东北大学高数试题上

1、、高等数学试题 2007/1/146小题，每小题4分，共24分)、填空题(将正确答案填在横线上，本大题共11. lim(1 sin3x)2x .2.方程 x5 - 5x - 1 = 0 在(1, 2)内共有 个根.3. 2 (x7 1)sin2xdx 2,arctan x .4. dx.x(1 x)5.球体半径的增长率为0.02m/s ,当半径为2 m时，球体体积的增长率为 , n!xn ,6. 哥级数的收敛半径n 0 n三、计算题(6分4 = 24分)1.设ln tt3，求副Word资料一 112 .求 lim -x 0 x xtan x2x .3 .求一,_ dx.4 x24 .已知(1-

2、1Unn 12, u2n 1n 15,求 Un n 1四、(10分)设y = xe x (0 x < + ),求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线 围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积.x = 2, x = 1, y = 0 所五、(8分)将函数f (x)14x一展开成(x 1)的哥级数.并给出收敛域。 3一 x ,0x1x六、(8分)设f (x),适当选取a, b值，使f (x)成为可导函数，令 (x) n f (t)dt ,并求ax b, x 1,0出(x)的表达式.(a, b),使 f ( ) = 0.七、(6分)设f (x)具有二阶连续导数，且f (

3、a) = f (b), f (a) > 0, f (b) > 0,试证:答案：一、1. (C)2.(A)3.(B ) 4 .(D).5.(A)3二、1. e22.13. -4. (arctanx)2 C5. 0.326.e.2三、1.9. 2.1. 3. 2arcsin x ；x -4 x2C. 4.8.122 35 13四、极大值 y(1) 一，拐点 2,面积A ,体积V 2 4eee e4 e e五、2x2.2x 12. 一个圆锥形容器，深度为 为3.曲线y32x 6x 12x 4的拐点为4. f(x)1 ,展开成1 xx 2的哥级数为三、（7分）设 f(x)3 x2211；试

4、研究函数f（x）在0, 2上是否满足拉格朗日中值定理的条件四、计算下列各题（本题共1 . limx 0ln(1 2sin x)2.6小题，每小题6分，共计36分）.2 .典1sin x x、口 x3.设 yln、,1 t2arctant计44.计算积分ln(x.1 x六、a = 2, b =1,(x)二、高等数学试题2008/1/14、填空题（本题共 4小题，每小题4分，共计16分）3 2x1. y3 e sin(xy) 0在x 0处的切线方程是10m ,上面的顶圆半径为4m ,则灌入水时水的体积 V对水面高度h的变化率5.计算积分6.求哥级数x2n 1x五、2n在收敛域上的和函数.（7分）由

5、曲线y0, xy x2围成曲边三角形 OAB,其中A为y 0与x 8的交点，B为y8的交点.在曲边六、（7分）求心形线七、（7分）设f （*）是（Word资料+ ）内的可微函数，且满足:(1) f (x) > 0(2)存在0 <(an an 1)绝对收敛.1x (, + ),<1,使得 | f (x)| < f (x), x (, + ).),定义 an = ln f (a n 1), ( n = 1,2,),证明nWord资料（4分）设f （x）在a,b上二阶可导,(x) 0 ,证明bf (x)dx (ba)咤b).答案:1. B.2. A.3. A.4.C.二、1.

6、1.4 2.25h2.3. (2,12).4.Uxn 1 (x 0 32)n .四、1.22.1,3.d2y dx2t2t34. xln(x1, 1 x5. ln21 x1 < x < 1),6.C1 cos2x1C2 sin 2xxcosx32- sin x.9五.六.16 (T5256 丁.七。4提示：两边求导解微分方程。Taylor公式为, 一 ，、， a b八.提不：f （x）在x 处的一阶2三、高等数学试题2009/1/16二、填空题（本题共5小题,每小题3分，共计1 5分)1.1-20在x 0处连续，则a =02.3.4.质点以速度tsint2（米秒）做直线运动，则从时

7、刻 匕万（秒）到121（秒）内质点所经过的路程等于0,求 f (x).0（米）.5.以y1 = cos2 x, y2 = sin2 x为特解的常系数齐次线性微分方程为21x sin- x 三、(8分)设函数 f(x)xxsin x x四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）.1.lim x( arctan x).22.五、(8分)设 f (x)anxn 在1, 1上收敛，试证：当 a 0 = a 1 = 0时，级数1 “f ()收敛。n 1 n六、(8分)f(x)xxex,20 f (x 1)dx.七、(8分)在抛物线y =+ 1(x > 0)上求一点P,过P点作抛物线的

