单位序列响应h(k)h(k)的单边z变换，h(k)是H(z)的逆Z变换。H(z)的极点的性质及极点在复平面上的分布决定h(k)的形式，H(z)的零点影响h(k)的幅度和相位。由于A(z)=0 是系统的特征方程,因此H(z)的极点也决定系统自由响应的形式。本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应 系统函数系统函数32RezImzH(z)H(z)的极点与所对应的响应的极点与所对应的响应h(k)h(k)1331) h(k)随时间变化的规律取决于随时间变化的规律取决于H(z)的极点分布的极

19、点分布 位于单位圆内极点对应：位于单位圆内极点对应： 暂暂 态态 分分 量量 位于单位圆外极点对应：位于单位圆外极点对应： 不稳定分量不稳定分量 位于单位圆的单极点对应：位于单位圆的单极点对应： 有界稳态分量有界稳态分量 位于单位圆的重极点对应：位于单位圆的重极点对应： 不稳定分量不稳定分量2)h(k)幅值大小、相位等取决于幅值大小、相位等取决于H(z)的零点、极点的零点、极点系统稳定的条件：系统稳定的条件： H(z)极点全部位于极点全部位于z平面单位圆内平面单位圆内本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应 系统函数系统函数34若系统函

20、数H(z)的极点全部在单位圆内，则H(z)在单位圆|z|=1上也收敛,所以频率响应： jezjzHeHniijmjjjmpezeb11：取样周期角频率ssTT:令 :jjjjjeBzeijiijeApe本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应 系统函数系统函数35 jjjnjmmnijimjjjmjeeHeAAAeBBBbeAeBbeHnmij)(.)().(21).(211111nmmjAAABBBbeH2121)(幅频响应和相频响应分别为： nm2121)(则 又可表示为:)(jeH 从0变化到 时，即z从z=1沿单位圆逆时针方向旋

21、转一周，各矢量的摸和辐角也随之变化，由上式可得幅频响应和相频响应。236解：解：例：例：。正弦稳态响应求若求其频率特性)( ,cos)3cos(1)();(,5 . 0)(22kykkkfeHzzzHssj2cos454)(jeH222sin)(coaarctg02()3jH e30155. 1)(3jeH32)(jeHkkkfeHkyjsscos32)303cos(155. 132)()()(5 . 02sin2cos2sin2cosjj5 . 0| )()(22jjezjeezHeHj本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应 系统函数系统函数37七七. 系统的稳定性系统的稳定性)2(2) 1(3)(kfkfkyzsq因果系统：q非因果系统：) 1()(kfkyzs1.1.离散系统的因果性离散系统的因果性系统响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统称为因果系统因果系统。本节内容本节内容6.4 Z域分析域分析 差分方程变换解 系统函数 Z域框图 S与Z域关系 频率响应 系统函数 系统稳定性系统稳定性3800)(kkhq单位序列响应离散因果系统的充要条件离散因果系统的充要条件0|zq系统函数)(zH收敛域为半径等于 的圆外区域。0本节内容本节内容6.4 Z域分析域