8、切线，使此切线与抛物线及两坐标d2y3.设函数 y = y(x)由 y = 1 + xey确te,求 一2 dxx3 14 .设函数f (x)连续，且 0 f (x)dx x ,求f (7).1005 .判断级数(1) 同的敛散性,如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?轴所围成的面积最小.八、(8分)求哥级数(x 1)(x1)22(x 1)33(1)n(x 1)nn在其收敛域上的和函数。f (x) 0九、(6分)设函数y = f(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且(x)(0, 1),使(x) x(1)证明又于(1,1)内任一 x 0,存在惟一的 f (x) = f (0) + xf 成立;(2)

9、求(x) .答案:1. B.2. A.3. B.4c5. D二、1. a2. dy3sin 2xf (sin x) dx .3.f(x)o(x3).5.y + 4y = 0.三、f (x)2y3.六.12xsin 一x sin xd2ye2 y(3 y)dx2(2y)32e七.Inx (0 < x2)1 cos-,x xcosx, 04. f(7)3 2、P(一,一)3 3四、1. 1 ._. x2. 2arcsin 一 21一 ,5.条件收敛12五.y = x3 + 3x + 1.四、高等数学试题2010/01/16二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共计24分)11.若函数f(x)

10、(1 x)x x 0在x 0处连续，则a =a x 02.函数f (x)-sin x 在(0,)内的极小值为222x) f(3)2xlirf x 03 .函数f (x)在(，)是可导的偶函数，且为., x1 4.4 .右 0 f (t)dt x ,则 f (1) =.1,则y = f (x)在点(3, f ( 3)处的切线斜率5.若f ( x)sin 2 xdxf (x)在,上连续，则2 f (x)2 2万6.设f (x)是以2为周期的函数，其表达式为f (x)2,1 x 0,2则f (x)的Fourier级数在x = 1处收敛x ,0x1, o三、计算下列各题(本题共6小题，每小题6分，共计

11、36分).求dy dx3 -x sin ).2a 一 x ,arcsin 一 (a > 0),2 a22.求极限lim( xx3 .计算不定积分,.、2 ,(arcsinx) dx.5 x 14 .计算te积分d dx .°3x 1x 拒coSt, d 2y5 .若，求VyV2sin31,dx t -，一 一 ,11 x，、一 .-一6 .如果 y = f (x)满足 y ,2 x o( x),且 f (1) = 1,求 f (x).2x xx四、(8分)摆线ya(t sint),(a > 0)的第一拱(0a(1 cost),t 2 ),求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线

12、与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积.五、(8 分)设 f (x) = x + x2, x ,),将 f (x)展开成 1 ，一Fourier级数，并求级数一2的和。n 1 na六、(4分)若f (x)在0, a上连续，且° f(x)dx 0,证明至少存在一点 (0, a),使得f( )0 f (x)dx 0 .答案：一、1. A. 2. B. 3. A. 4.C.5. D、1. e.2 x2. -.3. 2.4.2.5.02.6.3. x(arcsinx)2 2 1 x2 arcsinx 2x C ,4.6,5.6.2x x22五、6五、高等数学试题2011/01/14

13、、填空题1.2.设 y = lnx, y(n)(1)二xe .dx1e2x2、 ,3、 1 (x cosx )xdx .- 1、一,4.位于y轴右侧，x轴上万，曲线y 2下万的平面图形的面积为.1 x5.水坝中有一直立矩形闸门，宽为 3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受 到的水压力为.三、计算下列各题1.求极限,1 xsin x2 sin xln(1 x), x 0,2 .求函数.f (x),的导数.sin x,x 0,3 . f(x) x 1n(1 O,求 y t arctant,dx t 1x 24.确定曲线f(x) o(t 1)(t 2)2dt的凹凸区间与拐点

14、.四、求下列积分1 .x2 cos xdxc 142 ,2 . 0*5 x dx .五、级数1.求哥级数-n-xn在收敛域内的和函数。n 1 32.设级数(an an 1)收敛,bn (bn 0)收敛，证明级数anbn绝对收敛。六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高七、设f (x)在0, 1上可微,1且 f(1) 2 02e1x2f(x)dx,证明至少存在一点 (0,1),使得f ( ) 2 f().答案:1. B.2. C.3. A. 4.D.5. C二、1.n 1 /1) (n1)!.2. arcsineC.3.4.25. 24g(KN).、1.2.四、1.五、1.

15、六、二、填空题已知2.曲线3.已知2.x sin x(3max六、f(x)3x'2f'1(x) x 1, cosx,2xcosx2sin0,0,C.3.2.324.拐点(, 3112814),(2,332,4,h o813高数 2013/01/081 . 1-sinx xsin-y = ln x在点0在x 0处连续,0处的切线平行于y = 2xF(x)是sinx2的一个原函数,则 d(F(x2) 二n4 .骞级数 工 n 1 n3n的收敛半径为则b=3.5.设 f(x) lim txxx t 皿，则x tf (0)=三、计算题lnsin x1 .求 lim2x 2(2x)22.

16、设x y3 .a cos t 3 ，求asin t3.已知方程四、计算积分et dtx2costdt确定函数 y = y(x),求 dx1.求 xcos2 xdx。2X-2 Xdx。五、求曲线y六、一密度为2.51 一 ,一八的凹凸区间、拐点及渐近线。 x103 (单位：kg/m 3),底半径为r(单位：m),高为h(单位：m)的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切,求将这个圆柱体捞出水面所做的功。七、求哥级数nn 1xn的和函数，并求0 n!n 1的力n的和。0 2nn!八、设函数f (x)在0,1上非负连续，证明:(1)存在X0(0,1),使在0, Xo上以f (X0)为高的矩形面积 S等

17、于在X0,1上以y = f(x)为曲边的曲边梯形面积S。(2)若函数f (x )在(0,1)内可导，且f (x)2f凶，则(1)中的X0是唯一的。答案七、高数 2014/01/13单项选择题(每小题4分，共24分)若函数f(x)满足f'(x) ef (X)，且 f(0)f(n) (0)().A: (n 1)!ennB: n!e ,C：(nn 11)! en 1D: n!e对于积分设 f(x)极限lxm?1a ： e6B:，-sin x(2B:1b： e6sinx、 _)dx,C:D:1,则 f(x)在01D:2上满足的Lagrange中值定理的=(1e30若 f(x)连续，且Xf(x)

18、dx0,10xf (x)dxA：当 X ( 1,1)时，f(x) 01d： e30,则(B:当 X ( 1,1)时,f (x) 0,C: f(x)在(1,1)至少有一个零点. D: f(x)在(1,1)必无零点. x6 若函数 F(x) ° (2t x) f(t)dt,其中 f (x)在(1,1)二阶可导，并且 f'(x) 0 ,当 x ( 1,1)时，则().A: F(x)在x 0取极大值； B: F(x)在x 0取极小值；C: F(x)在x 0不取极值，点(0,0)也不是曲线y F(x)的拐点；D: F(x)在x 0不取极值，但是点(0,0)是曲线y F(x)的拐点.二

19、填空题(每小题4分，共24分) , 、3- 2/，.、7函数f(x)x6x1在x ( 1,1)的极大值是().1.8 反常积分一=dx().2 x x 19 曲线y k(x2 3)2在拐点处的法线经过原点，则常数k2().x10曲线y c tantdt位于0 x 一的弧长是().04211 若 f (x), g(x)在(，)连续，且 g(x) 0 f (x)dx 10x , 12则 0 g(x)dx 0 f (x)dx ().d e14(8 分)若 f(x)非负连续，且 f(x) n f (x t)dt sin4x,求 f (一)的值.024b15(8分)确定a,b,的值，使得f(x) - -

20、x3 bx2 2x在x 2处432 112 展开成关于x的哥级数为().dx x三 解答下列各题，应有必要的步骤或说明(共 52分)x2 1.13(8分)求f(x) 的间断点，并指出其类型.sin( x)取极值，在2)处使f'( ) 0 ,但f ()不是极值.设函数f(x)在a,b上满足 a f (x)b , | f (x) | q 1 ,令 Un f (Un 1),1,2,3,L,U0a,b,证明:(u nn 1un)绝对收敛。(8分)f (x)0计算 2(x1)2f(x(8分)求在上半平面由曲线的平面图形,(1)面积，(2)围绕 y(4分)若x0,1时,t2dt1)dx.x所围成轴

21、旋转一周的立体体积f "(x) 0 ,证明：对任意正常数1 rr 10 gdx f(-1).参考答案A B A B C D ;7: 1,8: , 9: ,10: ln( . 2 1), 11: 5,232间断点是 x k, (k是整数)f(-)16八5八(1) A - .6分2(2) Vy八、高数 2015/01/1916 n171819131415161718计算题(每小题5分，共50分)11求极限lim 1 sinx航 x 0.X2i2 设 f(x)ba arccosxx 1x 1 求a、b,使得f(x)在x 1处连续。1 x 13 设 f (x)ln(x JT)求 f (0)4

22、求由参数方程d2y dx2x2tt2 3所确定函数的二阶导数 y3t t35 求 lim x 1 x 11In x6 求 lim 阴O'an" (a 0) n7求积分e8 求积分 11 ln x | dx。1«12 和-2。 n 1 (2n 1) n 1 ne9设f(x) x 1(0 x 2),将f(x)展成余弦级数，并计算110 求哥级数-(2x 3)n的收敛域，并判断x在收敛域端点处对应的级数是条件收敛还是绝对收敛。n 0 2n 1二 设f(x) (x a) (x),(x)在x = a处有连续的一阶导数，求f (a), f (a)1三 设D是由曲线y x3,直线x a(a 0)及x轴围成的平面图